1、數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練(25)1.(本小題12分)已知銳角三角形 ABC的內(nèi)角A B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且 a = 2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a2 +c2 =7,三角形ABC的面積為1 ,求b的值。2.(本小題12分)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,已知a3= 24,亂=0.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn最大，并求Sn的最大值.3.(本小題14分)二次函數(shù)f (x)滿(mǎn)足f(3) = 73, f(2) = 1,且對(duì)稱(chēng)軸x =2(1)求 f (x) ;(2)求不等式 f(x) -35x2 (108 + 3m)x + 2m2 -73(m= R)的解集.(本小題

2、14分)某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷(xiāo)售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況(如資金、勞動(dòng)力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過(guò)調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金(百元)月資金供應(yīng)量(白兀)空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成本3020300勞動(dòng)力(工資)510110單位利潤(rùn)68試問(wèn)：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是多少.(本小題 14分)在數(shù)列 QJ中，a =2, an+=4an3n+1, ne N(i)證明數(shù)列 Qn n是等比數(shù)列；(n)求

3、數(shù)列Gn的前n項(xiàng)和Sn ；(出)證明不等式 Sn書(shū)0 4Sn,對(duì)任意nu N皆成立.(本小題14分)已知點(diǎn)(1,1)是函數(shù)f(x) = ax(a0,且a#1)的圖象上一點(diǎn), 3等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f (n) -c,數(shù)列bn (bn a0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足6廣、5 + 氏(n2).(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；11000(2)若數(shù)列前n項(xiàng)和為T(mén)n,問(wèn)Tn 的最小正整數(shù)n是多少？bnbn 12009 2b , ,(3)設(shè)cn =,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Pn答案:1 .解：解：(1)由a = 2bsin A,根據(jù)正弦定理得sin A = 2sin Bsin A, 2分1又 sin

4、A。所以 sinB= , 3 分2冗由AABC為銳角三角形得 B = . 5分6 TOC o 1-5 h z 11(2)由&ABC的面積為1得一acsinB=1 6分又sinB=-22- ac =4 8 分由余弦定理得a2 , c2 -2accosB = b2 9分又 cos B=2 b2=7-43=2 - 311 分a b=2-v3 12 分 TOC o 1-5 h z 由，、一仲 +2d=24，Jai=400 C2解：(1)依題意有i 11M1n，解之得，an=488n.11al +d =0d = -8I 2、(2)由(1)知，a1 =40, an=48 8n,c(a1+an)n(40 +

5、48 8n)n ,2 111 f Sn=-=-4n2 +44n=4 n I +121,222故當(dāng)n =5或n =6時(shí)，Sn最大，且Sn的最大值為120.23 斛：(1)設(shè) f(x)=ax +bx+c(a00)1 f (4) = -73, f (2) = 1 ,且 f (x)的最大值是 8,a 09a -3b +c = -734a -2b c = -1b 3 -=.2a 2a = -36解得 -35x -(108 + 3m)x + 2m -73等價(jià)于_ _222-36x -108x-73 -35x -(108 3m)x 2m -73即 x2 3mx +2m2 0 即(x -m)(x -2m) 0

6、當(dāng)m=0時(shí)，所求不等式的解集為空集；當(dāng)m A0時(shí)，所求不等式的解集為 m|mx2m；當(dāng)m 0時(shí)，所求不等式的解集為 m|2mxm.4解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái)，總利潤(rùn)是P,則 P=6x+8y,30 x+20y 3005x+10y 110約束條件為x - 0, y - 0 x N, y N可行域如圖所示一.313P=6x+8y可化為y = 3x+1P,可看作一組斜率為 3的直線, 48431由圖知直線y=-x+-P過(guò)點(diǎn)M時(shí)，縱截距最大這時(shí) P也取最大值， 48解得M (4,9)由330 x+20y =300 5x+10y =110, Pna=6X 4+8X9=96 (百元)故當(dāng)

7、月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn) 9600元5解（I）證明：由題設(shè) an書(shū)=4an -3n +1,得*an+-（n +1） = 4俎n）, nu N .又a1 -1 =1,所以數(shù)列 匕0 - n是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)列.（n）解：由（I）可知 ann=4n,，于是數(shù)列 匕0的通項(xiàng)公式為 TOC o 1-5 h z n_an =4+n.所以數(shù)列 a 的前n項(xiàng)和32、 .一 *（出）證明：對(duì)任意的nw N ,4n 卡1 (n+1)(n+2)4n 1 n(n + 1)Sn1 -4Sn+- 4 + TOC o 1-5 h z 32i 3212=(3n +n -4) 0,二國(guó)

8、r=1(n2)數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，.Sn =n11111111).:.一(_ _) .:._(_)- ( 32 3 52 5 72 2n -11_ n 2n 1 2n 1工 n 1000 /口 1000,1000_22當(dāng) n 2 時(shí)，bn=SnSn,= n (n1)=2n1(*)又 b1 = 6 =1,適合(*)式 ，bn =2n1( n 匚 N )bnbn 1(2n 一 1)(2n+1)TU-/)1 . 1 . 1 . 1=2(12n 1bb2b2b3b3b4bnbn 1Cn2bn =(1 -2n) 3n. anPn =(-1)M 3 + (-3)父32 +(-5)父3由Tn = 得n ,故滿(mǎn)足 Tn 的最小正整數(shù)為 112. +(1 - 2n) M 3n 3Pn =(1)M32 +(-3)M33 +(-5)M3