1、第3章 立體的投影平面立體3.1曲面立體3.2截切體和相貫體3.3組合體3.4目錄3.1 平面立體 3.1.1 常見平面立體的投影圖 3.1.2 平面立體的投影圖的繪制 3.1.3 平面立體表面上點和直線的投影平面立體3.1.1 常見平面立體的投影3.1.1 常見平面立體的投影3.1.1 常見平面立體的投影3.1.2 平面立體圖的繪制繪制平面立體的三面投影圖，首先要按正確位置將形體放入三面投影體系中，讓形體的表面和棱線與投影面盡量平行或垂直。繪制平面體的投影圖實際上就是繪制平面體底面和側表面的投影，一般先畫出反映底面實形的正投影圖，然后再根據投影規律畫出其他兩個投影。3.1.2 平面立體圖的繪

2、制1棱柱體的投影圖（1）棱柱體的形成棱柱體是由兩個底面和幾個側棱面組成，且底面垂直于側棱面的平面立體。當棱柱底面為三角形、四邊形、五邊形、n邊形時，則該棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱、n棱柱。當棱柱底面為正n邊形時，稱為正n棱柱。上、下底面平行且相等；各棱線平行且相等；底面的邊數側棱面數側棱線數；表面總數底面邊數2。棱柱體的特點3.1.2 平面立體圖的繪制 選擇安放位置。同一形體因安放位置不同其投影也不同。為作圖方便，應將形體的表面盡量平行或垂直于投影面，如圖（a）所示。 投影分析。H面投影V面投影W面投影（2）棱柱體投影圖的繪制（a）3.1.2 平面立體圖的繪制 作圖步驟。在H面畫出反映底面

3、實形的正六邊形，如圖（b）所示。根據“長對正”的投影規律和正六棱柱的高度畫出V面的投影圖，如圖（c）所示。根據“高平齊，寬相等”的投影規律畫出W面上的投影圖，并加粗全圖，如圖（d）所示。（b） （c） （d）3.1.2 平面立體圖的繪制2棱錐體的投影圖棱錐體是底面為多邊形，棱線相交于一點的平面立體。當棱錐底面為三角形、四邊形、五邊形、n邊形時，則該棱錐稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐、n棱錐。當棱錐底面為正n邊形時，稱為正n棱錐。（1）棱錐體的形成底面為多邊形；各側棱線相交于一點；底面的邊數側棱面數側棱線數；表面總數底面邊數1。棱錐體的特點3.1.2 平面立體圖的繪制 選擇安放位置。如圖（a）所示，

4、將正五棱錐底面平行于H面，前底面邊線垂直于W面。 投影分析。H面投影V面投影W面投影（2）棱錐體投影圖的繪制（a）3.1.2 平面立體圖的繪制 作圖步驟。在H面上畫出反映底面實形的正五邊形，5條側棱的交點s是正五邊形的中心，如圖（b）所示。根據“長對正”的投影規律和正五棱錐的高畫出V面的投影，其中側棱sd是不可見的，應畫成虛線，如圖（c）所示。根據“高平齊、寬相等”的投影規律畫出W面的投影，其中側表面sa（b）積聚為一直線，應加粗圖線，如圖（d）所示。（b） （c） （d）3.1.3 平面立體表面上點和直線 的投影平面立體表面上點和直線的投影，應符合平面上點和直線的投影特點。求平面立體表面上的

5、點和直線的投影，實質就是求平面內點和直線的投影。3.1.3 平面立體表面上點和直線 的投影例3-1 已知四棱柱表面上K，L兩點在V面上的投影k，l及M點在H面上的投影m，求K，L，M三點在另外兩個面上的投影，如圖所示。3.1.3 平面立體表面上點和直線 的投影例3-2 已知三棱柱表面上直線AB，BC在V面上的投影ab，bc，求AB，BC在另外兩個面上的投影，如圖（a）所示。3.1.3 平面立體表面上點和直線 的投影分析與作圖：求三棱柱表面上直線AB，BC的投影，實質就是求三棱柱表面上A，B，C三點的投影，然后將其同面點的投影相連即可。由圖（a）的投影可知，點A在左前棱面上，點B在前棱上，點C在

6、右前棱面上，可利用三棱柱在H面投影積聚性確定其表面上的點的投影。過a，b，c向H面分別引垂線就可得到a，b，c三點，然后可根據已知兩個點的投影求出其在W面上的投影a，b，c，最后將其同面點的投影相連即可求出，具體畫法如圖（b）和圖（c）所示。3.2 曲面立體 3.2.1 常見曲面立體的投影圖 3.2.2 曲面立體投影圖的繪制 3.2.3 曲面立體表面上點的投影曲面立體3.2.1 常見曲面立體的投影圖3.2.1 常見曲面立體的投影圖3.2.2 曲面立體投影圖的繪制（1）選擇投影位置如圖（a）所示，將圓柱體立放在三面投影體系中，使上、下底面平行于H面，圓柱面垂直于H面。（2）投影分析H面投影V面投

7、影W面投影1圓柱體投影圖（a）3.2.2 曲面立體投影圖的繪制（3）作圖步驟先作H面投影，如圖（b）所示。根據“長對正”的投影規律和圓柱的高作出V面投影，它們是由上下底面的積聚投影和最左、最右輪廓素線圍成的矩形，如圖（c）所示。根據“高平齊、寬相等”的投影規律作出W面投影，它們是由上下底面的積聚投影和最前、最后輪廓素線圍成的矩形，如圖（d）所示。（b） （c） （d）3.2.2 曲面立體投影圖的繪制（1）選擇投影位置如圖（a）所示，將圓錐體立放在三面投影體系中，使下底面平行于H面。（2）投影分析H面投影V面投影W面投影2圓錐體投影圖（a）3.2.2 曲面立體投影圖的繪制（3）作圖步驟先作H面投

8、影面，如圖（b）所示。根據“長對正”的投影規律和圓錐體的高作出V面投影，它們是由下底面的積聚投影和最左、最右輪廓素線圍成的等腰三角形，如圖（c）所示。根據“高平齊、寬相等”的投影規律作出W面投影，它們是由下底面的積聚投影和最前、最后輪廓素線圍成的等腰三角形，如圖（d）所示。 （b） （c） （d）3.2.2 曲面立體投影圖的繪制（1）選擇投影位置如圖（a）所示，將球放在三面投影體系中，為了更好地理解球的三面投影特點，在球上標注A，B，C3個點，如圖（a）所示。（2）投影分析3個投影均為圓，直徑相等并等于球徑。3球投影圖3.2.2 曲面立體投影圖的繪制（3）作圖步驟作球的三面投影，如圖所示。A點

9、的V與W面投影剛好在直徑上，H面投影在圓周上；B點的H與W面投影剛好在直徑上，V面投影在圓周上；C點的H與V面投影剛好在直徑上，W面投影在圓周上，如圖所示。例3-2 如圖（a）所示，已知圓柱體表面上一點A的V面投影。求點A的H面、W面投影。3.2.3 曲面立體表面上點的投影1利用曲面投影的積聚性分析與作圖：因圓柱的軸線垂直于H面，故圓柱的水平投影有積聚性，又因a可見，表明點A位于圓柱的前半個表面上，因此過a向下投影，在圓柱水平投影的前半圓周上得點A的水平投影a。由a，a可求出a，如圖3-9（b）所示。因a位于V投影對稱軸的右側，故a為不可見，A點在圓柱體上的位置如圖3-9（c）所示。3.2.3

10、 曲面立體表面上點的投影例3-3 已知圓錐表面上一點A的V面投影a，求其水平投影a及側面投影a。3.2.3 曲面立體表面上點的投影2素線法和緯圓法方法一：素線法素線法就是過給定點和錐頂在錐面上作一條素線為輔助線，利用點、線的從屬關系，得出點的其余投影的方法。方法二：緯圓法假想沿平行于圓錐的底面方向切割圓錐，可形成許多圓，這些圓稱為緯圓。錐面上任一點必在其高度相同的緯圓上，用緯圓作輔助圓來確定曲面上點的投影位置的方法稱為緯圓法。分析與作圖： 如圖（b）所示，過圓錐頂S的V面投影s與點A的V面投影a作一條素線sa與底圓交于點b，從而得到SB的V面投影sb。 由sb可求出sb。 因點A在素線SB上，

11、故過a向下作垂線交sb于a，由a和a可求得點A的側面投影a。3.2.3 曲面立體表面上點的投影分析與作圖： 如圖3-11所示，過點A作緯圓。因緯圓平行于H面，所以其在V面上的投影為一條平行于OX軸的直線，過a作一條水平線12，12即為過點A的水平緯圓的V面投影。 以12為直徑，在H面上畫出緯圓的水平投影。 過a在緯圓的水平投影上得出a，再由a和a求得a。3.2.3 曲面立體表面上點的投影3.3 截切體和相貫體3.3.1 截切體 3.3.2 相貫體 3.3.3 截切體和相貫體的尺寸標注截切體 和相貫體3.3.1 截切體如圖所示，被平面截割后的形體，稱為截切體。截割形體的平面，稱為截平面。截平面與

12、形體表面的交線，稱為截交線。截交線所圍成的平面圖形，稱為截面。1截切體的有關概念及性質3.3.1 截切體因為立體的形狀都不一樣，截平面與立體表面的相對位置也各不相同，由此產生的截交線形狀也千差萬別，但所有的截交線都具有以下基本性質： 共有性。截交線是截平面與立體表面的共有線，既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面共有點的集合。 封閉性。由于立體表面是有范圍的，所以截交線一般是封閉的平面圖形。求截交線，就是求出截平面與立體表面的一系列共有點，然后依次連接即可。3.3.1 截切體用截平面截切平面立體得到的截切體，叫平面截切體。因為平面立體的表面由若干平面圍成，所以平面與平面立體相交時的截

13、交線是一個封閉的平面多邊形，多邊形的頂點是平面立體的棱線與截平面的交點，多邊形的每條邊是平面立體的棱面與截平面的交線。因此求作平面立體上的截交線，可以歸納為兩種方法： 交點法：即先求出平面立體的各棱線與截平面的交點，然后將各點依次連接起來，即得截交線。 交線法：即求出平面立體的各表面與截平面的交線。2平面截切體3.3.1 截切體例3-4 已知六棱柱被正垂面截切，作出其截交線的投影，如圖所示。3.3.1 截切體分析與作圖：六棱柱被正垂面截切，截交線是六邊形，6個點是6條側棱與已知截平面的交點。截交線的正面和水平投影都已知，其正面投影積聚為一條直線，水平投影則與六棱柱的水平投影重合。根據1，2，3

14、，4，5，6六個點的正面和水平投影，利用投影規律，求出其側面投影1，2，3，4，5，6。依次連接12，23，34，45，56，61，即得截交線的投影。3.3.1 截切體用截平面截切曲面立體得到的截切體，叫曲面截切體。平面與曲面立體相交，所得的截交線一般為封閉的平面曲線。截交線上的每一點，都是截平面與曲面立體表面的共有點，求出這些共有點，然后依次連接起來，即得截交線。截交線可以看作截平面與曲面立體表面上交點的集合。截交線上的一些能確定其形狀和范圍的點，如最高、最低點，最左、最右點，最前、最后點，以及可見與不可見點等，都是特殊點。作圖時，通常先作出截交線上的特殊點，再按需要作出一些中間點即可，并要

15、注意投影的可見性。3曲面截切體3.3.1 截切體例3-5 求作圓柱體的截交線的投影，如圖所示。3.3.1 截切體分析與作圖：圓柱體被正垂面截切，截切線是橢圓曲線。截切線的作法如下： 先繪制形體三面投影的外輪廓線，然后作出截平面位置的投影圖，如圖所示。3.3.1 截切體 取截切線上A，B，C，D（長、短軸端點）4個特殊點，并求出4個點的三面投影，如左圖所示。 取AD，DB，BC，CA4條線段的中間點H，F，E，G，并求H，F，E，G4個點的三面投影，最后擦去多余圖線，依次光滑連接各點，即得到截切線的投影，如右圖所示。3.3.2 相貫體兩立體相交得到的新立體稱為相貫體，兩立體因相交表面產生的交線稱

16、為相貫線。立體相貫的形式有兩種：一種是全貫，即一個立體完全穿過另一個立體，相貫線有兩組；另一種是互貫，兩個立體各有一部分參與互貫，相貫線只有一組。相貫線的形狀取決于兩相交立體的形狀、大小及其相對位置。兩回轉體相交得到的相貫線，具有以下性質： 相貫線是相交兩立體表面共有的線，是兩立體表面一系列共有點的集合，同時也是兩立體表面的分界點。 由于立體占有一定的空間，所以相貫線一般是封閉的空間曲線。1相貫體的有關概念及性質求相貫線，實際上是求兩立體表面的共有點或線。相貫線可見性的判斷原則：相貫線同時位于兩個立體的可見表面上時，其投影才是可見的；否則就不可見。3.3.2 相貫體2立體表面的相貫線立體相交平

17、面立體與平面立體相交平面立體與曲面立體相交曲面立體與曲面立體相交3.3.2 相貫體兩平面立體的相貫線，一般情況為空間折線，特殊情況為平面折線，每段折線是兩立體棱面的交線，每個折點是一立體棱線與另一個立體的貫穿點。求兩平面體的相貫線的方法有兩種： 交點法。先做出其中一個平面立體的有關棱線與另一個平面立體的交點，再將所有交點依次連接成折線，即組成相貫線。連點的規則：只有當兩個交點對每個平面立體來說，都位于同一個棱面上時才能相連，否則不能相連。 交線法。直接作出兩平面立體上兩個相應棱面的交線，然后組成相貫線。（1）兩平面立體的相貫線3.3.2 相貫體例3-6 如圖所示，求作長方體和三棱錐的相貫線。分

18、析： 根據相貫體的正面投影可知，長方體整個貫入三棱錐，因是全貫，應有兩組相貫線。 因為長方體的正面投影有積聚性，所以相貫線的正面投影是已知的，積聚在這個長方體正面投影的輪廓線上。剩下的問題僅僅是根據相貫線的正面投影補畫出相貫線的水平投影和側面投影。3.3.2 相貫體作圖： 在正立面標出各貫穿點的投影。 作水平面P，Q，求出全部這點的水平投影，進一步求出其側面投影。 連點并判別可見性。水平投影中線段45，56，910不可見，畫成虛線。3.3.2 相貫體平面立體與曲面立體的相貫線是由若干段平面曲線或平面直線和直線所組成，即平面立體上各棱面截曲面立體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的折點，就是平面

19、立體的棱線與曲面立體表面的交點。作圖時，先求出這些轉折點，再根據求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。（2）平面立體與曲面立體的相貫線3.3.2 相貫體例3-7 如圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。分析： 根據4棱錐各棱面與曲面立體軸線的相對位置，確定相貫線的空間形狀。四棱錐的4個棱面與圓柱軸線傾斜，其截交線各為橢圓的一部分，即截交線為4段橢圓弧線的組合，4條棱線與圓柱面的4個交點是連接點。 根據四棱錐、圓柱與投影面的相對位置確定相貫線的投影。由于圓柱面的水平投影有積聚性，所以相貫線的水平投影是已知的，只需求正面投影。3.3.2 相貫體作圖： 求連接點。由3，4，5，6求出其正面投影。 求

20、特殊點。7，8兩點是正面轉向輪廓線上的點，其正面投影可在V面上直接找出，1，2兩點是側面轉向輪廓線上的點，可以利用輔助平面作出。 判別可見性并連線。不可見線被可見線遮擋，因此所有線段均為實線。3.3.2 相貫體（3）兩曲面立體表面的相貫線兩曲面立體表面的相貫線，一般是封閉的空間曲線，特殊情況下可能為平面曲線或直線。組成相貫線的所有相貫點，均為兩曲面體表面的共有點。因此求相貫線時，要先求出一系列的共有點，然后依次連接各點，即得相貫線。求相貫線的方法通常有以下兩種： 積聚投影法。相交兩曲面體，如果有一個表面投影具有積聚性時，就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點，然后依次連成相貫線。

21、 輔助平面法。根據三點共面原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔助截交線的交點，即為相貫點。選擇輔助平面的原則：輔助截平面與兩個曲面的截交線（輔助截交線）的投影都應是最簡單易畫的直線或圓。3.3.2 相貫體在解題過程中，為了使相貫線的作圖清楚、準確，在求共有點時，應先求特殊點，再求一般點。相貫線上的特殊點包括可見性分界點，曲面投影輪廓線上的點，極限位置點（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。根據這些點不僅可以掌握相貫線投影的大致范圍，而且還可以方便設立求一般點的輔助截平面的位置。3.3.2 相貫體例3-8 如圖所示，求作兩軸線正交的圓柱體的相貫線。 根據兩立體與投影面的相對位置確定相貫線的

22、投影。相貫線的水平投影積聚在大圓柱的水平投影上（即小圓柱水平投影輪廓之間的一段大圓弧），相貫線的側面投影積聚在小圓柱的側面投影上（整個圓）。因此，余下的問題是根據相貫線的已知兩投影求出它的正面投影。分析： 根據兩立體軸線的相對位置，確定相貫線的空間形狀。由圖可知，兩個直徑不同的圓柱垂直相交，大圓柱為鉛垂位置，小圓柱為水平位置，由左至右完全貫入大圓柱，所得相貫線為一組封閉的空間曲線。3.3.2 相貫體作圖： 求特殊點； 求一般點； 連點并判別可見性。3.3.2 相貫體（4）曲面立體相貫線的特殊情況兩曲面立體相交，其相貫線一般為空間曲線，但在特殊情況下也可能是平面曲線或直線。 兩個曲面立體具有公共

23、軸線時，相貫線為與軸線垂直的圓，如圖所示。3.3.2 相貫體 當正交的兩圓柱直徑相等時，相貫線為大小相等的兩個橢圓（投影為通過兩軸線交點的直線），如圖所示。3.3.2 相貫體 當相交的兩圓柱軸線平行時，相貫線為兩條平行于軸線的直線，如圖所示。3.3.3 截切體和相貫體的 尺寸標注1截切體的尺寸標注對于截切體，由于被截平面截切，往往會出現切口和穿孔的結構。因此，除了要標注基本形體的尺寸外，還應標注截平面的位置尺寸。截切體的尺寸標注不必標注截交線的尺寸，因為基本體與截平面的相對位置一旦確定，截切體的形狀與大小也就完全確定下來了。2相貫體的尺寸標注相貫體是由兩立體相交得到的，只有當兩相交立體的形狀、

24、大小及相對位置確定以后，形成的相貫線的形狀、大小及相對位置才能完全確定下來。除了要標注相交兩形體的尺寸外，還應標注確定兩基本體相對位置的尺寸，但不必標注相貫線的尺寸。3.4 組合體3.4.1 組合體的分類 3.4.2 組合體投影圖的繪制 3.4.3 組合體投影圖的識讀組合體 3.4.4 組合體投影圖的尺寸標注（1）疊加式（1）疊加式3.4.1 組合體的分類疊加式是把組合體看成由若干個基本形體疊加而成的。（2）切割式（3）混合式3.4.1 組合體的分類（1）疊加式（2）切割式（3）混合式切割式是組合體由一個基本形體經過若干次切割而成的。3.4.1 組合體的分類（1）疊加式（2）切割式（3）混合式

25、混合式是組合體是既有疊加又有切割組合而成的。3.4.2 組合體投影圖的繪制1形體分析繪制組合體的投影圖時，應先分析出組合體的組合方式，如組合體是由哪些基本形體組成的，并了解它們之間的相對位置關系。2選擇投影方向選擇投影方向的原則： 反映組合體的形狀特征。 形體上處于投影面平行面的表面最多，投影圖上的虛線最少。 形體的正常工作位置。例如，板的正常工作位置是水平放置，而柱的正常工作位置為豎直放置。3畫投影圖畫投影圖的一般步驟如下： 先進行圖面布置。 畫底稿線，分別畫出各基本形體的三面投影，然后進行檢查、修線、加粗線條。3.4.2 組合體投影圖的繪制例3-9 畫出圖中疊加型組合體的三面投影圖。 形體

26、分析：組合體由一個水平放置的長方體（即形體1）、右上方直立的長方體（即形體2）、兩形體中間平放的三棱柱（即形體3）共同組合而成。 選擇投影方向：選擇正對著直立的長度方向為投影方向，如圖中箭頭所示。3.4.2 組合體投影圖的繪制 畫投影圖：圖面布置之后，畫底稿線，先畫形體1的三面投影，再畫直立的形體2的三面投影，最后畫形體3的三面投影。然后檢查、修改、擦去多余的線條，按規定加粗各類圖線，如圖所示。3.4.2 組合體投影圖的繪制例3-10 畫出圖示切割型組合體的三面投影圖。 形體分析：組合體可以看成是一個長方體切割掉形體1和形體2后的剩余體。 選擇投影方向：選擇正對著直立的長度方向為投影方向，如圖

27、中箭頭所示。3.4.2 組合體投影圖的繪制 畫投影圖：先畫出完整長方體的三面投影，然后分別畫出形體1和形體2的三面投影，最后檢查、修改、擦去多余的線條，按規定加深各類圖線，如圖所示。3.4.2 組合體投影圖的繪制例3-11 畫出圖示綜合型組合體的三面投影圖。 形體分析：組合體可以看成是一個四棱柱（即形體1），在它的上面疊加一個四棱柱（即形體2）和一個三棱柱（即形體3），而形體1中又挖去了一個圓柱（即形體4）。 選擇投影方向：如圖中投影體系所示。3.4.2 組合體投影圖的繪制 畫透明圖：先畫出形體1的三面投影，然后分別畫出形體2和形體3的三面投影，檢查、修改、擦去多余的線條，按規定加粗各類圖線，

28、最后畫出形體4的三面投影，如圖所示。3.4.3 組合體投影圖的識讀形體分析法是繪圖、識讀的基本方法。這種方法是以基本形體的投影特點為基礎，把一個復雜的形體分解成若干個基本形體，并分清它們的相對位置和組合方式，將幾個投影圖聯系起來，綜合想象出形體的完整形狀。1形體分析法線面分析法是以線和面的投影特點為基礎，對投影圖中的每條線和由線圍成的各個線框進行分析，根據它們的投影特點，明確它們的空間形狀和位置，綜合想象出整個形體的形狀。2線面分析法3.4.3 組合體投影圖的識讀例3-12 識讀圖示組合體的投影圖。3.4.3 組合體投影圖的識讀分析與識讀：從圖中可知，該組合體是由4個基本形體所組成的。如下圖所

29、示，先把各個形體的投影圖拿出來，想象各個形體的形狀。再把幾個投影圖聯系起來，根據它們的相對位置和組合方式，最終想象出該組合體的直觀圖。3.4.3 組合體投影圖的識讀例3-13 識讀下圖所示組合體的投影圖。3.4.3 組合體投影圖的識讀分析與識讀：從圖中可以看出，H面投影有3個線框1，2，3，根據投影關系判斷，其在V面和W面的投影分別為1，2，3和1，2，3。V面投影的3個線框除了已標定的3外，還有兩個線框4和5，根據投影關系判斷，其在H面和W面的投影分別為4，5和4，5。W面投影的兩個線框除已標定的2外，還有線框6，其在H面和W面的投影分別為6和6。通過分析可知，平面是水平面，在形體的最上部；平面是正垂面，在形體的左上部；平面是側垂面，在形體的前上部；平面是正平面，在形體的左前部；平面也是正平面，在形體的右前部；平面是側平面，在形體的最左側。綜合起來，想象出該形體的空間形狀如圖所示。3.4.4 組合體投影圖的尺寸標注1組合體尺寸標注的基本要求組合體投影圖只能表達物體的形狀，而各部分的實際大小及相對位置，必須通過尺寸標注來表達