1、系統(tǒng)函數(shù)特性和系統(tǒng)模擬系統(tǒng)函數(shù)在系統(tǒng)分析中具有重要的地位。（1）可描述系統(tǒng)的微（差）分方程（3）反映時域特性頻域特性（4）與框圖、信號流圖有對應關系（5）完成系統(tǒng)綜合本章主要內(nèi)容：一、系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、信號流圖四、系統(tǒng)模擬7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性主要內(nèi)容：一、系統(tǒng)的零點與極點二、系統(tǒng)函數(shù)與時域響應三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應一、系統(tǒng)的零點與極點LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復變量s或z的有理分式,它是s或z的有理多項式B() 與A () 之比。對于連續(xù)系統(tǒng)對于離散系統(tǒng)A()=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H()的極點； B()=0的根 1， 2， m稱為系統(tǒng)函數(shù)H（）的零點 極點p

2、i和零點i的值可能是實數(shù)、虛數(shù)或復數(shù)。由于A()和 B()的系數(shù)都是實數(shù)，所以零、極點若為虛數(shù)或復數(shù)，則必共軛成對。例1、已知系統(tǒng)函數(shù)如下所示，請求出系統(tǒng)的零、極點，并畫出其分布圖解：零點：2；極點：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j將零點、極點畫在復平面上得到零、極點分布圖（2） j j -j -1 -2極點用“”表示；零點用“o”表示。本題：由H(s)得到零極點圖例2、已知H(s)的零、極點分布圖如下圖所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表達式。 j j2 -j2 -1解：極點p1-1j2;p2=-1-j2 零點0所以根據(jù)初值定理，有本題：由零極點圖得到H(s)二、系統(tǒng)函數(shù)H()與時

3、域響應h() 沖激響應或單位序列響應的函數(shù)形式由H(.)的極點確定。 下面討論H(.)極點的位置與其時域響應的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1連續(xù)因果系統(tǒng) H(s)按其極點在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。 （1）在左半平面 若系統(tǒng)函數(shù)有負實單極點p= (0)，則A(s)中有因子(s+)，其所對應的響應函數(shù)為Ke-t(t) (b) 若有一對共軛復極點p12=-j，則A(s)中有因子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t) (c) 若有r重極點，則A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其響應為Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t)

4、 (i=0,1,2,r-1) 以上三種情況：當t時，響應均趨于0。暫態(tài)分量。 （2）在虛軸上 (a)單極點p=0或p12=j，則響應為K(t)或Kcos(t+)(t)-穩(wěn)態(tài)分量 (b) r重極點，相應A(s)中有sr或(s2+2)r，其響應函數(shù)為Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)遞增函數(shù) （3）在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。 綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。 H(s)在左半平面的極點所對應的響應函數(shù)為衰減的。即當t時，響應均趨于0。 H(s)在虛軸上的一階極點所對應的響應函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。 H(s)在虛軸上的高階極點或右半

5、平面上的極點，其所對應的響應函數(shù)都是遞增的。即當t時，響應均趨于。 2離散因果系統(tǒng) H(z)按其極點在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。根據(jù)z與s的對應關系，有結(jié)論： H(z)在單位圓內(nèi)的極點所對應的響應序列為衰減的。即當k時，響應均趨于0。 H(z)在單位圓上的一階極點所對應的響應函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應。 H(z)在單位圓上的高階極點或單位圓外的極點，其所對應的響應序列都是遞增的。即當k時，響應均趨于。 系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與其極點的關系：根據(jù)收斂域的定義，H(.)收斂域不能含H(.)的極點。例3、某離散系統(tǒng)函數(shù)為（1）若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應h(k)；（2）若系統(tǒng)為

6、反因果系統(tǒng)，求單位序列響應h(k) ；（3） 若系統(tǒng)為雙邊序列，求單位序列響應h(k) ；解： （1）因為系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以收斂域為|Z|3; 所以（2）因為系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，所以收斂域為|Z|1/2; 所以（3）因為系統(tǒng)為雙邊序列，所以收斂域為1/2|Z|0結(jié)論：1）LTI連續(xù)系統(tǒng)的自由響應（書P 42 ）、沖擊響應的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。2）H(s)在左半開平面的極點所對應的響應函數(shù)是衰減的， 當t - 時，對應的響應函數(shù)趨近于零。極點全部在左半平面的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)（見）。3）H(s)在虛軸上的一階極點對應的響應函數(shù)的幅度不隨時間變化。4） H(s)在虛軸上的二階及二階以上的極

7、點或在右半開平面上的極點，其所對應的響應函數(shù)都隨t的增長而增大，當t趨于無限時，它們都趨于無窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。見書P2372、離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點，按其在z平面的位置可分為：在單位圓內(nèi)、單位圓上和單位圓外三類。S域與Z域的關系T為取樣周期S表示為直角坐標形式Z表示為坐極標形式可見，S平面的左半平面(0)對應Z平面的圓內(nèi)(|Z|= 時，對應的響應序列趨近于零。極點全部在 單位圓內(nèi)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。3)、 H(z)在單位圓上的一階極點對應的響應序列的幅度不隨時間變化。4)、 H(z)在單位圓上的二階及二階以上的極點或在單位圓外的極點，其所對應的響應序列都隨k的增長而

8、增大，當k趨于無限時，它們都趨于無窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應 在s平面上，任意復數(shù)（常數(shù)或變數(shù)）都可以用有向線段表示j j i pi jj oAiBj零、極點矢量圖1、連續(xù)系統(tǒng)要求系統(tǒng)函數(shù)的極點都在左半開平面對于任意極點 pi和零點j 令式中Ai、Bj分別是差矢量（ j-pi)和（ j- j ） 的模， i、 j 是它們的輻角。于是，系統(tǒng)函數(shù)可以寫為：相頻響應：式中幅頻響應：提示：把頻率從0（或-）變化到+ ,根據(jù)各矢量模和幅角的變化，就可大致畫出幅頻響應和相頻響應曲線。例1、某線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零、極點如圖所示,已知H(0)=1。(1)求該系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應(

9、2)若該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為求其激勵(3)大致畫出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性 j -1 -2 -3 0解:(1) 根據(jù)零極點圖，得因為H(0)=1K=6（2）(3)因為極點均在左半開平面，所以根據(jù)上式可分別畫出其幅頻曲線和相頻曲線 j -1 -2 -3 0A1A221幅頻曲線相頻曲線全通函數(shù)： 如果系統(tǒng)的幅頻響應|H(j)對所有的均為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，相應的系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。以二階系統(tǒng)為例說明。如有二階系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)在左平面有 一對共軛極點： p1,2= j ，令s1=p1， s2=p2，它在右半平面上有一對共軛零點 1= j= s1， 2= j= s2，那么系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點對

10、于j軸是鏡像對稱的。其系統(tǒng)函數(shù)可寫為：其頻率特性為：對所有的有A1=B1， A2=B2，所以幅頻特性相頻特性：上述幅頻響應為常數(shù)的系統(tǒng)，對所有頻率的正弦信號都一律平等地傳輸，因而被稱為全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。無失真?zhèn)鬏敚? 1 jjoA1B1s2 -s1-s222s1A2B22 1H| j |H| j |() ()如下圖所示：最小相移函數(shù):右半開平面沒有零點的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。全通函數(shù):若系統(tǒng)的幅頻響應| H(j)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)，其相應的H(s)稱為全通函數(shù)。凡極點位于左半開平面，零點位于右半開平面，并且所有零點與極點對于虛軸為一一鏡像對稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。

11、2、離散因果系統(tǒng)的頻率響應若H(z)的極點均在單位圓內(nèi)，則它在單位圓上也收斂，頻率響應為：式中Ts, 為原來信號的角頻率， Ts為取樣周期系統(tǒng)的頻率響應就是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)例 某離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求其頻率響應。解：由H(z)的表達式可知，其極點在p=1/3處，故收斂域包括單位圓，系統(tǒng)的頻率響應（= Ts）其幅頻響應為相頻響應為響應曲線？ 一、系統(tǒng)的因果性 因果系統(tǒng)指的是，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs()不出現(xiàn)于激勵f()之前的系統(tǒng)。即對于任意的f(.)=0,t(或k)0,如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應都有yzs(.)=0,t(或k)0; 00 ;0=0 ?7.2 系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散因果系

12、統(tǒng)的充分和必要條件是：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域為即其收斂域為半徑等于0的圓外區(qū)域，或者說H(z)的極點都在收斂圓|z|= 0內(nèi)部二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個系統(tǒng)（連續(xù)的或離散的），如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。也就是說，設Mf，My為正常數(shù)，如果系統(tǒng)對于所有的激勵其零狀態(tài)響應則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件：連續(xù)因果系統(tǒng)離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件：離散因果系統(tǒng) 若H(z)的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；對于既是穩(wěn)定的又是因果的連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù) H(s)的極點都在s平面的左半開平面；其逆也

13、成立。若存在虛軸上的一階極點，按上面的定義是不穩(wěn)定的，但有時也稱為邊界穩(wěn)定系統(tǒng)。 對于既是穩(wěn)定的又是因果的離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù) H(z)的極點都在z平面的單位圓內(nèi)；其逆也成立。例1、如圖所示的反饋因果系統(tǒng)，問當k滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為F(s)G(s)KY(s)X(s)解：設加法器的輸出信號為X(s),有H(s)的極點為為使極點在左半平面，必須 K2系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，0.5|z|2;所以問，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)嗎？若，系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？例3、下圖為離散因果系統(tǒng)框圖，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍。F(z)Z1Y(z)2 a解：設加法器輸出信號為X(z),有為使

14、系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點必須在單位圓內(nèi)，即有|a|0當k1/4時，為復極點，為使極點在單位圓內(nèi)，必須滿足|p1,2|1,可得k1;所以當0k0，不難得出，A(s)為霍爾維茲多項式的條件為：a10，a00 例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列： 2 12 2 1 8 02 8.5 02第1列元素符號改變2次，因此，有2個根位于右半平面。 注意：在排羅斯陣列時，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個元素為0或某一行元素全為0，這時可斷言：該多項式不是霍爾維茲多項式。 例2 已知某因果系統(tǒng)函數(shù) 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應滿足什么條件？ 解 列羅斯陣列 33 1+k(8-k)/31+k所以，

15、 1k0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0|奇數(shù)行，其第1個元素必大于最后一個元素的絕對值。 特例：對二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0| 例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解4 -4 0 2 -1-1 2 0 -4 415 -14 0 44 0 -14 15209-210 5641 ， 154 ， 20956 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 (-1)4A(-1)=50排朱里列表A(1)=107.3 信號流圖主要內(nèi)容信號流圖梅森公式信號流圖是用有向的線段和點描述線性方程組變量間因果關系的

16、一種圖。信號流圖用來描述系統(tǒng)較方框圖更為簡便；而且通過梅森公式將系統(tǒng)函數(shù)與相應的信號流圖聯(lián)系起來，不僅有利于系統(tǒng)分析，而且也便于系統(tǒng)模擬。一.信號流圖Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框圖信號流圖一般而言，信號流圖是一種賦權的有向圖。它由連接在結(jié)點間的有向支路構成。它的一些術語定義如下：2、源點：僅有出支路的結(jié)點稱為源點。 匯點：僅有入支路的結(jié)點稱為匯點。信號流圖基本術語1、結(jié)點和支路 信號流圖中的每個結(jié)點對應于一個變量或信號，連接兩結(jié)點間的有向線段稱為支路，每條支路的權值（支路增益）就是該兩結(jié)點間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）。3、通路

17、 從任一結(jié)點出發(fā)沿著箭頭方向連續(xù)經(jīng)過各相連的不同的支路和結(jié)點到達另一結(jié)點的路徑稱為通路。通路包含有：開通路、閉通路或回路（或環(huán)路）、不接觸回路、自回路（自環(huán)）等。前向通路：從源點到匯點的開通路。閉通路或回路（或環(huán)路）:通路的起點就是通路的終點（與其余節(jié)點相遇不多于一次）不接觸回路:相互沒有公共節(jié)點的回路。自回路（自環(huán)）:只有一個節(jié)點和一條支路的回路。開通路:如果通路與任一節(jié)點相遇不多于一次； d x5 x4 x3 x2 x1 1 a b c g f e前向通路：x1x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x5回路: x2 x3 x2; x2 x3 x4 x2; x4 x4不接觸回路： x2

18、x3 x2與x4 x4自回路： x4 x4通路(開通路或回路)中各支路增益的乘積稱為通路增益（或回路增益）流圖化簡的規(guī)則 （2）兩條增益分別為a和b的支路相并聯(lián)，可以合并為一條增益為（a+b）的支路。（1）兩條增益分別為a和b的支路相串聯(lián)，可以合并為一條增益為 ab的支路，同時消去中間的結(jié)點。（3）一條x1 x2 x3的通路，如果x1 x2支路的增益為 a， x2 x3的增益為c，在x2處有增益為b的自環(huán)，則可以化簡為增益為ac/(1-b)的支路，同時削去結(jié)點x2。（1）將串聯(lián)支路合并從而減少結(jié)點；（2）將并聯(lián)支路合并從而減少支路；信號流圖化簡步驟（3）消除自環(huán)。 反復運用以上步驟，可將復雜的

19、信號流圖簡化為只有一個源點和一個匯點的信號流圖，從而求得系統(tǒng)函數(shù)。例7.3-1 求圖下圖所示信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)解 根據(jù)串聯(lián)支路合并規(guī)則，將圖(a)中回路x1 x2 x1和x1 x2 x3 x1化簡為自環(huán)，如圖b所例示，將x1到Y(jié)(s)之間各串聯(lián)、并聯(lián)支路合并，得圖（c）。并利用并聯(lián)支路合并規(guī)則，將x1處兩個自環(huán)合并，然后消除自環(huán)，得圖（d）。于是得到系統(tǒng)函數(shù)這正是二階微分方程的系統(tǒng)函數(shù)。二、梅森公式梅森公式為式中： 稱為信號流圖的特征行列式，其中是所有不同回路的增益之和；是所有兩兩不接觸回路的增益乘積和是所有三個都互不接觸回路的增益乘積之 和。 i表示由源點到匯點的第i條前向通路的標號；Pi是

20、由源點到匯點的第i條前向通路的增益；i是第i條前向通路特征行列式的余因子，它是與第i條前向通路不相接觸的子圖的特征行列式。例求右圖信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)。例 解 為了求出特征行列式，先求出有關參數(shù)。上圖共有4個回路，各回路的增益為 x1x2 x1回路，L1=G1H1 x2 x3 x2回路，L2=G2H2 x3 x4 x3回路，L3=G3H3 x1 x4 x3 x2 x1回路，L4=G1G2G3H4它只有一對兩兩互不接觸的回路x1 x2 x1與x3 x4 x3，其回路增益乘積為沒有三個以上的互不接觸的回路。所以得再求其它參數(shù)。圖中有兩條前向通路，對于前向通路F x1 x2 x3 x4 Y ,其增益為

21、由于各回路都與該通路有接觸，故1=1對于前向通路F x1 x4 Y ，其增益為最后，按式（）得不與P2接觸的回路有x2 x3 x2，所以7.4 系統(tǒng)模擬主要內(nèi)容直接實現(xiàn)級聯(lián)實現(xiàn)并聯(lián)實現(xiàn)為了對信號(連續(xù)或離散的信號)進行處理（如濾波），就必須構造出合適的實際結(jié)構（硬件實現(xiàn)結(jié)構或軟件運算結(jié)構）。對于同一系統(tǒng)函數(shù)，通過不同的運算，可以得到多種形式的實現(xiàn)方案，常用的有直接形式、級聯(lián)和并聯(lián)形式等。一、直接實現(xiàn)將上式分子、分母除以s2,上式可寫為設二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 根據(jù)梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括號內(nèi)表示有兩個互相接觸的回路，其增益分別為-a1s-1和-a0s-2。 H(s)的分子表示三條

22、前向通路，其增益分別為b2、b1s-1和b0s-2，并且不與各前向通路相接觸的子圖特征行列式i （i=1,2,3)均等于1，也就是說，信號流圖中的兩個回路都與各前向回路相接觸，這樣就以得到(a) 信號流圖，其對應的s域框圖如圖(b) 。還可以得到如下的信號流圖和框圖。以上的分析方法可以推廣到高階的情形。見書P348例 7.4-1 某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)用直接形式模擬系統(tǒng)。解 將H(s)改寫為根據(jù)梅森公式，可畫出上式的信號流圖如圖（a)信號流圖的轉(zhuǎn)置二、級聯(lián)和并聯(lián)實現(xiàn) 級聯(lián)形式是將系統(tǒng)函數(shù)H(z)(或H(s)分解為幾個簡單的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即其框圖形式如下圖所示 ，其中每一個子系統(tǒng)Hi(z)可以用直接形式實現(xiàn)。并聯(lián)實現(xiàn)并聯(lián)形式是將H(z)或H(s)