1、塑性(sxng)力學05共二十七頁第五章 球對稱(duchn)和軸對稱(duchn)的彈塑性問題5-1 理想(lxing)彈塑性材料的厚壁球殼 問題的描述與分析問題: 內徑為 ,外徑為 球,受內壓力 ,求彈塑性極限荷載.分析:很顯然它的應力和位移場是球對稱的, 采用球坐標.應力場:應變為顯然這就是說,在加載過程中 應力和應變主方向是重合的, 并保持不變, 那么加載是簡單加載, 適用全量理論.共二十七頁 球對稱(duchn)問題的平衡方程, 應變連續方程和邊界條件平衡方程(fngchng)為(不考慮體力):應變分量為這里 是徑向位移.它們應滿足應變連續性方程邊界條件為1. 彈性狀態 首先建立位移

2、表示的平衡方程. 球體處于彈性狀態, 根據廣義Hooke定律然后用應變表示應力得到:共二十七頁把它代入平衡方程(fngchng)得到用位移表示的平衡方程(fngchng): 解這個(zh ge)方程得利用邊界條件得到最后得到位移解為:共二十七頁可以得到(d do)應力分量 求彈性極限壓力. 根據球殼的屈服(qf)條件(例2-3)即將上面的應力分量代入屈服條件得從上式可以看出在球殼內壁最先屈服, 令 得到彈性極限壓力:從上式可以看出,當 時, , 這說明如果使球殼處于彈性工作狀態, 那么無論壁厚增加多少也不能提高它的承載能力.共二十七頁2. 彈塑性狀態(zhungti)當壓力 時,球殼內壁開始屈

3、服并向外擴展到半徑 處,如果材料是理想(lxing)彈塑性, 在塑性區應力仍要滿足平衡條件,此時考慮到屈服條件 ,因此有積分得到根據邊界條件得到積分常數得到塑性區的應力為彈性區的應力把前面的彈性解中的 即可共二十七頁考慮(kol)到在交界面處 要連續, 所以得到 和 的關系式.3. 塑性極限狀態. 上式令 , 球殼全部進入塑性得到(d do)塑性極限壓力為 此時塑性區的應力為共二十七頁5-2 棒材的拉拔(l b)加工1)問題說明(shumng)見圖2)假定條件 理想彈塑性無摩擦,接觸面是主平面 塑性變形向o點徑向流動,并且穩定.3)可以看成球殼的一部分,全部進入塑性狀態,可以利用上面解球殼的思

4、路. 平衡方程不變.屈服條件的形式不同, 因為在拉拔情況, , 屈服條件為 代入平衡方程得到共二十七頁解這個(zh ge)方程得到:由進口截面(jimin)處的邊界條件 得積分常數為解得應力分量為4)求解出口截面的拉拔應力為那么拉拔力為5)定義截面減縮率為可以求得拉拔時最大減縮率.因為材料是理想彈塑性, 出口截面處的拉拔應力不能超過屈服應力, 所以有這樣得到那么最大減縮率為共二十七頁5-3 理想(lxing)彈塑性材料的厚壁圓筒問題的描述: 分析(fnx)內徑為 ,外徑為 的厚壁圓筒,在其內表面受內壓為 .假定是不可壓縮的理想彈塑性材料, 并限定為平面應變問題.取柱坐標,使 軸與筒軸線重合.1

5、)彈性狀態 彈性應力解為(由于材料不可壓縮 ):那么根據Mises屈服條件得到彈性極限壓力為:應力強度為即因此可見最大應力強度發生在內壁處.共二十七頁2)彈塑性狀態 令 是彈塑性交界面的半徑. 首先我們分析一下在塑性區的應力分量的關系. 因為材料的不可壓縮(y su), ,又因為的平面應變 ,這樣根據簡單加載的全量理論有因此(ync)得到另外根據筒的受力性質知道 是拉應力, 是壓應力,所以應力強度根據塑性區是理想彈塑性所以Mises屈服條件有平面軸對稱問題的平衡方程為 這樣由屈服條件和平衡方程得到積分得到再由邊界條件得積分常數共二十七頁 這樣得到(d do)塑性區的應力: 彈性區的應力,可以利

6、用(lyng)彈性狀態的解令 交界面應力連續得到這是 和 的關系式.3) 上式令 ,得到塑性極限壓力:此時塑性區應力為:共二十七頁4)殘余應力的計算. 厚壁圓筒在進入塑性狀態以后, 將內壓力全部卸載, 此時卸載的荷載變換為 ,按彈性計算得到(d do)變化的應力, 這樣用卸載前的應力減去這個變換應力就得到(d do)殘余應力.用圖來表示(殘余應力只給出環向應力)為:從殘余應力圖(lt)中看出,內壁有殘余壓應力, 這就是對厚壁圓筒施加了預應力, 從而可以提高筒的壓應力.這種利用預加塑性變形來提高結果承載能力的技術在工程中被廣泛使用.共二十七頁5)變形計算(j sun). 考慮平面應變和小變形,

7、建立位移方程并求解.因為又根據幾何(j h)方程 就可以得到解為注意,這里推導沒有涉及應力應變的關系.也就是這個解適用彈性區和塑性區. 現在根據彈性區的應力應變關系來定積分常數B. 把彈性區的應力分量代入Hooke定律, 考慮到另外由位移得比較這兩個式子得共二十七頁 最后得到(d do)位移和應變為5-4 硬化(ynghu)材料的厚壁圓筒1)我們要注意與理想彈塑性材料的不同是屈服條件有什么變化?硬化條件是什么?對于這個問題這個問題適用全量理論, 由單一曲線假定 ,所以有2)上一節在變形計算中結果有共二十七頁它仍然(rngrn)適合這個問題,所以應變強度為3) 有了上面兩點我們(w men)來求

8、解硬化材料情況下的問題將上式從 積分,并考慮到邊界條件也就是這里常數B可以按照內壁的半徑條件 來定.共二十七頁4) 如果(rgu)有 即代入上式積分(jfn)可得再積分再把B代入得到應力為以及共二十七頁5-5 旋轉(xunzhun)圓盤.問題(wnt)描述: 半徑為 的等厚薄圓盤, 理想彈塑性材料, 繞圓心 等速旋轉. 由于離心慣性力盤內產生應力應變. 因為盤薄認為垂直薄盤的應力 為零, 可以簡化平面應力問題,又因為軸對稱,所以剪力為零, 這樣 和 為主應力. 主應力和位移的關系為 平衡方程為1. 彈性狀態 按位移求解, 通過Hooke定律用位移來表示應力, 然后再代入平衡方程得到關于位移的一

9、個微分方程該方程的解為:共二十七頁根據半徑條件來定A和C積分常數. 因為(yn wi)圓心的位移有限所以C必須為零, 另外在圓盤的外邊緣的應力 ,可以確定這樣(zhyng)就確定了彈性階段的位移和應力:下面來求彈性極限轉速. 用Tresca條件, 知道這樣屈服條件為顯然在圓心處 最大首先屈服,即得到彈性極限轉速:共二十七頁2. 彈塑性狀態 當 時, 圓盤從圓心向外進入塑性, 假設彈塑性分界線的半徑為 在塑性區根據(gnj)平衡方程和屈服(qf)條件有積分得到因為圓心應力有限即D=0.所以塑性區的應力在彈性區,可以看作為內徑為 , 外徑為 的空心旋轉圓盤.此時在 處已經屈服有: 徑向應力要連續有

10、:此時在 處的邊界條件為:共二十七頁另外在前面彈性(tnxng)狀態分析時我們已經解得彈性(tnxng)位移解為這樣可以求得應力分量,它們包括 待定常數(chngsh),由上面三個邊界條件就可以確定它們. 最后可以得到彈塑性狀態時的彈性區的應力和轉速.下面給出轉速3. 塑性極限階段當 時, 整個圓盤進入塑性狀態.我們在上式令 即得到塑性極限轉速共二十七頁5-6 圓板的軸對稱彎曲(wnq)1.基本(jbn)方程問題描述: 軸對稱荷載作用下圓板的彎曲問題.材料為連續彈塑性. 采用圓柱坐標, 具體尺寸見圖.板的變形仍保留Kirchhoff假設, 又由于對稱性板的撓度 只是 的函數,有因此得考慮圓板的

11、一個微小單元,由平衡條件可以得到兩個平衡方程:共二十七頁即2.極限條件 當板進入(jnr)屈服時, 其應力分量的值沿z向不變, 并且中面上下應力分量的符號相反, 因此有考慮Mises屈服條件(tiojin)(忽略 對屈服的影響)那么就有:其中這是用廣義力表示軸對稱圓板彎曲的Mises屈服條件.共二十七頁如果用Tresca條件可能比較方便(fngbin).不考慮 的影響,Tresca條件可以寫成也可以(ky)證明它的廣義力的表達式為:下面舉例說明求塑性極限荷載.例題5-1周邊簡支,半徑為 承受均勻荷載的圓板.求塑性極限荷載和速度場.彎矩的最大值在原點處,并且 , 顯然,根據Tresca條件,首先

12、在原點屈服,考慮彎矩都大于零,在塑性極限狀態它在圖中的A點.在周邊,相當于圖中的B點.因此可以設想板的屈服過程是沿AB線進行.共二十七頁根據分析(fnx)這個問題的Tresca條件為根據平衡(pnghng)方程可得其解為考慮在原點處 有限, 所以 .又考慮到邊界條件 就得到均布荷載的簡支圓板的塑性極限荷載:關于板的塑性變形問題:按流動法則,對于AB邊有故有共二十七頁此方程也可用速率(sl)表示它的解為由 ,得 , 所以(suy)上式變為這里 是 處 的值, 它是不確定的,因為在塑性極限狀態時,板的變形是不受限制的, 其變形形狀如圖.共二十七頁內容摘要塑性力學05。分析:很顯然它的應力和位移場是球對稱的, 采用球坐標.。球對稱問題的平衡方程, 應變連續方程和邊界條件。把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程:。求彈性極限壓力. 根據球殼的屈服條件(例2