1、7.6空間向量求空間距離（基礎）一、解答題1. （2021 浙江高三專題練習）在正四棱柱ABCC-A4CA中，AB = 2BB, =2,尸為的中點.（1）求直線AC與平面A8P所成的角；（2）求點B到平面APC的距離.【答案】（1）3（F； （2）空 3【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系則 A（2,O,O）, C（0,2,0）, 82,2,0）, P（l,2,l）,所以而=（一2,2,0）, AB =（0,2,0）,麗= （-1,2,1）.設平面ABP的法向量為m = （x, y,z）,n, m- AB = 0 , M 2y = 0則 k八，化為,m-AP = O -x+2y+z =

2、O令 x=l,解得 y=o, z = 1.譏= （1,0,1）.設直線AC與平面ABP所成的角為6,則sin0 =|cos。|=胃曙=耳生=；,TT因為0e 0,-直線AC與平面ABP所成的角為30 .（2）設平面APC的法向量斤= （%, %, 4）,n-AP = O n-AC = Q一% + 2% + Z。= 一2% + 2%=0令% =1，解得% =1, Zo = -1.點B到平面APC的距離d = 4生= 4= = TOC o 1-5 h z |n|/332. （2021 上海徐匯高三）如圖，在直三棱柱a-45G中，BAYBC, BA=BC=BR=2.（1）求異面宜線4笈與4G所成角的

3、大小；（2）若”是棱旗的中點.求點到平面4臺。的距離.【答案】（1）g;（2）. 32【解析】解：（1）山于 46；所以/。臺（或其補角）即為異面直線/出與4G所成角,連接，在中，由于 A耳=4C = AC = 2，L 所以a/I6c是等邊三角形，TT1T所以NCAq =1,所以異面直線仍與4G所成角的大小為(2)解法一：如圖所示，建立空間宜角坐標系，可得有關點的坐標為C(0, 0, 2)、R (0, 2, 0), 4 (2,2, 0)、(0, 0, 1).設平面48。的法向量為 = (,v,w),則2j_C瓦,5,4瓦.V 西=(0,2, -2), /p, =(-2,0,0),且/璃 = 0

4、,小曬 =0,2v-2w = 0 vv= v0 n = JZV平面A C.CB c AB1=B、在 RtAO外中，由 NMCN = 2, (lf=l,得 MN =立,42所以，點到平面45c的距離等于它.23. (2021 陜西西安中學高三(理)在如圖所示的幾何體中，平面ACEL平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形，ZC4D = 90, EF/BC, EF = -BC, AC = 2, AE=EC = &尸(1)求證：A, D, E,尸四點共面，且平面A)EFJ_平面C；(2)若二面角E-AC-/的大小為45 ,求點。到平面ACF的距離.【答案】(1)證明見解析：(2) y2.【解析】1)

5、證明：,四邊形ABC。為平行四邊形，AEV/BC.,/ EF/BC,，EF/AD,/. A , D, E,尸四點共面，ZCAD = 90,AC LAD,:平面ACE _L平面ABCD,平面ACE八平面ABCD = AC,：.AD_L平面 ACE,：CEu平面ACE, ：.CELAD,AC = 2, AE = EC = 6, A CE1 + AE2 = AC2. A CELAE,：AEAD = A , AD, AEu 平面 ADEF ,二 CEJ平面ADEF，,? CE u 平面 CDE, .平面 ADEF _L平面 CDE.(2) :平面ACE_L平面ABC。，ZCA = 90,如圖以A為原點

6、建立空間直角坐標系。一個z ,設AO = 2a,則A(0,0,0), C(2,0,0), E(l,0,l), F(l,-a,l),衣= (2,0,0), AF = (l,-a,l),設平面ACF的法向量，” =(x, y, z),取丁 = 1，得 m =(0,1,0),in-AC = 2x = 0m - AF = -ay + z = 0平面ACE的一個法向量3 = (0,1,0), 1二面角E-AC-尸的大小為45 ,m-r iJ?.cos45。= -f-=當,|/n|-|n| J + cr2解得a = l, A AD = 2, AD = (0,2,0),D(0,2,0),平面 AC/7 的法

7、向量加= (0,1,1),AD 時 7 r-點O到平面ACF的距離為d = 1 , , 1 =-= = yJ2.zw v24.（2021 湖南衡陽高三）如圖，直四棱柱A8cO-ABC。，底面A3C。是邊長為2的菱形，M=2,2 it/人 =可，點在平面44。上，且BE 1平面AG。.B（1）求8E的長;（2）若尸為A4的中點，求5E與平面FC8所成角的正弦值.【答案】（1） 逑；（2） 叁55【解析】如圖建立空間直角坐標系,則 Da),0,0),3(6,l,0),C(0,2,0),A(G,T,0)A(6，T，2), C,(0,2,2) R(0,0,2),尸(6,1,1).(1)設平面AGD的法

8、向量為m = (x,y,z),而=(0,2,2)，屬=(6,-1,2)，所西=0 2y+ 2z = 0in DC1-0 yjix - y + 2z = 0而可為(6,1,7)BE =4 _4后45T(2)由(1)知平面 ACD 的法向量為=1) , .m / BE,設平面F&B的法向量為7 = (x,y,z),FCt = (-73,3,1), FB = (0,2,-l).n - FC. = 02yz = 05、C_1=z 取=i，z=2,=坨n-FCt =0 -j3x + 3y + z = 03AB = AF = 2,5. (2021 全國高三專題練習)如圖，已知菱形A8CO和矩形ACEF所在

9、的平面互相垂直,ZADC = 60.(1)求直線BF與平面A8C的夾角；(2)求點A到平面FBD的距離.【答案】(1)(2)空【解析】設AC 0 BO = 0 ,因為菱形ABCD和矩形ACEV所在的平面互相垂直，所以易得AF J_平面488； 以。點為坐標原點，以。為x軸，為軸，過。點且平行了 A尸的方向為z軸正方向，建立空間坐標 系，(1)由已知得：40,1,0), B(-Ao,O), C(0,-l,0), D(x/3,0,0), F(o,l,2),因為z軸垂直于平面ABC。，因此可令平面A8CO的個法向量為薪= (0,0,1),又而=(石,1,2),設直線BF與平面ABCD的夾角為6,階麗

10、 2 V21 同網12壺2即。=工，4IT所以宜線法與平面ABCD的夾角為二.(2)因為麗=(20,0,0),礪=(6,1,2),設平面的法向量為G = (x, y, z),BDn = 0 =BF n = 02Gx = 0/3x + y + 2z = 0又因為獷= (0,0,2),所以點A到平面陽。的距離d=XFn 22 不6. （2021 全國高三專題練習）如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，側面PAC底面A3CD,側棱PA = PD = B 底面 ABCD 為直角梯形，其中 BCAD, AB LAD, AD = 2AB = 2BC = 2 , 為 AD 中點.（1）求證：POL平面ABC。；

11、（2）求異面直線PB與CD所成角的大小；（3）線段A上是否存在點。，使得它到平面PCD的距離為立？若存在，求出煞的值；若不存在，請 2QD說明理由.【答案】（1）證明見解析：（2） arccos-.（3）存在點。滿足題意，此時笑3QD 3【解析】（1）在/%）中，PA = PD,。為AZ中點，PO_LAQ,又側面PAD_L底面ABC。，平面PAOD平面鉆8 = 4）, POu平面R4O，PO_L平面 A8C.（2）如圖所示，以。為坐標原點，OC，OD，而的方向分別為*軸、y軸、/軸的正方向，建立空間直角坐標系。一稱,依題意,易得 A（0,-l,0）,C（l,0,0）, （0,1,0）,尸（0,

12、0,1）./.= (-1,1,0), PB = (1,-1,-1)cos/po co, 而前 ,（T）+（T）一顯 叫8 ）一網西-昌& - 3，異面直線PB與C所成角是arc cos .3（3）假設存在點。，使得它到平面PCD的距離為手.山（2）知所= （1,0,1）, CD = （-U,o）,設平面PCO的法向量為萬= （x,y,z）,則，小會一，二t+c，即= =2,取x = l,得平而PC。的一個法向量 、7 n-CD = 0-x+j = 0為 7 = （1,LI）.設。（O,y,O）,&=（-1,90）,由嗎L號得312kg 解得尸-;或y（舍去），n2 V3 222此時|AQ|=g

13、, |QD| = 1，存在點。滿足題意，此時卷=；.7.（2021襁江高三專題練習）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面A8C0是平行四邊形，ZABP = 90 , AB=BP = 2,點。在平面ABP內的投影廠是A8的中點，點E是PC的中點.(1)證明：E尸平面AT0(2)若PD = 3,求C到平面PDF的距離.【答案】(1證明見解析；(2) 拽.5【解析】(1)取BP的中點G,連接G, FG,因為點E是PC的中點，F是AB的中點，所以 EG/BC, FG/AP,又因為底面A8CD是平行四邊形，所以BC7/4D，所以EG/4D,因為EGa面ADP，ADu面AQP，所以EG面4DP,因為 FG/AP

14、, FGcttfriADP. APADP,所以 FG 面 AOP,因為EGnFG = G,所以平面FG面AP，又因為EFu平面EFG,所以戶平面ADP.(2)如圖，取”的中點為H,連接FH,則FHLAB，因為DF_L面AB尸，所以DA8,FH兩兩垂直，如圖以為坐標原點，以胡所在的直線為*軸，以物所在的直線為 軸，以FD所在的直線為z軸建 工空間直角坐標系，因為 AB = 8F=2, PD = 3,所以 FP =3FB2+ BP2 =jf +* =小，DF = yjDP2-FP2 = 43y 有了 = 2 ,則尸(0,0,0), (0,0,2), P(-1,2,0), C(-2,0,2),麗=

15、(0,0,2), fP = (-1,2,0), FC = (-2,0,2),設平面PDF的一個法向量為 = (x,y,z),令 x = 2,可得 y = 1, z = 0,nFD = 2z = 0n-FP = -x + 2y = 0所以平面ED尸的i個法向量為五=(2,1,0),設FC與平面PDF所成的角為。，./ - 匹臼 1-2 x2|2則卜 in 0 = cos ( FC, ti = |- = / J L = -7=,所以點C到平面PDF的距離d = I京I sin 8 = 2夜x盤=拽，1 1V105(2021 全國高三專題練習)如圖，在長方體ABCD-AgGR中，底面A8CD是邊長為

16、1的正方形，AA,=2,產分別為CG，e的中點.(1)求證：。尸平面BDE;(2)求直線與平面8DE所成角的正弦值;(3)求直線。/與平面8。之間的距離.【答案】(1)證明見解析：(2)如；(3) 空. 33【解析】解：(1)取8烏的中點G,連接FGC。.因為 44G9,且 A8產C。： ABJIFG,且 A8尸尸G,所以FG/CR,且FG = GR.所以四邊形CRFG為平行四邊形.所以。尸 GG.在矩形BCC內中,因為E,G分別為CG，BB1的中點,所以BE/CQ.所以。尸 BE.乂 D,F a 平面 BDE，所以RF平面BDE.(2)如圖建立空間直角坐標系。-xyz.則 X0,0,0),

17、8(1,1,0), E(0,l,l), 0.(0,0,2).所以防= (1,1,0)，DE = (0,1,1) DE = (0,l,-l) 設平面BDE的法向量為m=(x,y,z),則m-DB = 0, 1 Jx+y = 0,v + z = 0.m- DE = 0, 令 y = -l,則 x = l, z = l,于是 m =.設直線RE勺平面所成角為。，則,m-DE 76 sin a =|cos(m, DE)|=-=.mDlE 3(3)由(1)知 平面 bde,所以直線。尸與平面BDE之間的距離為點5到平面BDE的距離.所以直線句平面BDE之間的距離為m-DlE 2百 d -=-Pl 3（2

18、021 全國高三專題練習（理）在正六棱柱ABCDEF-AB|CQ|EiK中，= 2AB = 2e, d,（1）求8c到平面40Gg的距離;（2）求二面角四-4。-；的余弦值.【答案】（1）通；三 1919【解析】（D連接AE,因為六邊形ABCDEE為正六邊形，則NAFE = NEF = 120，因為 AF = F，則 NAEF = 30 ,故NAE) = 90 .z軸建立空間因為EE1底面4?C尸，不妨以點E為坐標原點，EA、ED、E居所在直線分別為x、y 直角坐標系，如卜.圖所示:團則 a(6,o,o)、b(6lo)、)(0,1,0)、與(6,1,2)、C,李;，2E (0,0,2),在正六

19、棱柱 ABCDEF - ABCREF,中，BBJ/Cq 且 BBt = CC,所以，四邊形8BCC為平行四邊形，則8C81C，因為8CO平面ADG與，4/3,l,0),福=(0,1,2),由上器取技麗”且河 III,y十 XJ_,26 2/57 TOC o 1-5 h z AB = (O,l,O),所以，直線8。到平面AOG4的距離為1=%=平=彳一 網 7191，(2)設平面AO耳的法向量為3 =(孫必,Z2), = (-73,1,0), 5 = (0-1,2),由黑=一圓：。，取名=26貶=(2,2&詢，n DE = -y2 + 2z2 =0， m n 13cos = I=-麗19，由圖可

20、知，：面角與為銳角，所以，二面角的余弦值為言.(2021 云南民族大學附屬中學高三月考(理)如圖，在三棱柱48C-A4G中，A3_L平面88CC，AB = BB = 2BC = 2 , BC1=6，點 E為 AG 的中點.(1)求證：C8_L平面ABC；(2)求點A到平面BCE的距離.【答案】證明見解析;(2) 6【解析】1)證明：因為AB1.平面8BCC，C/u平面B8CC， 所以48，和8.在 aBCG 中，BC=, BCt = y/3 CCt = 2 ,所以 bc2 + bc； = cc；.所以因為ABcBC=B, AB, 8Cu平面ABC,所以平面ABC.(2)由(1)知，AB1C.B

21、, BC QB, AB1BC.如圖，以8為原點建立空間立角坐標系8-孫z .則 8(0,0,0), A(0,0,2),一()，C(1,O,O).BC = (1,0,0) 麗=設平面BCE的法向量為 = (%, y,z), f r = 0/i-BC = 0,則 _ 即 I r- n令 y =6，則 x = 0 , z = -3,所以；=（0,G,-3）.又因為 n=（l,0,-2），故點A到平面BCE的距離1x0 + 0 x73 + (-2)x(-3) T,AC-n d -Hl（2021 四川涼山（文）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，已知棱AB, AD, AP兩兩垂直且長度分別為 1, 2, 2

22、, AB/CD, AB = DCp.(1)若尸C中點為證明：8M平面PAD；(2)求點A到平面PC。的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)夜.軸建M空間直角坐標系如圖所示,【解析】(1)證明：分別以AB, AD, A尸所在直線為x軸，y軸,因為AB, AD, AP的長度分別為1, 2, 2,且AB = ；OC,則 A(O,O,1), 8(1,0,0), 0(0,2,0),尸(0,0,C(2,2,0),乂是尸C的中點，所以所以兩= (0,1,1),由已知可得平面抬。的一個法向量為3 = (1,0,0),則而i= 0 x1+ 1x0 +1x0 = 0，所以的_1_石，又而WN平面抬)，所以平面P

23、AD;111(2)解：設平面PDC的法向量為m = (x,y,z), ,IM.W因為 CO = (-2,0,0), PD = (0,2,-2).則有-2x = 02y-2z = 0m-CD = 0c，即m-PD = 0令y=i,則x=o, z = i,故m =(o,i,i),又而= (0,2,0),所以點A到平面PC。的距離=AD - tnOxO+lx2+lxO（2021 貴州高三（文）三棱錐PABC中，PA=4, AB = 2&，BC = 2, PAL平面 ABC, ABLBC, 。為AC中點，點E在棱PC上（端點除外）.過直線OE的平面a與平面R48垂直，平面a與此三棱錐的面 相交，交線圍

24、成一個四邊形.（1）在圖中畫出這個四邊形，并寫出作法（不要求證明）；（2）若PE = 3EC,求點C到平面a的距離.【答案】（1）答案見解析；（2） 2逝.7【解析】（1）取AB的中點V ,連結。M,作）7/BC交尸B 丁點尸，連結MF.則四邊形DWFE即為所求；（2）以點A為坐標原點，建立空間R角坐標系如圖所示，因為AB_LBC, AB = 2g, BC = 2,所以AC = 4, ZBAC = 30,=所以“（等1,0 , 0（0,2,0）, C（0,4,0）,因為以=4, AC = 4, PE = 3EC,所以 E（0,3,l）,故在=(0,-1,1),。府OE = (0,1,1), 設

25、平面。用后的法向量為z = (x, y, z),.ihDM =0-y = 0則釗/八，即22，mDE=0八iy + z = 0令 x = l,則 y = 6，z = y/3 ? = (1,G,-G)I-ceI 2V3 2V2I 所以點C到平面。的距離1 = % =關=券.m77/X13. (2021 海南高三)如圖，在三棱柱A8C-A8c中,AA =5/3 .A底面ABC, AB1BC, AB=, BC = 2,（1）求直線AC與AB,所成角的余弦值（2）設M為AC的中點，在平面BCG內找一點N,使得MN,平面A8C,求點N到平面A8C和平面4網的距離.【答案】（1）交；（2）到平面A8C的距

26、離為立，到平面A網的距離為1.【解析】解：（1）根據題設可知A8, BC,兩兩垂直，以8為坐標原點，分別以胡，BC, 所在 直線為x, y, z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則 8(0,0,0), A(l,0,0), B,(0,0,5/3), A(l，。， c(o,2,o).所以罰=卜1,0,6), 4C = (-l,2,-/3),uuir mnrUUU LIUU所以cos用那、AB. AT 1-3（網年上陶陶=孤羽二因為MN_L平面所以用N_LBC, MN工BA.,所以直線年與網所成角的余弦值為日uuir可設其坐標為N（0,a/）,則麗=.ULUUU1B由坐標系可得BC =（0,2,0）

27、, BA,= (1,0,73),MNBC = 2(a-l) = 0,廣所以! 1 l 解得。=1 , h =MN BA =- + V3/? = 0,6,其到平面ABC的距離為3 ,到平面ABB,的距離為1.6（2021 云南昆明高三（文）如圖，四棱柱A8CD-A8CA的側棱伏，底面A8C,四邊形ABC。為菱形，E,尸分別為4A，CC,的中點.Ci(1)證明：B, F, R, E四點共面；(2)若A3 = 2,= 求點尸到平面8。的距離.【答案】(1)證明見解析；(2) 73.【解析】解：(1)證明：連結AC交8。于點。，因為ABC0為菱形，故ACLB。, 乂因為側棱M，底面A8CQ,所以。為原

28、點建立空間直角坐標系，如圖所示，設 OB = a , OA = h , DD = c ,pg則 8(OmO), A(O,-a,c), EbA-,所以靛二啟板BEI/FD、所以8，尸,2，七四點共面;n(2)因為 AB 2 , NBAD =,所以 B(O,1,O), D(O,-1,O), A(o,-I,c),尸，。,0,1設平面BDD的法向量為2 = (x, y, Z)，乂訪=(0, -2,0)，DR =(0,0, c),則有，m-BD = 0成.西=0-2y = 0cz = 0又論=(61,一|,T FBm r-所以點尸到平面BDD的距離為一 m(2021 福建漳州三中)如圖，PAJ平面ABC

29、D,四邊形ABCD是正方形，PA = AD = 2, M N分 別是AB、PC的中點.(1)求證：平面MAQ_L平面尸8；(2)求點戶到平面MN)的距離.【答案】（1）證明見解析：（2） 城.（1）因為24,平面A8CO,四邊形A8CD是正方形，所以48, AD PA兩兩垂直, 如圖分別以AB, AD, PA所在的直線為x, y,z軸建立空間直角坐標系，則尸（0,0,2）, M （1,0,0）, C（2,2,0）, （0,2,0）, N1,1,1）,所以砒=（0,1,1）, 7VD = （-1,1,-1）, 麗=（0,2,-2）, C = （-2,0,0）,設平面MND的法向量為=（芯,y,

30、z J ,令 y =1 可得 4 = T, % = 2,m ND = -x + % Z =0 m-MN = y + Z = 0所以詬=（2J1）,設平面PC。的法向量為 =（X2，y2，Z2），由n - PD = 2y2 2z2 = 0 n-CD = 2x2 = 0可得出=。，令=1，所以;2 = (0,1,1),因為八 =2 x 0 +1 x 1 1 x 1 = 0,所以 _1_ ， 所以平面MND_L平面PCD.（2）由（1）知平面MND的法向量而=（2,1,-1）, 所=（0,2,-2）,mPD所以點P到平面MND的距離d =2x0+1 x 2 + (-l)x-24 25/6+1 + 1

31、- 瓜- 3（2021 湖南師大附中高三月考）如圖，己知aABC為等邊三角形，D, 分別為AC, A8邊的中點,把沿DE折起，使點到達點只 平面PDEJL平面8cDE,若8C = 4.(1)求與平面8COE所成角的正弦值;(2)求直線DE到平面PBC的距離.【答案】(1); (2)顯.102【解析】(1)如圖所示，設OE的中點為。，BC的中點為/；連接。尸，OF , OB,則OP_LD.因為平面PDE 平面BCDE,平面 PDECl 平面 BCDE=DE,所以OPJ.平面BCZ)E.因為OB u平面BCDE,所以OP1OB,所以NOBP即為例線28與平面8CE所成的角.因為8c = 4,則OE

32、 =，8C = 2, 2所以OP = 0尸=6.在 RtZO5/|J, BF = 2, OF LBF ,所以 O8 = J7.在 RtZXOBP中，PH = y/OP2 +OB2 =/3+7=ViO-/Z /cnn OP 6向P/r 以 sin Z.OBP = = 7=.pb Vio 10（2）解法一：因為點，分別為AC, A8邊的中點，所以 DE/BC.因為EE,所以 OP_LBC.乂 OF 工 BC, OPcOF = O,所以8C_L平面OP廠.因為BCu平面PBC,所以平面P8C _L平面OPF.因為平面pbc n平面OP尸=PF.作OG上PF交PF于點G,則OG _L平面PBC.在 R

33、tZOP尸中，OP = OF = 6所以 PF = , OG = OPOF =.PF 2因為點。在直線Z5E匕 所以直線OE到平面P8C的距離等于我.2(2021 全國高三專題練習)已知正方形被力的邊長為1, PD上平面4BCD,且PD=1, E,尸分別為 比的中點.(1)求點到平面必尸的距離；(2)求直線4C到平面電尸的距離.【答案】(1)7； (2)姮.1717【解析】建立如圖坐標系，則A0,0,0),唱，1，。)，?(。，。，1)，.聲+另，。麗=償。)設平面的法向量為”=a, y z),i i 八x + y = 0則21 2x + y-z = 02故為=(2, 2, 3),點d到平面際

34、 的距離=喟=4=U=當； ,4 + 4 + 917(2) -.-AC/EF直線AC到平面PEF的距離也即是點A到平面PEF的距高又而=1)；0),辰詞 I V17點A到平面PEF的距離為=中 =* =答. VI71/所以直線AC到平面P斯的距離為叵.17（2021 全國高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ACLBD交于點。，aABC = 9O，AD = CD, POJ_底面 ABCD.求證：AC_L底面P8Q；（2）若aPBC是邊長為2的等邊三角形，求。點到平面P8C的距離.【答案】（I）見證明：（2）在3【解析】證明：（1）1在四棱錐P-ABCD中，ACLBD交于點0, aABC

35、= 90 . AD = CD, PO_L底面ABCD.-.AC1PO.又BDcPO = O,.,.AC_L 平面 PBD.（2）以。為原點，0D為x軸，0C為y軸，0P為z軸，建匯空間直角坐標系,.人(：_18口交于點0, aABC = 90 , AD = CD. aPBC是邊長為2的等邊一角形,.AB = BC = 2, AC = + 4 = 2夜,AO = CO = BO = &，PO = -2=應，P（0,0,應），0（0,0, 0）, C（0,V2,0）, B（-五0, 0）,P0 = （0,0, -72）, PB = （-/2,0, -x/2）, PC =（0,72,-72）,設平面PBC的法向量冗=(x, y, z),取 x = l,得 =（L1,-1），nPB = -42x-y/2z = 0n-