1、高中數學必修 5 1.1.1正弦定理教學設計一、教學內容分析“正弦定理”是普通高中課程標準數學教科書 數學（必修5） （人教版）第 一章第一節的主要內容，它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三 角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價 值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣想到的？還 有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。本節課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好 “

2、正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固 舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、 發展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、 解決問題等研究性學習的能力。二、學生學習情況分析學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角函數的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數、平面向量已形成初步的知識框架， 這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，課程標準強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數學在

3、實際中的應用，從而激發學生學習數學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。三、設計思想培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習 經驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫映口促進作用本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。四、教學

4、目標知識鄧嘉:佝加任意士角宓的3寫其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。：2、過程與方法讓學生卜已有的知識出發，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理 I I 1 / w/ if I /I W tf I I JT等方法，體驗4學發現和創造的歷程。3、情感態度與卜值觀：在上的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學情境。五教學q高與難點VW* V單重點：正弦定曲的發現和推導 JL 人 I JL A A JL 鼻 JML A .難點:八弦w理的推導、八教學準備：制i作多媒體課件，

5、學生準備計算器，直尺，量角器。六、教學過程設計教師：展示情景圖如圖 1,船隊港口 B航行到港口 C,測得BC的距離為，船在港口 C卸貨后繼續向港口 A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離?學生：思考提出測量角 A , C。教師：若已知測得,如何計算 A、 B兩地距離?師生共同回憶解直角三角形，直角三角形中， 已知兩邊， 可以求第二邊及兩，角。直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另吻邊及第三個角。教師引導：是斜三角形，能否利用解直學怔，精確計算 AB呢？學生：（思考交流）得出過點 A作AD /C于（如圖2）,把 分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述，

6、教師5/I 口Q 出狀助/而48 s鼬x二普300加n學生：發現,AB=c ,能否用B、b、C表示c呢?siQ G =1 鼠 n 8=教師：引導,在剛才自推理過程中,;四叢K1C二匕也你能想到什么？你能發現什么?1 * A b sm Lsift aisinCsifiJsin力Asina =sinJ口 品inC學生：發現即然有asifiC引晶0MVsinC sis,我們習慣寫成對稱形式,因此我們可以發現in A sin B,是否任意三角形都有這種邊角關系呢?設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節課有良好的開頭,那就意味著成功的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發學生思維，激發學生

7、的求知欲，弓I導學生轉化為解宜角三角形的問題,在解決問題后， 對特殊問題般化，得出一個猜測性的結論猜想，培養學生從特殊到一般思想意識，培養sin 5(1)在 ZABC 中，/ A，/ B, / C 分別為,對應的邊長a： b：學生創造性思維能力。（二）數學實驗，驗證猜想教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗 是否成立，舉出特例。I n Ihrc為1:1:1,對應角的正弦值分別為的關系。（學生回答它們相等）mjn111 B、在 ABC中，/ A , / B, /C分別為,對應的邊長a： b：工ft sinuc為1 ： 1 ：,對應角的正弦值分別為的恥q的生回答它們相等）（3）、在 AB

8、C 中，/ A , / B, / C為c為1 : : 2,對應角的正弦值分別為Ia f J/r J,對應的邊長a： b:（學生回答它們相等）/noJr irJL Uu901教師：對于呢？學生：思考交流得由，如圖4,在RtABC中，設 BC=a,AC=b,AB=c,則有，又，slnJ=- sinJ -sinC=l=-c cc則a b c從而在亨甭-abC年，sin A sin J sinG教師：那么任意三角形是否有(J b 呢？ n 尸借助于電腦與多媒體，利用幾浦搬昶的 送界k弦定理教學課件。邊演示 邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。結論：對于曲曲比角湎蹌面M 設計意圖：通過幾

9、何畫板軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐步上升 到理性。（2）在銳角三角形中，如圖5設BC=a , CA=b , AB=c、SlflDS! AB在叫起父媼師生活動:教師：我們雖然經歷了數學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何用數、代表總結。:（以下證明過程，根據學生回答情況進行敘學生：思考得出成立，如前面檢驗。L虬垂足為D（三）證明猜想，得出定理學的思想方法證明呢？前而探索過程對我們有沒有啟發？學(3)在鈍角三角形中，如圖6設 為鈍角，BC=a, CA=b, AB=c ,作交BC的延長線于DA閽6)在中,在中，.:初期他/“愉。鼬B二師的教師晶們把這條性質稱為正弦定理:在一個三角形中

10、， 各邊和它所對角的. sinZ4C*5 sin B正弦的比相等，即教師：還有其它證明方法嗎？sin/ sin。學生：思考旬出，分析圖形(咫7),對于任意 ABC ,由初中所學過的面積公而由圖中可以看出:二 BD =比 sin 左匯;AE-AC smZ4C5, C7 = 8C sinZifflC TOC o 1-5 h z I 111 . HYPERLINK l bookmark9 o Current Document :。；一AC.BD=%3 0 = 一班 Cf n 5 i 2 *fjFjfLM&JlIHM HYPERLINK l bookmark11 o Current Document

11、=1 _/.小，而 J-j j .; 一幺c 月g珈/即 C=_CjC4 凱nZiKSMBR,*tibiZ4K 立為、IJrUMa-i*c smZA4C = -a i*sinZ?!CS=-c a smLABCWb 1fl|kJ1可得4二，乙U h A .1D戶 二五1 /l/VDsin LbAU sin ZjwC sin 4fl b教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程 1|在剛才的證明過程中大家是否發現三角形高三角形的面積：，能否得到新面積公式A?=e sin ZA3C 二 a sin 4FC1得到三角形面積公式設計意圖：經歷證明猜想的過程，進一步引導啟發學生利用已有的數學知識論證猜想，力圖

12、讓學生體驗數學的學習過程。（四）利用定理，解決引例師生活動：教師：現在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學生：馬上得出_AsinC W|sin450 加 E（五）片解IF形概念：京 二2耶用smjsin 60r設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性。教師：一般地，把三角形的二個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定理, 解決問題更方便，更簡單，激發學生不斷探索新知識的欲望（六）運用定理，解決例題師生活動：教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可

13、以解決的問題。學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：（1）如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如（2）如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是 突小主體，教師板書的目的是規范解題步驟。仁加，解三角形AVIAV分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為求出第三個角/ C,再由正弦定理求其他兩邊。例2:在 中，已知，,解三角形。例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數學思想，可先讓中等學生講解解題思.，其他同學補充交流。，. W學生:反制耨（教科書第。三瑞練g川3：力9，用4物投影儀展示學生中解題步驟規范的解答。設計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉 悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習。（