1、A數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告課題八曲線擬合的最小二乘法一、問題提出從隨機(jī)的數(shù)據(jù)中找出其規(guī)律性，給出其近似表達(dá)式的問題，在生產(chǎn) 實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中大量存在，通常利用數(shù)據(jù)的最小二乘法求得擬合曲 線。在某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的含碳量與時(shí)間關(guān)系，試求含 碳量y與時(shí)間t的擬合曲線。二、實(shí)驗(yàn)要求t(分)0510152025303540455055y(x10-4)012 2.16 2.863.443.87 4.15 4.374.514.584.024.641、用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合；2、近似解析表達(dá)式為( t) = a1t + a2t 2 + a3t 3 ；3、打印出擬合函數(shù)血t)，并打印出(t.)與y(tj的誤

2、差，j = 1,2,12 ；4、另外選取一個(gè)近似表達(dá)式，嘗試擬合效果的比較；5、*繪制出曲線擬合圖*。三、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握曲線擬合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定線代數(shù)方程組；3、探索擬合函數(shù)的選擇與擬合精度間的關(guān)系。四、實(shí)驗(yàn)原理最小二乘法擬合在函數(shù)的最佳平方逼近中f(x)Ea,b,對已知函數(shù)f(x)的一組離散數(shù)據(jù) (xi,yi),i=0,1,m，yi=f(xi)，求函數(shù)擬合 S*(x)，記誤差 5i=S*(xi)-yi要求一個(gè)函數(shù)=S *(x)與所給數(shù)據(jù)b,以i = 0,1,.,m的曲線擬合，這 里七=fGX = 0,1,.,m)，要求一個(gè)函數(shù)y = S*(x)與所給數(shù)據(jù) b, y

3、) i = 0,1,m擬 合， 若 記 誤 差 TOC o 1-5 h z 8 = S * (x )- y (i = 0,1,m)8=0 ,8 ,8 ,& )，設(shè)甲 G)甲),平。是 C la, b ii i012 m01n上線性無關(guān)函數(shù)族，在甲=鈔相(x)也(x ), % Q中找一函數(shù)S * (x ),使誤差平方和(4.1)2火 & 衛(wèi) S * I ) J = min 無 S I )- J2 (=0 1i=0S G 部 i=0這里(4.2)S(x)= a 甲(x)+ a 甲(x)hF a 甲 GM m).0 01 11 1這就是一般的最小二乘逼近，用幾何語言說，就稱為曲線擬合的 最小二乘法。

4、用最小二乘法求擬合曲線時(shí)，首先要確定S(x)的形式。這不單純 是數(shù)學(xué)問題，還與所研究問題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及所得觀測數(shù)據(jù)G.,y有關(guān); 通常要從問題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或給定數(shù)據(jù)描圖，確定S(x )的形式，并通過i實(shí)際計(jì)算選出較好的結(jié)果一這點(diǎn)將從下面的例題得到說明。S(x)的一般表達(dá)式為(4.2)式表示的線性形式。若甲G)是k次多項(xiàng)式，S(x)就 k是n次多項(xiàng)式。為了使問題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中181|2都考慮為加權(quán)平方和2 TOC o 1-5 h z |EF=U w（x * （Jf G）1（4.3）2i i ii=0這里w（x ） 0是偵對上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點(diǎn)（x , f （x）處的數(shù)據(jù)比重

5、 ii不同，例如，w（x ）可表示在點(diǎn)（x ,f（x）處重復(fù)觀測的次數(shù)，用最小二 iii乘法求擬合曲線的問題時(shí)，就是在形如（4.2）式的sG）中求一函數(shù)y = s*（x），使（4.3）式取得最小。它轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù))=EwG ) A CP (x ) f (x )I （a , a，,a01 ni=01的極小點(diǎn)（a*,a*,.,a*）的問題。由求多元函數(shù)極值的必要條件，有 01 nj j i iLj=0=2尤 w(x ) a p (x ) f (x ) p (x )= 0,k = 0,1,n.dI一daiki=0j j i iLj=0（4.4）五、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)步驟本實(shí)驗(yàn)利用最小二乘法和題目所給函

6、數(shù)形式對所給數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。而 后選用不同函數(shù)形式對所給數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到擬合數(shù)據(jù)和所給數(shù)據(jù) 的相對誤差。而后在正交多項(xiàng)式函數(shù)組的基礎(chǔ)上建立相對最佳基函數(shù) 選擇指標(biāo)P并且記錄了相對最佳擬合函數(shù)。現(xiàn)將實(shí)驗(yàn)步驟陳述如下：（1）建立正交多項(xiàng)式函數(shù)族建立的程序思路和擬合函數(shù)系數(shù)求解。（2）編輯程序進(jìn)行計(jì)算記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果。（3）對所得結(jié)果進(jìn)行總結(jié)和分析，找出存在的問題，探索擬合函數(shù) 的選擇與擬合精度間的關(guān)系。評價(jià)本次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。六、編程思路實(shí)驗(yàn)使用matlab工具編寫了計(jì)算使用正交函數(shù)族 =span（弦0（x），弦1（x）（pn（x）進(jìn)行最小二乘法擬合的擬合函數(shù)各項(xiàng)系 數(shù)的函數(shù)程序。這是比較簡單的。并計(jì)算了其

7、誤差。現(xiàn)將編程思路陳 述如下：一，按照不同和擬合多項(xiàng)式求擬合函數(shù)及其誤差：（1）利用已知條件生成相應(yīng)正交多項(xiàng)式函數(shù)族 =span（.0（x），弦1（x） 弦 n（x）。（2）求格拉姆矩陣（即求其對角線元素）（饑，但）啊）“（億，心）IG=（代飽）（飽昭）（務(wù)億）,匚1 饑）饑）（代歡（3）求（弦k（x），f（x）（4）對應(yīng)除以相應(yīng)格拉姆矩陣對角線元素得到擬合函數(shù)系數(shù)向量a.（5）生成擬合函數(shù)繪圖并且計(jì)算原來擬合數(shù)據(jù)中對應(yīng)x點(diǎn)的函數(shù)值，求其誤差。（6）改變所選擇擬合函數(shù)的類型進(jìn)行擬合如上過程求其擬合函數(shù)誤差及相應(yīng)圖像。（4）探索擬合函數(shù)的選擇與擬合精度間的關(guān)系。利用已經(jīng)建立的最小二乘法擬合函數(shù)來

8、建立相應(yīng)的最佳擬合函數(shù) 尋找函數(shù)，是一個(gè)比價(jià)復(fù)雜的過程，這里我們僅僅使用上面的正交多 項(xiàng)式生成的函數(shù)族0二span（0 0（x）,0 1（x） 來尋眥適宜的基函數(shù) 值個(gè)數(shù)，通過誤差是否達(dá)到某一個(gè)極值來反應(yīng)其適宜度的變化情況， 現(xiàn)將該程序的建立思路簡述如下：（1）利用擬合數(shù)據(jù)和擬合函數(shù)值的相對誤差建立判斷指標(biāo)P,（2）利用判斷指標(biāo)P隨著基函數(shù)個(gè)數(shù)的變化找出擬合數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的 最大值，最小值和峰值。（3）記錄峰值處的擬合函數(shù)個(gè)數(shù)。（4）在一定范圍內(nèi)畫出判斷指標(biāo)P隨基函數(shù)個(gè)數(shù)變化的函數(shù)圖。七、程序建立及實(shí)驗(yàn)結(jié)果利用正交多項(xiàng)式求最小二乘法擬合函數(shù):function w=zjdxsnh(n,x,y);m=

9、length(x);mf=zeros(1,n);mp=zeros(1,n);P=ones(n,m);aw=0;af=zeros(1,n-2);bf=zeros(1,n-2);for i=1:m;aw=x(i)+aw;endaf(1)=aw/m;for i=1:mP(2,i)=x(i)-af(1);endfor i=3:n;d=i-2;sump1=sum(P(i-1,:).A2);sump2=sum(P(i-2,:).A2);sump3=sum(P(i-1).八2).*x);af(i-1)=sump3/sump1;bf(i-2)=sump1/sump2;P(i,:)=x.*P(i-1,:)-af

10、(i-1)*P(i-1,:)-bf(i-2)*P(i-2,:);endfor j=1:n;for k=1:m;mf(j)=mf(j)+P(j,k)八2;mp(j)=mp(j)+P(j,k)*y(k);endend%正交多項(xiàng)式的系數(shù)計(jì)算A=zeros(n,n+2);A(:，3)=1;A(2,4)=af(1);A(:,1)=zeros();A(:,2)=zeros();for i=3:n;d=i-1;for j=4:(n+2);A(i,j)=A(i-1,j-1)-af(i-2)*A(i-1,j)-bf(i-2)*A(i-2,j-2);endend%最終系數(shù)計(jì)算AY=zeros(1,n);a=mp.

11、/mf;AX=zeros(n,n+2);for z=1:nAX(z,:)=a (z)*A(z,:);endfor b=1:n;for t=1:b;AY(b)=AX(n-t+1,b+3-t)+AY(b);endendw=AY;由于使用的是課本上的正交多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，其系數(shù)的計(jì)算會帶來巨 大的誤差，故最終的擬合多項(xiàng)式和原來的擬合數(shù)據(jù)發(fā)生了很大誤差， 這說明利用以上這一思路和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)來求解題目是不適合的。即： 采用生成多項(xiàng)式的方法和思路去尋找最小二乘法擬合是不合理的。 至于后面探索精度和擬合多項(xiàng)式類型之間關(guān)系的工作至此無法做起! 由此本實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)換思路利用matlab強(qiáng)大的擬合功能來進(jìn)行：所使用的代碼如下:x=05 1015 2025 3035 4045 5055;y=01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64;plot(x,y,*);hold onp=polyfit(x,y,n);xx=0:1:55;yy=polyval(p,xx);plo