1、第四章 時(shí)間序列分解法和趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法時(shí)間序列概述時(shí)間序列的分解分析法時(shí)間序列的趨勢(shì)外推法一、時(shí)間序列概述1、時(shí)間序列的含義時(shí)間序列是某一指標(biāo)數(shù)值按照時(shí)間先后順序加以排列而形成的統(tǒng)計(jì)序列。由于時(shí)間序列從動(dòng)態(tài)上反映現(xiàn)象的數(shù)量發(fā)展變化，所以又稱(chēng)為動(dòng)態(tài)數(shù)列。時(shí)間數(shù)列的嚴(yán)格定義如下：對(duì)某一隨機(jī)過(guò)程中的某一個(gè)變量或某一組變量X（t）進(jìn)行觀(guān)測(cè)，在一系列時(shí)刻t1，t2，tn得到離散有序集合x(chóng)t1，xt2，xtn，稱(chēng)為時(shí)間序列。時(shí)間序列是對(duì)隨機(jī)過(guò)程在不同的時(shí)刻進(jìn)行觀(guān)察所得到的一次樣本實(shí)現(xiàn)。2、時(shí)間序列的構(gòu)成要素一是現(xiàn)象所屬的時(shí)間二是現(xiàn)象在相應(yīng)的時(shí)間所達(dá)到的水平（即指標(biāo)數(shù)值）時(shí)間序列強(qiáng)調(diào)順序的重要性。3、時(shí)間序

2、列分析的意義（1）通過(guò)觀(guān)察時(shí)間序列，可以了解社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，便于人們客觀(guān)、全面地認(rèn)識(shí)事物發(fā)展的方向和速度。（2）可以研究那些因素對(duì)時(shí)間數(shù)列的指標(biāo)數(shù)值的大小在起作用，可以進(jìn)一步掌握事物發(fā)展的趨勢(shì)和規(guī)律性。（3）根據(jù)時(shí)間數(shù)列原有的發(fā)展變化規(guī)律，可以進(jìn)行短期或長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。二、時(shí)間序列的分解分析法進(jìn)行時(shí)間序列分析，首先要弄清楚的是時(shí)間數(shù)列中的各個(gè)指標(biāo)數(shù)值的大小會(huì)受到那些因素的影響。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展變化過(guò)程中，往往有很多因素對(duì)它產(chǎn)生各種作用，從而影響其指標(biāo)數(shù)值的大小。這些因素來(lái)自自然、社會(huì)、習(xí)俗等方方面面。這些因素大致可以分為以下四種類(lèi)型：（）長(zhǎng)期趨勢(shì)（）季節(jié)變動(dòng)（）循環(huán)變動(dòng)（）不規(guī)則

3、變動(dòng)、時(shí)間序列的分解 （1） 長(zhǎng)期趨勢(shì)因素（T） 是指時(shí)間序列在較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)由于受到普遍的、持續(xù)的、決定性的基本因素的作用，使發(fā)展水平沿著持續(xù)向上、持續(xù)向下、或持續(xù)不變的基本態(tài)勢(shì)運(yùn)行。例如：我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值表現(xiàn)出持續(xù)上升的態(tài)勢(shì)鄉(xiāng)村人口比例呈逐年下降趨勢(shì)這些表現(xiàn)均屬于長(zhǎng)期趨勢(shì)（2） 季節(jié)變動(dòng)因素（S） 是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象受季節(jié)交替而出現(xiàn)周期性的，有規(guī)律的重復(fù)變動(dòng)。例如：羽絨服銷(xiāo)量在冬季形成旺季冷飲銷(xiāo)售主要集中在夏天旅館、餐飲業(yè)總是在節(jié)假日生意紅火旅游目的地的游客高峰總是出現(xiàn)在氣候宜人的季節(jié)（3） 周期變動(dòng)因素（C） 周期變動(dòng)因素又成為循環(huán)變動(dòng)因素，是時(shí)間序列隨著時(shí)間進(jìn)行的周期性的變化，與季節(jié)性相比，其

4、循環(huán)變動(dòng)所需要的時(shí)間更長(zhǎng)，變動(dòng)的規(guī)律性和變動(dòng)周期不像季節(jié)變動(dòng)來(lái)的穩(wěn)定和可以預(yù)料。例如：典型的商業(yè)活動(dòng)周期經(jīng)歷衰退、蕭條，到復(fù)蘇、繁榮，接著又開(kāi)始衰退、蕭條，再?gòu)?fù)蘇，從此周而復(fù)始。這個(gè)過(guò)程持續(xù)多久，下一個(gè)拐點(diǎn)何時(shí)出現(xiàn)都很難判斷。這就是循環(huán)變動(dòng)。（4） 不規(guī)則變動(dòng)因素（I） 不規(guī)則變動(dòng)是由一些未能得到解釋的短期波動(dòng)所組成的，通常是指時(shí)間序列由于受到偶然因素的影響，在一段時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)不規(guī)則的或不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)變動(dòng)。例如：受天氣影響，商品銷(xiāo)售量會(huì)產(chǎn)生短期波動(dòng)。、時(shí)間序列的分解模型將時(shí)間序列的變動(dòng)分解成上述四種因素，為描述時(shí)間序列提供的方便。時(shí)間序列的波動(dòng)可以解釋成這四種變動(dòng)的綜合后果，即：間序列y可以表示

5、為以上四個(gè)因素的函數(shù)： 時(shí)間序列分解的方法有很多，較常用的模型有加法模型和乘法模型。（）加法模型當(dāng)時(shí)間序列的四種變動(dòng)因素變量相互獨(dú)立時(shí)，時(shí)間序列就可以表示成各個(gè)因素的代數(shù)和：如前所示：是長(zhǎng)期趨勢(shì)；為季節(jié)因素；是循環(huán)變動(dòng)；為不規(guī)則變動(dòng)。在加法模式中，是關(guān)于的數(shù)量變量，用絕對(duì)數(shù)表示。（）乘法模型當(dāng)時(shí)間序列的四種變動(dòng)因素相互影響時(shí)，時(shí)間序列就可以表示成各因素的乘積：乘法模型是較為常用的一種形式，模型中長(zhǎng)期趨勢(shì)使用原始單位表示，另外三個(gè)因素用系數(shù)或百分比表示。、時(shí)間序列的分解方法時(shí)間序列的分解方法，就是運(yùn)用時(shí)間數(shù)列數(shù)據(jù)，將，分別求出來(lái)。其步驟為：1）運(yùn)用移動(dòng)平均法剔除長(zhǎng)期趨勢(shì)和周期變化，得到序列TC。

6、然后，再用按月（季）平均法求出季節(jié)指數(shù)S。（2）選擇適合的曲線(xiàn)模型擬合序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)，得到長(zhǎng)期趨勢(shì)T。（3）計(jì)算周期因素C。用序列TC除以T，即可得到周期變動(dòng)因素C。（4）將時(shí)間序列的T、S、C分解出來(lái)后，剩余的即為不規(guī)則變動(dòng)，即：設(shè)計(jì)步驟的原理是：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，可以消除數(shù)據(jù)的波動(dòng)。例：下表是某商品銷(xiāo)售額年的歷史數(shù)據(jù)，下面對(duì)此數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列分解分析：分析步驟如下：（）、季節(jié)指數(shù)的計(jì)算：由于一年有個(gè)季節(jié)，將四個(gè)季節(jié)的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均后，就能夠消除季節(jié)因素對(duì)數(shù)據(jù)的影響。采用四項(xiàng)移動(dòng)平均法這樣得到的數(shù)據(jù)為用就的到然后將的數(shù)據(jù)按照季節(jié)重新排列，求每一個(gè)季節(jié)的平均值，進(jìn)一步消除的影響，從而得到計(jì)算過(guò)程如

7、下表（）、長(zhǎng)期趨勢(shì)的計(jì)算長(zhǎng)期趨勢(shì)采用回歸分析法求的可以看出，本例的銷(xiāo)售額具有比較明顯的上升趨勢(shì)，可以用直線(xiàn)趨勢(shì)進(jìn)行擬合。設(shè)其一元線(xiàn)性回歸方程為：采用軟件進(jìn)行一元線(xiàn)性回歸分析得結(jié)果如下：從計(jì)算結(jié)果中可以看到，因此長(zhǎng)期趨勢(shì)為：將時(shí)間帶入可得每季的值，已列入前表（）、周期變動(dòng)因素的計(jì)算將除以，即可得到周期變動(dòng)因素，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)前表。（）、不規(guī)則因素計(jì)算將時(shí)間序列的、計(jì)算出來(lái)以后，剩余的即不規(guī)則變動(dòng)，即：、運(yùn)用時(shí)間序列分解法進(jìn)行預(yù)測(cè)在上例中，是按照乘法規(guī)則建立的時(shí)間序列分解模型：因此，如果我們想要對(duì)未來(lái)第期的銷(xiāo)售額進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以將、的預(yù)測(cè)值相乘，即得到預(yù)測(cè)值。例：預(yù)測(cè)年四個(gè)季度的銷(xiāo)售額三、時(shí)間序列的趨勢(shì)

8、外推法、趨勢(shì)外推法概述趨勢(shì)外推法，就是研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的趨勢(shì)如何隨時(shí)間變化的方法。即：采用時(shí)間作為自變量，時(shí)間序列數(shù)值作為因變量，建立趨勢(shì)模型（）通過(guò)該模型對(duì)未來(lái)時(shí)刻的值進(jìn)行預(yù)測(cè)適用條件：當(dāng)預(yù)測(cè)對(duì)象依時(shí)間變化呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢(shì)，沒(méi)有明顯的季節(jié)波動(dòng)，且能找到一個(gè)合適的函數(shù)曲線(xiàn)反映這種變化趨勢(shì)時(shí)，就可以用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)。其前提假設(shè)為（）事物發(fā)展沒(méi)有跳躍式變化，一般屬于漸進(jìn)性變化（）事物的發(fā)展因素也將決定事物未來(lái)的發(fā)展，即發(fā)展規(guī)律沒(méi)有改變或變化不大。、常用的趨勢(shì)模型趨勢(shì)外推法的實(shí)質(zhì)就是利用某種函數(shù)來(lái)描述預(yù)測(cè)對(duì)象的發(fā)展趨勢(shì)，常用的趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型有以下四種：（）多項(xiàng)式曲線(xiàn)外推模型（）指數(shù)曲線(xiàn)外推模

9、型（）對(duì)數(shù)曲線(xiàn)外推模型（）生長(zhǎng)曲線(xiàn)趨勢(shì)外推模型（）多項(xiàng)式曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型一次（線(xiàn)性）預(yù)測(cè)模型：二次（二次拋物線(xiàn)）預(yù)測(cè)模型：三次（三次拋物線(xiàn)）預(yù)測(cè)模型：一般形式：（）指數(shù)曲線(xiàn)外推模型一般形式 ：修正的指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型 ：這兩種不同的形式在本質(zhì)上是等價(jià)的（）對(duì)數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型：（）生長(zhǎng)曲線(xiàn)趨勢(shì)外推法： 皮爾曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型 ：龔珀茲曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型 ： 、趨勢(shì)模型的選擇趨勢(shì)外推法就是要找出那個(gè)函數(shù)能夠很好的擬合時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，并據(jù)此進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型選擇采用的方法主要有以下兩種（）圖形識(shí)別法（）差分法（）圖形法這種方法通過(guò)繪制散點(diǎn)圖來(lái)進(jìn)行，即將時(shí)間序列繪制成以時(shí)間為軸，以時(shí)序觀(guān)察值為軸的圖形，將其變化曲線(xiàn)與各類(lèi)

10、函數(shù)曲線(xiàn)圖形進(jìn)行比較，以便選擇較為適宜的模型。課本頁(yè)有一些常用的函數(shù)圖形（）差分法利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。一階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為： 一次線(xiàn)性模型差分計(jì)算表：可知，如果時(shí)間序列一階差分大致相等，就可以匹配一次線(xiàn)性模型時(shí)序yt=a+bt一階差分yt-yt-112t-1ta+ba+2ba+(t-1)ba+tb-bbb二次線(xiàn)性模型差分計(jì)算表：可知，如果時(shí)間序列二階差分大致相等，就可以匹配二次線(xiàn)性模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)序yt=b0+b1t+b2t2一階差分yt-yt-1二階差分yt-yt-112t-1tb0+b1+b2b0+2b1+4b2b0+(t-1)b1+b2

11、(t-1)2b0+tb1+b2t2-b1+3b2b1+(2t-3)b2b1+(2t-1)b2-.2b22b2 差分法識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線(xiàn)性模型二階差分相等或大致相等二次線(xiàn)性模型三階差分相等或大致相等三次線(xiàn)性模型一階比率相等或大致相等指數(shù)曲線(xiàn)模型一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線(xiàn)模型回總目錄回本章目錄四、多項(xiàng)式曲線(xiàn)外推法多項(xiàng)式曲線(xiàn)的一般形式為：當(dāng)k=1時(shí)，為直線(xiàn)模型。我們已經(jīng)用在時(shí)間序列分解分析法中計(jì)算過(guò)趨勢(shì)T當(dāng)k=2時(shí)，為拋物線(xiàn)模型。當(dāng)k=n時(shí)，為n次多項(xiàng)式模型一、二次多項(xiàng)式模型及其應(yīng)用二次多項(xiàng)式曲線(xiàn)模型為：設(shè)有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) y1 ， y2 ，yn

12、，令即：解這個(gè)三元一次方程，就可求得參數(shù)。 例 題 例 1 下表是我國(guó)19521983年社會(huì)商品零售總額（按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國(guó)社會(huì)商品零售總額 。回總目錄回本章目錄年份時(shí)序（t）總額 （ yt ）年份時(shí)序（t）總額 （ yt ）年份時(shí)序（t）總額（ yt ）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.61

13、9576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7回總目錄回本章目錄（1）對(duì)數(shù)據(jù)畫(huà)折線(xiàn)圖分析，以社會(huì)商品零售總額為 y軸，年份為x軸。回總目錄回本章目錄（2）從圖形中可以看出大致的曲線(xiàn)增長(zhǎng)模式，較符合 的模型有二次曲線(xiàn)和指數(shù)曲線(xiàn)模型。但無(wú)法確 定哪一個(gè)模型能更好地?cái)M合該曲

14、線(xiàn)，則我們將 分別對(duì)該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。 適用的二次曲線(xiàn)模型為： 適用的指數(shù)曲線(xiàn)模型為： 回總目錄回本章目錄（3）進(jìn)行二次曲線(xiàn)擬合。首先產(chǎn)生序列 ，然后運(yùn)用普通最小二乘法對(duì)模型各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。得到估計(jì)模型為：其中調(diào)整的 ， ， 則方程通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為151.7。 回總目錄回本章目錄(4) 進(jìn)行指數(shù)曲線(xiàn)模型擬合。對(duì)模型 ： 兩邊取對(duì)數(shù)： 產(chǎn)生序列 ，之后進(jìn)行普通最小二乘估計(jì)該模型。最終得到估計(jì)模型為： 回總目錄回本章目錄 其中調(diào)整的 ， ,則方程通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37。（5）通過(guò)以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用 二次曲線(xiàn)模型擬合的效

15、果更好。因此，運(yùn)用方程： 進(jìn)行預(yù)測(cè)，將會(huì)取得較好的效果。 回總目錄回本章目錄 二、三次多項(xiàng)式曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用 三次多項(xiàng)式曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型為：回總目錄回本章目錄設(shè)有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) y1 ， y2 ，yn ，令即：解這個(gè)四元一次方程，就可求得參數(shù)。回總目錄回本章目錄五、 指 數(shù) 曲 線(xiàn) 趨 勢(shì) 外 推 法 一、指數(shù)曲線(xiàn)模型及其應(yīng)用 指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型為：回總目錄回本章目錄對(duì)函數(shù)模型 做線(xiàn)性變換，得： 令 ，則這樣，就把指數(shù)曲線(xiàn)模型轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)模型了。回總目錄回本章目錄六、 生 長(zhǎng) 曲 線(xiàn) 趨 勢(shì) 外 推 法 一、龔珀茲曲線(xiàn)模型及其應(yīng)用 指數(shù)曲線(xiàn)不能預(yù)測(cè)接近極限值時(shí)的特性，因?yàn)楫?dāng)趨近于極限值時(shí)，特性值已經(jīng)不再按照指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)。 龔珀茲曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型為：回總目錄回本章目錄 對(duì)函數(shù)模型 做線(xiàn)性變換，得： 龔珀茲曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)于不同的lg a與b的不同取值范圍而具有間斷點(diǎn)。曲線(xiàn)形式如下圖所示。回總目錄回本章目錄(1) lga0 0b1(2) lga1(3) lga0 0b0 b1kkkk回總目錄回本章目錄(1) lga0 0b1k 漸近線(xiàn)（k）意味著市場(chǎng)對(duì)某類(lèi)產(chǎn)品的需求 已逐漸接近飽和狀態(tài) 。回總目錄回本章目錄(2) lga1k 漸近線(xiàn)（k）意味著市場(chǎng)對(duì)某類(lèi)產(chǎn)品的需求已由飽和狀態(tài)開(kāi)始下降 。回總目錄回本章目錄(3