1、經(jīng)濟(jì)學(xué)模型DSGE模型討論之八一一新凱恩斯DSGE的推導(dǎo)，模擬，頻譜分析和參數(shù)估計（初級難度） 這個帖子難度為初級。此處下載note附件：BNK corrected1.pdf （383.44 KB）這個新凱恩斯DSGE模型是根據(jù)Jordi Gali教材的第三章修改而來的。包括了 3個核心方程， 如下圖J勺=Efg代耳如十）g :（1_軟1 網(wǎng) 聽=:招Egi -rm門瓦=而+也啊第一個是：Euler equation第二個是：New Keynesian Phillips Curve第三個是：Taylor Rule其中新凱恩斯菲利普斯曲線的推導(dǎo)最為復(fù)雜，最簡化的版本都有至少40個步驟以上的推導(dǎo)。

2、 Optimisation的方法我全部用的Lagrangian，沒有用任何動態(tài)規(guī)劃的內(nèi)容。推導(dǎo)模型和建立模型一樣重要。當(dāng)你自己要做研究的時候，你往往要修改別人的模型，加 入和減去一些成分，所以一般自己都要重新推導(dǎo)整個模型，如果你對benchmark （標(biāo)尺）模 型非常熟練，你才會知道什么地方可以添加新東西，什么地方添加新東西也沒有意義（因為 推導(dǎo)過程中那個部分會被消掉）。在能夠獨立做研究之前，都是要熟悉推導(dǎo)很多個（如果你 非要我給數(shù)字，我會說至少100個）標(biāo)尺模型及變種版本，才會有能力建立和推導(dǎo)自己的 模型.同時我做了最大似然估計和貝葉斯估計，用的數(shù)據(jù)是Euro area的GDP per ca

3、pita, CPI 和3 month interest rate。這些數(shù)據(jù)都要經(jīng)過處理才能喂給DSGE模型。人均GDP要用先 log difference，用AR（4）預(yù)測延長4期，回到未差分?jǐn)?shù)據(jù)，然后HP濾波，剔掉trend。然 后三個時間序列都要demean，意思就是全部觀測值減去均值。這個根據(jù)是來自 Frisch-Waugh-Lovell theorm”。然后做Spectral analysis （物理學(xué)上叫光譜分析）。我是用IRIS工具箱做得，這個Matlab 工具箱是新西蘭中央銀行的一個項目，專門用來模擬和估計DSGE模型，學(xué)習(xí)門檻比Dynare 高很多，需要有一定的編程基礎(chǔ)才能看懂

4、代碼。同時這個工具箱比Dynare靈活程度高，debug 的功能很強(qiáng)，泛用性很高，可以當(dāng)做時間序列工具箱和信號分析工具箱來用。下面的圖就是一個power spectrum （能量譜）的圖。這是output gap的spectrum，在不同 的頻率上有不同的高度，關(guān)于如何讀圖，在附件note里面有詳細(xì)說明。上下兩根線，一紅綠，是confidence bounds，這是用bootstrapping做得模擬得到的，具體操作都是在Matlab的IRIS環(huán)境下做的，難度比較高，所這個note不方便展開講具體操作。另外一種能量譜叫做coherance，是兩個時間序列都在傅里葉變換之后，在頻域上突出聯(lián)動 性

5、的一種圖（物理學(xué)叫這個相干性）。然后是IRF，這個IRF是來自demand shock,我給大家提供一個中文的范式解釋：一個正單位向上的demand shock把demand推上均衡之后，supply，也就是y同時跟著上 去，同時帶來通脹壓力，導(dǎo)致通脹高于均衡，所以中央銀行提高利率試圖把通脹拖回均衡 位置。最后一副圖（note里面有很多圖，我這里只選了幾幅出來）這個圖就是prior和posterior同時描在一張圖上。讀這個圖有個原則，就是prior和 posterior既不能太近也不能太遠(yuǎn)。太近說明data沒有起作用，太遠(yuǎn)說明prior選得太差。Dynare的code寫在note的附錄里面，

6、大家可以自行試驗。關(guān)于DSGE求解和模型參數(shù)估計的一些認(rèn)識（原創(chuàng)）其實DSGE最難的地方不在于模型的 optimality condition的推導(dǎo)，也不在于尋找 Saddle-path。最難的還是在于參數(shù)估計，最大似然或者是貝葉斯估計。我下面一條一條地 寫出來一些認(rèn)識，希望和大家交流。DSGE是宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的頂峰難度，不適合數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué) 基礎(chǔ)沒有打好的同學(xué)，更加不適合自學(xué)。這個行業(yè)里面一直以來都是老師帶學(xué)生的傳統(tǒng)，基 本沒有自學(xué)成才的例子，至少我沒聽說過。所以要提醒大家，有導(dǎo)師的，要依靠導(dǎo)師，沒有 導(dǎo)師的要多跟別人交流學(xué)習(xí)。1.動態(tài)規(guī)劃是現(xiàn)代宏觀的一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是不是你們想象中那么重要。不

7、要以為學(xué)高 級宏觀就是一直在弄Dynamic programming，這個技術(shù)雖然不簡單，但也怎么也算不上現(xiàn)代 宏觀或者DSGE的核心技術(shù)。完全沒有必要畫大把的時間在這個上面，DSGE不依靠它而存在。 就目前的DSGE研究來看，用dynamic programming的地方就是對Euler equation分析求解 用得比較多，其他地方基本都不用。更別說Dynamic programming的數(shù)值模擬了，除了上課 的時候用，真實研究里面基本不用。. DSGE不是非要線性化才能搞，關(guān)鍵看你的目的是什么，如果你就是做模擬和impulse response，你沒有必要自己動手去對數(shù)線性化，Dynar

8、e可以幫你做。但是要知道一點，我 們對付“線性動力系統(tǒng)”的知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)比“非線性動力系統(tǒng)”認(rèn)識要深和寬泛。非線性動力系 統(tǒng)對付起來很麻煩，占用大量的計算時間，并且準(zhǔn)確性低，對初始條件非常敏感。非線性微 分方程組里面一個重要話題就是混沌理論，用在氣象學(xué)上面的一個著名例子就是“蝴蝶效 應(yīng)”。如果你學(xué)過研究生級別的微分方程課程，就應(yīng)該知道非線性微分方程一般我們都要做 泰勒級數(shù)一次展開，其實DSGE的線性化本質(zhì)思想也是來自于那里。.和所有動力一樣，一個線性系統(tǒng)必須要stable solution，我們才能預(yù)測和模擬。linear rational expectation 模型求解之后找到一個 stocha

9、stic difference equation system 被叫做policy and transition function,這個系統(tǒng)是描述整個DSGE模型動態(tài)性的一個終 極解釋，所有endogenous variables都會沿著一個saddle-path （鞍部線）移動。在微積 分上面我們知道有一種saddle point，通過Hessian matrix的行列式檢驗之后可以發(fā)現(xiàn)， 既不是最大值，也不是最小值，如圖：這個紅色的點，就是saddle point。但微積分教材沒有說一個關(guān)鍵的問題：這個saddle point是一個equilibrium。這是一個基本的物理學(xué)認(rèn)識，如果這個

10、曲面絕對光滑，無摩擦 力，那么你放一個球在紅色點的地方，它會靜止在那個地方不動，因為這里是力量均衡點， 重力和支撐力剛好相反方向G=F，一個垂直向上，一個垂直向下。經(jīng)濟(jì)學(xué)的均衡思想最開始 就是從物理上面學(xué)過來，因為市場供給和需求就是兩種力量，如果相等了就是均衡了。還有，看下面這個圖，鐘擺。鐘擺有兩個equilibrium，這個圖只畫了一個，這個垂直向下 的equilibrium叫做global equilibrium。另外一個均衡點是，鐘擺垂直向上，這個時候 鐘擺同樣會靜止不動，這個equilibrium就是saddle point equilibrium。它對初始條件 非常敏感，已經(jīng)敏感到了

11、初始條件必須是垂直向上(剛好就是equilibrium)，才能保持均 衡。amplitude ：8bobs*trajectorylivotmassless rodmassive bobequilibrium position我上面之所講這么多，就是要告訴你一點，DSGE的解實際上就是一個動態(tài)saddle point， 所以我們叫做saddle path。它往往存在于高緯度，所以我們一般不畫圖來解釋。saddle path 有時候?qū)Τ跏紬l件敏感，有時候不太敏感，這都要看情況，這里和李雅普諾夫的穩(wěn)定性描述 有點相似，但是saddle path并沒有一個準(zhǔn)確的basin of attraction的

12、數(shù)學(xué)描述。. DSGE的求解方法很多，Blachard-Kahn是行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，檢查單位元之外的特征值數(shù)量是否 與nonpredetermined variables的數(shù)量是否相等，其實這是個基本的差分方程常識，我在 之前的帖子解釋了很多次了。BK方法的弱點在于出現(xiàn)了 Singularity就沒法解了，所以我 們有其他方法Sims，Klein,s之類的，用泛用性很高的Schur decompostion或者QZ decomposition就解決問題了。可以說，這是DSGE里面一個特別簡單的版塊，除了一些技 術(shù)性知識之外，沒有什么對智力有挑戰(zhàn)的地方。. Dynare是作為一個行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)而出現(xiàn)的，每年的

13、Dynare年會都立足于推廣DSGE和Dynare 在現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)上的使用。你可以認(rèn)為Dynare是個黑盒子，但它實際上還偏不是黑盒子。 因為大部分執(zhí)行程序都是用Matlab編寫的，如果你能看懂，那些xxx.m程序都是可以打開 來學(xué)習(xí)的。當(dāng)然你不想把DSGE做為研究方向的話，只學(xué)習(xí)Dynare的應(yīng)用就已經(jīng)夠難了， 更別說看懂內(nèi)部構(gòu)造了。所以對于大多數(shù)同學(xué)來說，Dynare仍然是保持著一種黑盒子的狀 態(tài)，包括對我來說一樣。.同時因為state-space模型是一種泛用性極高的線性系統(tǒng)，里面的transition equation剛好就是DSGE模型的解(transition function)，這個極其巧妙的特點是當(dāng)年 Sargent發(fā)現(xiàn)的，同時意識到了一點，只要能寫成state-space模型，就能推導(dǎo)出maximum likelihood的函數(shù)形式。所以我們能用Kalman filter來數(shù)值模擬出maximum likelihood。.最大似然估計很容出現(xiàn)identification的問題，簡單來說就是不同的兩套參數(shù)，在同 一種structural model的情況下回產(chǎn)生同一種