1、-. z全等三角形的證明全等三角形的性質(zhì)：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊(4)有公共角的，公共角常是對應角(5)有對頂角的，對頂角常是對應角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或?qū)?，一對最短邊(或最小角)是對應邊(或?qū)?要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵全等三角形的判定方法：(1)

2、邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對應相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的根底專題1、

3、常見輔助線的做法典型例題找全等三角形的方法：1可以從結論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段或兩個角分別在哪兩個可能全等的三角形中；2可以從條件出發(fā)，看條件可以確定哪兩個三角形全等；3可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；4假設上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構造全等三角形；利用翻折，構造全等三角形；引平行線構造全等三角形；作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用三線合一的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的對折。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于

4、點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。思路分析：1題意分析：此題考察等腰三角形的三線合一定理的應用2解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。解答過程：證明：延長BA，CE交于點F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形三線合一性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應用不但可

5、以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯(lián)系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學思想，它是解決問題的關鍵。2假設遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的旋轉(zhuǎn)。例2：如圖，ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見輔助線的知識。2解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，此題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC

6、，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分線1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。3遇到角平分線，可以自角平分線上的*一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的對折，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：，如圖，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180。思路分析：1題

7、意分析：此題考察角平分線定理的應用。2解題思路：因為AC是BAD的平分線，所以可過點C作BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。解題后的思考：關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點即聯(lián)想到中位線。4過圖形上*一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的平移或翻轉(zhuǎn)折疊例4：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交B

8、C于D，假設EB=CF。求證：DE=DF。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形DEB與DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進展相等線段的等量代換：過E作EG/CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過E作EG/AC交BC于G，則EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例5：ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC

9、交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2解題思路：此題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過程：證明：如圖1，過O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PB

10、O=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：1此題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即截長法。2此題利用平行法的解法也較多，舉例如下：如圖2，過O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖5，過P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不管是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構造了全等三角形。5截長法與補短法，具體作法是在*條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將*條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，ADBC，點E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用截長補短法中的截長，即在CD上截取CF