1、 10.高階緊致差分格式先考慮導數的差分近似。若某一差分近似的精度是p階的，則近似的誤差就是OChp)。要想進一步提高精度，通常有兩種途徑：減小h(h-version)或是提高p(p-version)。但由于計算機資源的限制，h不可能無限地減小，因此在需要高精度流場計算的情形(如，粘性邊界層、湍流等)，就要考慮采用高階格式。通常情形，構造高階格式需要更多的點。例如：兩點差分近似只有一階精度。而使用三個點，就可以構造出二階近似-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)-2h精度越高，需要的點就更多。對于中心差分近似也有類似的結果。但是這種高階近似用在差分格式中，除了計算公式更加復雜，計算量增加

2、之外，還會造成其他困難。例1：以一個簡單的常微分方程初值問題為例。設a0。du+au=0(00，導數采用向后差分近似，就有u-ujj-_L+au=0(j=1,2,3,L,M)hj實際的計算方案為1u=uj1+haj-1j=1,2,3,L,M)上述格式用到兩個點，但只有一階精度。如果采用二階差分近似則成為3u-4u+ujj-i+au=0(j=2,3,L,M)hj這個格式具有二階精度。可是由于涉及三個點，所以只能從j=2開始計算。而初始條件只提供了u=a。因此u的計算就需要補01充另外的等式。對于更為復雜的流動控制方程以及更復雜、精度更高的數值格式，這種問題就更加嚴重。現在我們從另外一個角度來考察

3、上述問題。將導數的近似值記作/duu0一jdx，則差分格式就可寫成ju0+au=0jj我們剛才所做的不過是用不同的差分來代替u0。因此，我們遇到的j困難就是：用高階差分代替u0，就會涉及更多的點。而我們的問題j也就是：有沒有不涉及更多點的高階差分？ 234 我們借助算符演算來討論這一問題。例2：由?I-E-1可推出E-1=I-，于是有TOC o 1-5 h zD=ZinE=-1lnE-1=-Lln(I-)hhh1驏111亠=-1?i?2i?3丄？4LZh桫234Z?2?323!?44LZZ上式右端取第一項，就得到一階差分近似=1G-E-1)，即f厶)/C)-fC-h)hh如果取前兩項，就得到二

4、階近似2Z1犏-E-J+(-E-J2h臌臌=(2I-2E-1+I-2E-1+E-2)=(3I-4E-1+E-2即-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)2h這些就是前面用到的向后差分近似。但如果繼續演算，有D=?2!?3?4LZZ11hn22蟲4?4L11hn21?221?331?,4?2!?34?46UL再八U1?12上式中N2的系數為零,因此取第一項相當于取了前兩項，也能得到二階精度的近似。即D1Nhn2注意到此式中只出現了N的一次方,因此只涉及兩個點。上面導出了一個新的差分近似,是用差分算子的有理分式表示的，因此稱為微分算子的有理函數近似（Pade逼近）。而通常的差分近似都是用多項式

5、表示的。例3：由(p5=p53-p2+E-2)33臌41(E+2I+E-1)33臌4=03-犏1(E-2/+E-1)03=卩03+4卩05(0)5=05-4)05=05-1(E2+E-；)05臌162=05-2+4E+6I+4E-1+E-2)05犏16=LIO5-1_22I+E-1)2-4E+6I-4E-1+E-205uu111604倉5=卩05+尹07+于是有D=MG0)=16鮒訥0-L1驏瓏6暑丄卩09-L1611亠口03+口05-L士630_上式右端取第一項，就得到二階精度的中心差分近似(E-E-1)，即f(x+h)-f(x-h)2h而取前兩項，就能得到四階精度的中心差分近似 6 D?1

6、8驏h桫5112h(E2-8E+8E-1-E-2)f(x+2h)-8f(x+h)+8f(x-h)-f(x-2h)12h但又有11lx53+lx55-6卩30卩11hT1oI+_52仏6瓏+652鼢11lx53+lx55-L630_li53+6130|lx55-LWTOC o 1-5 h z驏1龍+8_卩53-卩55+L卻磅5-0 x53+1636嚴議毎卩55-Li=11=hrrI+526和前一個例子一樣，上式中只取第一項，就能得到四階精度的中心差分近似D而且該差分近似只涉及三個點。以上的討論表明，有理函數近似可以達到我們原來的目的，即有理函數近似具有更高的精度，又不涉及更多的點。面考慮微分算子

7、有理函數近似在數值格式中的應用。這種有理函數的表達式只是一種算符操作，在實際應用中就需要將有理分式化為整式，過程如下。例4：由D1Nhn2作用在函數f(x)上-牙鴉Df(x)Lf(x)桫2一h即桫一2葩)hf(x)將算子展開，就是f佢)+fC-h)fC)-fC-h)2h對中心差分近似也有類似地的結果。例5：由門1MDh11只I+_026有驏+1o2ioLm桫6一h作用在函數f(x)上，夢+-02iof(X)1y0fC)桫6ih即驏+102ifXx)丄|10f(x)桫6ih將算子展開，就是f紅+h)+4f(x)+f(x-h)f(x+h)-f(x-h)62h以上兩個例子表明，有理函數給出的差分近似

8、，會同時有多個點處的導數值出現，需聯立求解。而通常的差分近似，只出現一個點處的導數值，可逐點計算。這兩者之間的區別，類似于隱式格式與顯式格式的區別。正因為如此，微分算子的有理函數近似也稱為隱式差分近似。同時，由于涉及較少的點，通常又稱為緊致差分近似。例6：將例4中的緊致差分近似應用于例1中給出的初值問題，(u0+au=0jj1iu1+uu-ujj-1=jj-12hj=1,2,3,L,M)整理后，得到未知解的近似u及其導數值近似u0的聯立方程組jju0+au=0jj-hu1+2u=hu+2ujjj-1j-1解得u=j1u0=j2u+hu0j-12+ha2au+hau0j-12+haj=1,2,3

9、,L,M)對于j=0，利用原方程可給出初值u=a,u0=-au=-aa000由此可見，在緊致差分格式的求解過程中，未知解的近似及其導數值的近似都是未知量，是需要聯立在一起求解的。上面的例子是一個兩點緊致格式，最終得到了一個遞推關系式，逐點計算。對于涉及三個甚至更多點的高階緊致格式，就需要將未知解的近似u、u、L、u及其導數值的近似u0、u0、L、12M12u0（如果原方程還包括二階導數，則還有二階導數值的近似u1、M1u1、L、u1）全部放在一起聯立求解。因此，高階緊致格式中需2M要求解的未知量比較多，這是它的一個弱點。1.2.3.4.5.面列出一階導數和二階導數高階緊致差分近似的一些結果。P

10、ade逼近（三點四階）uii+4u+uj+1ji-16uj+1j-12hu1+10u1+u1U1jji12uj+12u+uh2對稱緊致格式（五點六階）14u3j+ij3j-192h11u11+u+u對稱緊致格式（五點八階）j+1144u1+u+u1+u36j+29j+ij9j-11u1+2j-294h1u36j-240u272hj+1j+25u54j-2.4h迎風緊致格式（三點三階）21_u1+uu+j+14u-5u/-13j3j-16h迎風緊致格式五點五階）32u1+_u5j5j-1u+12u+36u-44uj+2j+1jj-1j+160h3uj-26.廣義緊致格式（對稱三點六階）上面給出的

11、緊致差分近似，計算一階導數的緊致差分里不會出現二階導數的近似值，計算二階導數的緊致差分里也不會出現一階導數的近似值。如果突破這個限制，就成為廣義緊致差分近似。例如h2(u1-4u1)-仝(8u1+8u-u)24j+1j24j+1jj-1+_1(39u-48u+9u)=048j+1jj-1冬（u1-u1)-h(7u1+16u+7u)+(39u-u)=015j+1j-115j+1jj-1j+1j-17.廣義緊致格式（迎風兩點三階）u11-u11u11+uu-uj+1j-j+1j+j+1j=0122hh2u1-u1u1+uu-u-J.-_Ji-L+i-=0122hh2最后給出一個實例。例7：考慮Bu

12、rgers方程（對流擴散方程）兩點邊值問題0 x1u2ua=vx勺x2Pu4：=ax=0將空間區域臌輊犏0,1均勻劃分成M個網格，則空間網格的尺寸為1h=M網格點坐標為xj=jh（丄八M）在tn=nDt時刻（n=1,2,3,Dt是時間步長），將未知函數及其空間導數在網格點上的近似值分別記作uu(x,tn)jjFjt=tnt=tnx=xj的近似解已經求出，記成=(n-1)Dt現假設上一時刻tn-1bu（x,tn-1），在計算過程中視為已知。jj于是，在空間區域輊1內的第j個網格點（j=1,2,L,M-1）處，有原方程的差分近似u-b/L+aF-vS=0Dtjj和空間導數的Pade逼近u-uF+4F+Fj+1j-1-j+1jj-1=02h6u-2u+uj+1jj-1-h2S+10S+Sj+1ij-1=012在左邊界j=0處，有邊界條件Pu+F=a00原方程的差分近似u-b_oo+aF-vS=0Dt00以及空間導數的廣義緊致格式u-uF+FS-S1o-1o+10=0h22h12在右邊界j=M處，有邊界條件u=UM在此處，原方程成為aF-vS=0MM還有空間導數的廣義緊致格式u-uF+FS-SMM-1-MM-1+MM-1=0h22h12將所有這些集成在一起，就得到線性方程