1、第七章 正弦平面電磁波時諧場：場量隨時間按正弦規律變化的電磁場。時諧場也稱為正弦電磁場。正弦電磁波在工程上應用廣泛，有如下特點： 1、易于激勵； 2、由傅立葉級數可知：在線性媒質中，正弦電磁波可以合成其他形式的電磁波。本章主要內容：時諧場的波動方程亥姆霍茲方程無界理想媒質中的均勻平面波無界導電媒質（損耗媒質）中的均勻平面波在媒質分界面上波的反射與透射5.3 時變電磁場的能量1 Poynting定理 時變電磁場具有能量已被大量的事實所證明。時變電磁場可以脫離電荷或電流而在空間存在，且隨時間的變化在空間以波動形式傳播。那么時變電磁場的能量又以何種形式存在于空間，它是否隨電磁波的傳播而在空間傳播？首

2、先來討論時變電磁場能量的守恒與轉化關系。 設有一閉合介質空間區域V，其內存在時變的電荷、電流和電磁場。 JV場的能量密度設為 ：能量流密度矢量 ：由于時變電磁場的波動特點，閉合空間內部的電磁場有可能傳播到外部，外部空間的電磁場也有可能傳播到空間內部，閉合空間的內外有可能存在電磁場能量的交流。 根據能量守恒定律：表示場對荷電系統作用力密度 v 為荷電系統運動速度 表示通過界面在單位時間內進入V內電磁場的能量表示單位時間內空間區域電磁場能量的增量 區域內場對荷電系統所作的功率 表示閉合空間區域V內電磁場能量守恒和轉化的關系式，稱為Poynting定理，其中 稱為Poynting矢量 對于線性均勻各

3、向同性介質， 2 電磁場能量的傳播Poynting定理給出了時變電磁場能量傳播的一個新圖像，電磁場能量通過電磁場傳播。這對于廣播電視、無線通信和雷達等應用領域是不難理解的。恒定電流或低頻交流電的情況下， 場量往往是通過電流、電壓及負載的阻抗等參數表現，表面上給人造成能量是通過電荷在導線內傳輸的假象。I如能量真是通過電荷在導線內傳輸，常溫下導體中的電荷運動速度約10-5m/s，電荷由電源端到負載端所需時間約是場傳播時間（L/c）的億萬倍負載只需經過極短（t=L/c，其中c為光速）的時間就能得到能量的供應。 第一節 亥姆霍茲方程一、時諧場場量的復數表示時諧場所滿足的波動方程即為亥姆霍茲方程。對于時

4、諧場，其場量 和 都是以一定的角頻率 隨時間t按正弦規律變化。 在直角坐標系下，電場可表示為： 式中： 為電場在各方向分量的幅度為電場各分量的初始相位由復變函數，知： ，則： 式中：場量上加點表示為復數。因此時諧場中，電場強度可表示為式中：同理，可得：二、麥克斯韋方程組的復數形式 很明顯，對于時諧場 故由麥克斯韋方程組微分形式，可得： 為了簡化書寫，約定 寫做 ，而 項則省略不寫，則方程變為：麥克斯韋方程組復數形式注意：1）方程中各場量形式上是實數及源量均應為復數形式（為了簡化書寫而略寫）。 2）方程中雖然沒有與時間相關的因子，時間因子 為缺省式子。 3）麥克斯韋方程組復數形式只能用于時諧場。

5、說明：場量的復數形式： 場量的實數形式： 場量的復數形式轉換為實數形式的方法：三、亥姆霍茲方程 在時諧場中，由于場量隨時間呈正弦規律變化，則 則無源空間的波動方程變為：亥姆霍茲方程 若令： ，則亥姆霍茲方程變為 說明：亥姆霍茲方程的解為時諧場（正弦電磁波）。可以推知，在時諧場中，平均坡印廷矢量可以表示為：上式中： 、 為場量的復數表達式；為對場量 取共軛運算。第二節 平均坡印廷矢量 坡印廷矢量瞬時形式： 平均坡印廷矢量： 在上面的式子中， 和 均應為實數形式，即：代入第一式，證明：第三節 理想介質中的均勻平面波平面波：波陣面為平面的電磁波（等相位面為平面）。均勻平面波：等相位面為平面，且在等相

6、位面上，電、磁場場量的振幅、方向、相位處處相等的電磁波。在實際應用中，純粹的均勻平面波并不存在。但某些實際存在的波型，在遠離波源的一小部分波陣面，仍可近似看作均勻平面波。一、亥姆霍茲方程的平面波解 在正弦穩態下，在均勻、各向同性理想媒質的無源區域中，電場場量滿足亥姆霍茲方程，即： 考慮一種簡單情況，即電磁波電場沿x方向，波只沿z方向傳播，則由均勻平面波性質，知 只隨z坐標變化。則方程可以簡化為： 解一元二次微分方程，可得上方程通解為： 式中: 、 為待定常數（由邊界條件確定）.討論：1、 為通解的復數表達形式，通解的實數表達形式為： 2、通解的物理意義：波動方程平面波解不同時刻 的波形kzEx

7、 023 首先考察 。其實數形式為：在不同時刻，波形如右圖。從圖可知，隨時間t增加，波形向+z方向平移。故：表示向+z方向傳播的均勻平面波；同理可知：表示向-z方向傳播的均勻平面波； 亥姆霍茲方程通解的物理意義：表示沿z向(+z,-z)方向傳播的均勻平面波的合成波。二、無界理想媒質中均勻平面波的傳播特性 在無界媒質中，若均勻平面波向+z向傳播，且電場方向指向 方向，則其電場場量表達式為： 電磁波的場量表達式包含了有關波特性的信息。 1、均勻平面波電場場量的一般表達式 式中： 表示電磁波中電場的幅度的方向表示電磁波中電場的方向表示電磁波動的角頻率為波矢量為波的初始相位 2、波的頻率和周期頻率：周

8、期：波數k: 長為 距離內包含的波長數。 3、波數k、波長與波矢量波長:波矢量 ：表征波傳播特性的矢量式中：k即為波數即為表示波傳播方向的單位矢量。 4、相位速度（波速）zEx 023 如圖所示電磁波向+z方向傳播，從波形上可以認為是整個波形隨著時間變化向+z方向平移。相位：兩邊對時間t去導數，得：討論：1、電磁波傳播的相位速度僅與媒質特性相關。 2、真空中電磁波的相位速度： 真空中電磁波相位速度為光速。 5、場量 ， 的關系 為表示波傳播方向的單位矢量。 同理可以推得： 從公式可知：均勻平面電磁波中電場幅度和磁場幅度之比為一定值。定義電場幅度和磁場幅度比為媒質本征阻抗，用 表示，即：媒質本征

9、阻抗 特殊地：真空（自由空間）的本振阻抗為： 結論：在自由空間中傳播的電磁波，電場幅度與磁場幅度之比為377。 說明：、 、 三者相互垂直，且滿足右手螺旋關系。6、能量密度和能流密度電場能量密度：磁場能量密度： 結論：理想媒質中均勻平面波的電場能量等于磁場能量。實數表達形式電磁波的能量密度：kEH小結：無界理想媒質中均勻平面波的傳播特性：電場與磁場的振幅相差一個因子電場、磁場的時空變化關系相同。電場、磁場的振幅不隨傳播距離增加而衰減。電場和磁場在空間相互垂直且都垂直于傳播方向。 、 、 （波的傳播方向）滿足右手螺旋關系電磁波的能流密度：例 頻率為100MHz的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想

10、介質中沿+Z方向傳播，介質的特性參數為 。設電場沿x方向，即 。已知：當t=0, z=1/8 m時，電場等于其振幅值 。試求:（1）波的傳播速度、波長、波數；（2）電場和磁場的瞬時表達式； （3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。解：由已知條件可知：頻率: 振幅:(1)(2)設由條件，可知：由已知條件，可得：(3)另解：第四節 波的極化特性注意：電磁波的極化方式由輻射源(即天線)的性質決定。一、極化的定義 波的極化：指空間某固定位置處電場強度矢量隨時間變化的特性。 極化的描述：用電場強度矢量 終端端點在空間形成的軌跡表示。二、極化的分類： 線極化：電場僅在一個方向振動，即電場強度矢量端點的軌跡是一條

11、直線； 橢圓極化：電場強度矢量端點的軌跡是一個橢圓（橢圓的一種特殊情況是圓）E=excos(wt-kz)yxo觀察平面，z=constz 顯然，電場的振動方向始終是沿x軸方向，所以這是一個沿x方向的線極化波。三、極化的判斷通過兩個相互正交的線極化波疊加，合成得到不同的極化方式。由電磁波電場場量或者磁場場量，可以判斷波的極化方式。yzxo 設均勻平面電磁波向+z方向傳播，則一般情況下，其電場可以表示為： 由于空間任意點處電場隨時間的變化規律相同，故選取z=0點作為分析點，即： 場量表達式中， 的取值將決定波的極化方式。1、當 時電場與x軸夾角為：結論：當 時，電磁波為線極化波。 2、當 且 時合

12、成電場的模及其與x軸夾角為： 從上可知：合成電場矢量終端形成軌跡為一圓，電場矢量與x軸夾角隨時間變化而改變。 如圖，當 時，可以判斷出：電場矢量終端運動方向與電磁波傳播方向滿足右手螺旋關系右旋極化波。 結論：當 且時，合成波為右旋圓極化波。 同理：當 且時，合成波為左旋圓極化波。說明：上述結論適用于向+z方向傳播的均勻平面波。 對于向z方向傳播的均勻平面波，其波的極化旋轉方向與向+z方向傳播的同幅同相波相反。結論：兩個頻率相同、傳播方向相同的正交電場分量的振幅和相位是任意的，則其合成波為橢圓極化波。說明：圓極化波和線極化波可看作是橢圓極化波的特殊情況。3、其他情形例 根據電場表示式判斷它們所表

13、征的波的極化形式。所以，合成波為線極化波。解：解：故：合成波為左旋圓極化波。解：合成波為右旋圓極化波。解：故：合成波為右旋圓極化波。解：合成波為橢圓極化波。第五節 導電媒質中的均勻平面波一、導電媒質中的波動方程 在無源的導電媒質區域中，麥克斯韋方程為第一個方程可以改寫為稱為復介電常數或等效介電常數導電媒質的典型特征是電導率 0。電磁波在其中傳播時，有傳導電流 存在，同時伴隨著電磁能量的損耗，電磁波的傳播特性與非導電媒質中的傳播特性有所不同。說明：復介電常數其中： ，僅與媒質本身介電常數有關； ，與媒質本身導電率和波的頻率有關； 為了方便描述導電媒質的損耗特性，引入媒質損耗正切角(用 表示)的概

14、念。定義：引入等效復介電常數后，麥克斯韋方程組可記做：推得導電媒質中的波動方程為：式中： 稱為復波數。 比較損耗媒質中的波動方程和理想介質中的波動方程可知：方程形式完全相同，差別僅在于 二、導電媒質中的波動方程的解 因此，在損耗媒質中波動方程對應于沿+z方向傳播的均勻平面波解為： 式中： ，為復數。 可建立方程組： 令 , 則由 所以損耗媒質中波動方程解可以寫為： 寫成實數形式（瞬時形式），得： 三、導電媒質中的平面波的傳播特性 1、波的振幅和傳播因子 振幅： 隨著波傳播(z增加)，振幅不斷減小。傳播因子： 波為均勻平面波（行波）。 2、幅度因子和相位因子 只影響波的振幅，故稱為幅度因子；只影

15、響波的相位，故稱為相位因子；其意義與k相同，即為損耗媒質中的波數。 3、相位速度（波速） 在理想媒質中： 在損耗媒質中： 很明顯：損耗媒質中波的相速與波的頻率有關。 色散現象：波的傳播速度（相速）隨頻率改變而改變的現象。具有色散效應的波稱為色散波。 結論：導電媒質（損耗媒質）中的電磁波為色散波。 4、場量 ， 的關系 可以推知：在導電媒質中，場量 ， 之間關系與在理想介質中場量間關系相同，即： 式中： 為波傳播方向 為導電媒質本征阻抗 討論：(1) 、 、 三者相互垂直，且滿足右手螺旋關系 (2) 在導電媒質中，電場和磁場在空間中不同相。電場相位超前磁場相位 。小結：無限大導電媒質中電磁波的特

16、性： 1、為橫電磁波（TEM波），、 、 三者滿足右手螺旋關系2、電磁場的幅度隨傳播距離的增加而呈指數規律減小；3、電、磁場不同相，電場相位超前于磁場相位；4、是色散波。波的相速與頻率相關。四、媒質導電性對場的影響 對電磁波而言，媒質的導電性的強弱由 決定。 從上可知：媒質是良導體還是弱導體，與電磁波的頻率有關，是一個相對的概念。 1、良導體中的電磁波 在良導體中， ，則前面討論得到的 ， 近似為 重要性質：在良導體中，電場相位超前磁場相位 在良導體中，衰減因子 。對于一般的高頻電磁波(GHz)，當媒質導電率較大時， 往往很大，電磁波在此導電媒質中傳播很小的距離后，電、磁場場量的振幅將衰減到很

17、小。 因此：電磁波只能存在于良導體表層附近，其在良導體內激勵的高頻電流也只存在于導體表層附近，這種現象成為趨膚效應。 我們用趨膚深度(穿透深度)來表征良導體中趨膚效應的強弱。 趨膚深度 ：電磁波穿入良導體中，當波的幅度下降為表面處振幅的 時，波在良導體中傳播的距離，稱為趨膚深度。 2、弱導體中的電磁波 在良導體中， ，則前面討論得到的 ， 近似為 在弱導電媒質中，仍存在能量損耗，波的相位常數近似等于理想媒質中波的相位常數，第六節 均勻平面波對分界面的垂直入射本節討論單一頻率均勻平面波在兩個半無界介質分界面上的反射與透射，設分界面為無限大平面，分界面位于z=0處。 本節以入射波為x方向的線極化波

18、為例進行討論。一、對理想導體的分界面的垂直入射x入反yz 設左半空間是理想介質，10；右半空間為理想導體，2。分界面在 z = 0 平面上。 理想介質內將存在入射波和反射波。設入射波電場為設反射波電場為則入射波磁場為則反射波磁場為由理想導體邊界條件可知：反射波電場為：理想媒質中的合成場為：合成波場量的實數表達式為：討論：1、合成波的性質： 對任意時刻t，在合成波電場皆為零 對任意時刻t，在 合成波磁場皆為零 zEx0zHy0zHy0zEx0合成波的性質： 合成波為純駐波振幅隨距離變化電場和磁場最大值和最小值位置錯開/4電場和磁場原地振蕩，電、磁能量相互轉化。2、導體表面的場和電流在理想導體表面

19、的感應面電流為：3、合成波的平均能流密度結論：合成波(駐波)不傳播電磁能量，只存在能量轉化。二、對兩種理想介質分界面的垂直入射x入反12yz透設左、右半空間均為理想介質，120。電磁波在介質分界面上將發生反射和透射。透射波在介質2中將繼續沿z方向傳播。設入射波電場為(一般已知)設反射波電場為設透射波電場為由兩種理想介質邊界條件可知：媒質1中總的電場、磁場為：式中： ， 為媒質1、2的本征阻抗。定義：反射系數 透射系數則媒質1中合成波為：討論：1、媒質1中合成波的傳播特點：前一項包含行波因子 ，表示振幅為(1+)Eim、沿+z方向傳播的行波；后一項是振幅為2 Eim的駐波；合成波為行駐波（混合波

20、）：相當于一個行波疊加在一個駐波上，電場的中心值不再是零，出現波節，但波節點場值不為零。 2、反射系數和透射系數關系為： 當媒質2為理想導體時， ，可知 電磁波垂直入射到理想導體面上時，反射系數為1。 3、當分界面兩邊為導電媒質時，媒質本征阻抗為復數，即 均為復數，故：也為復數。 在導電媒質兩邊，入射波和反射波、入射波和透射波不同相。第七節 均勻平面波對分界面的斜入射電磁波垂直入射時，電場和磁場總是平行分界面的。斜入射時，傳播方向與分界面法向不平行，電場或磁場可能與分界面不平行。yxEEiEk入射角i入射面分界面介質2介質1入射方向z一、幾個重要概念入射面：入射射線與分界面法線構成的平面。平行

21、極化入射：入射波電場方向平行于入射面的入射方式。垂直極化入射：入射波電場方向垂直于入射面的入射方式。入射角：入射射線與分界面法線夾角。二、反射定律和折射定律xkini分界面21zrtkrkt 電磁波斜入射到介質分解面上時，將發生反射和折(透)射現象。反射波和透射波的傳播方向遵循反射定律和折射定律。斯耐爾反射定律：斯耐爾折射定律：三、垂直極化波對理想介質分界面的斜入射 設z0空間分別為兩個半無限完純介質。設入、反、透射三波的傳播方向分別為ei、er、et，且ki=eik1， kr=erk1， kr=erk2，有xeini分界面21ziteretHiEiErHrHtEt設：則：在邊界面上，有由斯耐爾折射定律，知三者相等。即： 由邊界條件可知，在邊界面上可得：菲涅爾公式若媒質為非磁性媒質，即：0，入、透射波同相21時,it ,0,入、反射波同相21時,it ,0,入、反射波反相，半波損失同理：說明：1）2）入射波、反射波相位關系：四、平行極化波對理想介質分界面的斜入射xeini分界面