1、第六章 數字控制器的直接設計方法6.0 數字控制器的直接設計方法概述6.1 參數優化的低階控制算法6.2 最少拍隨動系統的設計6.3 最少拍無紋波隨動系統的設計6.4 慣性因子法6.5 非最少的有限拍控制6.6 達林算法6.7 小結6.0 數字控制器的直接設計方法概述從被控對象的特性出發，直接根據采樣系統理論來設計數字控制器的方法稱為直接數字設計。它完全是根據采樣系統的特點進行分析與綜合，并導出相應的控制規律，因此比模擬化設計具有更一般的意義。本章中所有設計方法都是基于圖6-2所示閉環系統，確定其數字控制器可以采用兩種方法：1、參數優化方法，即先確定D(z)結構，然后通過某一優化指標求出D(z

2、)中的參數。2、按照某一期望的閉環響應M(z)或期望的誤差響應等來設計數字控制器D(z)，此法中D(z)的結構將依賴于對象G(z)的結構。6.1 參數優化的低階控制算法一、確定數字控制器的結構？由6-6式得：而已知增量式PID算式又可表示為：其中條件如何得出?二、確定數字控制器的參數三、與對象結構有關數字控制器設計的引出6.2 最少拍隨動系統的設計 一、基礎知識：1、最少拍控制：就是要求閉環系統對于某種特定的輸入在最少個采樣周期內達到無靜差的穩態。它的閉環z傳遞函數具有形式說明：P是可能情況下的最小正整數。這一傳遞形式表明閉環系統的脈沖響應在P個采樣周期后變為零，從而意味著系統在P拍之內到達穩

3、態。2、對最少拍控制系統設計的具體要求：對特定的參考輸入信號，在到達穩態后，系統在采樣點的輸出值準確跟蹤輸入信號，不存在靜差。在各種使系統在有限拍內到達穩態的設計中，系統準確跟蹤輸入信號所需的采樣周期數應為最少。數字控制器D(z)必須在物理上可以實現。閉環系統必須是穩定的。二、最少拍系統的設計1、最少拍閉環傳遞函數M(z)的確定下表給出了三種典型輸入最少拍控制的M(z)。選定M(z)后即可根據下式求出最少拍控制器2、最少拍控制器的可實現性 所謂控制器的可實現性，是指在控制算法中，不允許出現未來時刻的偏差值。因為除了在某些預測算法中可近似使用偏差預測值外，一般說來，未來的偏差是未知的，不能用來計

4、算現時的控制量。這就要求數字控制器的Z傳遞函數D(z)不能有z的正冪項。假定給定連續對象有l個采樣周期的純滯后，相應的Z傳遞函數為3、最少拍設計的穩定性考慮 在最少拍控制中，閉環Z傳遞函數M(z)的全部極點都在z=0處，因此系統輸出值在采樣時刻的穩定性可以得到保證。但系統在采樣時刻的輸出穩定并不能保證連續物理過程的穩定。 如果控制器D(z)選擇不當，控制量u就可能是發散的。系統在采樣時刻之間的輸出值以振蕩形式發散，實際連續過程將是不穩定的。1）對于含有單位圓上或圓外非零零點的穩定對象的討論具體參看【例6.1】最少拍控制器的設計。克服此問題的方法已知控制量u對于給定的參考輸入量w的Z傳遞函數為因

5、此如果對象G(z)的所有零點都在單位圓內，那么這一傳遞環節是穩定的。如果G(z)有在單位圓上和圓外的零點 為保證這一傳遞環節的穩定性，M(z)必須含有相同的零點，即對例題6.1考慮穩定性后設計最少拍控制器過程如下：在【例6.1】中，對象G(z)有一個在單位圓外的零點z-2.78。這里，1，對于單位階躍輸入，設計過程為例題【6.1】當輸入改為單位速度信號時最少拍控制器設計如下：2）對于含有單位圓上或圓外非零極點的不穩定被控對象的討論 若不穩定被控對象Z傳遞函數含有單位圓上或圓外的極點z=pi，在理論上可通過最少拍控制器設置零點來抵消這一極點而形成一個穩定閉環控制系統，此時控制系列和輸出系列都是收

6、斂的。 但這種穩定是建立在系統的不穩極點被控制器零點準確抵消的基礎上的。在實際控制過程中，由一于對系統參數辨識的誤差以及參數隨時間的變化，這類抵消是不可能準確實現的。下面討論一般情況。設不穩定對象的Z傳遞函數為式中，pi為系統的不穩極點。但如果實際對象的傳遞函數發生了如下變化若仍使用上述最少拍控制器則閉環傳遞函數將變為在輸入為單位階躍時輸出系列為0, 1，0.9, 1.13, 0.821，1.246,，在參數變化后閉環系統不再穩定（如圖6-6所示）結論：在最少拍控制系統設計中，控制器零點與對象不穩定極點相消只能給出理論的穩定控制，而實際上，閉環系統是不可能真正穩定的。 為了解決對不穩定對象的最

7、少拍控制問題，應注意在控制器中不應出現與對象不穩極點相消的零點，顯然，根據式(6-14)在設計1-M(z)時，應該使它包含有即令：所以，控制是穩定的。若對象傳遞函數G(z)再變為G*(z)，那么閉環傳遞函數就變為M*(z)4、 最少拍控制器設計的一般表達式： 合理的最少拍系統設計，除了應在最少拍內到達穩態外，還應考慮數字控制器的可實現性及控制系統的穩定性。故若被控對象有L個采樣周期的純滯后，并有個在單位圓上及圓外的零點z1,., zi,j個在單位圓上及圓外的極點pl ., pj，則最少拍控制器為三、 最少拍系統的局限性最少拍系統的設計基于采樣系統的Z傳遞函數，運用的數學方法和得到的控制結構均十

8、分簡單，整個設計過程可以解析地進行，這是它的優點。但是它也存在下述一些局限性。1、 對不同輸入類型的適應性差最少拍控制器D(z)的設計使系統對某一類輸入的響應為最少拍，但對于其它類型的輸入不一定為最少拍，甚至會引起大的超調和靜差。 2、對參數變化過于敏感 按最少拍控制設計的閉環系統只有多重極點z0。從理論上可以證明，這一多重極點對系統參數變化的靈敏度可達無窮。因此如果系統參數發生變化，將使實際控制嚴重偏離期望狀態。 系統輸出值系列為0, 0, 2.4, 2.4, 4.44, 4.56, 6.384, 6.648,顯然與期望輸出值0,1,2,3,相差甚遠，如圖6-9所示。在這里，由于對象參數的變

9、化，實際閉環系統的極點己變為z1= -0.906，z2,3= 0.453 + j0.12偏離原點甚遠。系統響應要經歷長久的振蕩才逐漸接近期望值，已不再具備最少拍響應的性質。3、控制作用易超出限制范圍 在以上的最少拍系統設計中，我們對控制量并未作出限制，因此，所得到的結果應該是在控制能量不受限制時系統輸出穩定地跟蹤輸入所需要的最少拍過程。從理論上講，由于通過設計已給出了達到穩態所需的最少拍，如果將采樣周期取得充分小，便可使系統調整時間任意短。這一結論當然是不實際的。這是因為當采樣頻率加大時，被控對象Z傳遞函數中的常數系數將會減小。 由于執行機構的飽和特性，控制量將被限定在最大值以內。這樣，按最少

10、拍設計的控制量系列將不能實現，控制效果因而會變壞。此外，在控制量過大時，由于對象實際上存在非線性特性，其傳遞函數也會有所變化。這些都將使最少拍設計的目標不能如愿實現。4、在采樣點之間存在紋波最少拍控制只能保證在采樣點上的穩態誤差為零。在許多情況下，系統在采樣點之間的輸出呈現紋波（如圖6-4,圖6-5所示），這不但使實際控制不能達到預期目的，而且增加了執行機構的功率損耗和機械磨損。 因此，最少拍控制在工程上的應用受到很大限制，但人們可以針對最少拍控制的局限性，在其設計基礎上加以改進，選擇更為合理的期望閉環響應M(z)，以獲得較為滿意的控制效果。6.3 最少拍無紋波隨動系統的設計最少拍無紋波系統的

11、設計，是在最少拍控制存在紋波時，對期望閉環響應M (z)進行修正，以達到消除采樣點之間紋波的目的。系統輸出在采樣點之間的紋波，是由控制量系列的波動引起的（參見例6.1），其根源在于控制量的z變換含有非零極點。根據采樣系統理論，如果一采樣傳遞環節含有在單位圓內的極點，那么這個系統是穩定的，但極點的位置將影響系統的離散脈沖響應（參見附錄）。特別當極點在負實軸上或在第二、三象限時，系統的離散脈沖響應將有劇烈的振蕩。一旦控制量出現這樣的波動，系統在采樣點之間的輸出就會引起紋波。因此，除了按6.2.1節選擇M(z)以保證控制器的可實現性及閉環系統的穩定性外，還應將被控對象G(z)在單位圓內的非零零點包括

12、在M(z)中，以便在控制量的z變換中消除引起振蕩的所有極點。這樣做，將增高M(z)中Z的冪次，從而增加了調整時間，但采樣點之間的紋波可由此消除。【例6.1】穩定的最少拍控制即為一有紋波過程（見圖6-4,圖6-5).這主要是由于對象傳遞函數有一個零點z=-0.2，該極點在構成M(z)時沒有被顧及，從而使控制量的z變換有一極點z-0.2，造成了控制量的上下波動。為了消除該例題存在的紋波，在設計時可采用下方法：由此可知，控制量系列為0.83，-1.0676，0.237 4, 0, 0,，輸出量系列為0, 0.22, 0.875 4, 1, 1,。將圖6-10與圖6-4相比，系統現在在三拍后才到達穩態

13、，調整時間增加了一拍，但紋波卻消除了。最少拍無紋波系統的設計，消除了采樣點之間的紋波，并在一定程度上減小了控制能量，降低了對參數變化的靈敏度，但它仍然是針對某一種特定輸入設計的，而對其它類烈的輸入未必理想。6.4 慣性因子法慣性因子法是針對最少拍系統只能適用于特定的輸入類型，而對其它輸入不能取得滿意效果而采用的一種改進方法。它以損失控制的有限拍無差性質為代價，而使系統對多種類型輸入有較滿意的響應。這表明，采用慣性因子法后，系統已不可能在有限個采樣周期內準確到達穩態，而只能漸近地趨于穩態，但系統對輸入類型的敏感程度卻因此降低。通過選擇合適的參數c，它可對不同類型的輸入均作出較好的響應。在這里，電

14、機負載的實際轉速經軸角編碼器轉換成數字信號，在微型計算機中與期望值構成速度偏差，并按所設計的控制算法，計算出控制量送給脈沖發生器。脈沖發生器產生兩個不同相位的脈沖序列，它們的相位差正比于控制量。作用在直流電機上的電壓是可控硅整流器的輸出電壓Va，它正比于脈沖相位差。經過分析后，可得整個系統的z傳遞函數為在給定M (z)之后，數字控制器可由下公式解出在選取M (z)時，注意到這里的對象為一階慣性環節（與例6.3有相似之處），故可以預料，按最少拍控制設計出來的系統，不能適應期望值的多種變化。因此，有必要采用慣性因子法進行改進。我們從按速度輸入設計的最少拍控制出發，將期望的閉環傳遞函數由改變為式(6

15、-20)的形式，并取c0.5，則可以得到由此可得數字控制器的Z傳遞函數為這一控制系統對期望值單位階躍變化的響應為應該注意的是，使用慣性因子法并不能改善系統對所有輸入類型的響應。在上例中， c0.5將使系統對加速度輸入的靜差加大。如果取c0.5，固然可減小這一靜差，但其 階躍響應的超調卻達150%。所以，這種方法只適用于輸入類型不多的情況。如果要使 控制系統適應面廣，則可針對各種輸入類型分別設計，在線換接，如圖6-15所示。 6.5 非最少的有限拍控制如果我們在最少拍設計的基礎上，把閉環Z傳遞函數M(z)中z-1的冪次適當提高一 到二階，閉環系統的脈沖響應將比最少拍時多持續一到二拍才歸于零。這時

16、顯然已不是最少拍系統，但仍為一有限拍系統。在這一系統的設計中，由于維數的增高，將使我們 在設置控制初值u(0)或選擇M(z)及1-M(z)中的若干待定系數時增加一些自由 度。一般情況下，這有利于降低系統對參數變化的敏感性，并減小控制作用。 6.6 達林算法 對于大多數工業生產過程，由于被控對象模烈的不精確性及其參數隨時間的漂移，要求控制系統的輸出值在最少拍內到達穩態的設計不但不能達到預期的效果，反而會產生大的超調或振蕩。對此，除了采用上述兩節中的修改算法外，達林Dahlin還提出了一種新的算法，即在選擇閉環傳遞函數時，采用相當于連續一階慣性環節的M (z)來代替最少拍多項式。如果對象有純滯后，

17、則M(z)還應包含同樣的純滯后環節。則達林算法的原理如下： 系統響應曲線如圖6-17系統輸出在采樣點上的值可按期望指數形式變化，但控制量系列有大幅度的擺動。達林把這種控制量以二分之一的采樣頻率振蕩的現象稱為振鈴（Ringing）。 振鈴現象的產生，是由于控制量的z變換有在單位圓內接近z=-1的極點。離z=-1越近，振鈴幅度就越大。單位圓內右半平面上的零點會加劇振鈴現象，而右半平面上的極點則削弱振鈴現象。振鈴并不是達林算法中所特有的現象，它與前面所述的最少拍控制中的紋波現象實質上是一致的。振鈴現象會引起在采樣點之間系統輸出紋波，并使執行機構磨損。在有交互作用的多參數系統中，甚至會威脅到系統的穩定

18、性，因此在系統設計中，必須將它消除。從控制量的z變換(式子6-23)可以看出，它把G(z)的全部零點作為其極點。所以，如果G(z)有單位圓內接近于z=-1的零點，就會引起振鈴。振鈴的消除方法由于在達林算法中數字控制器的結構與最少拍算法不同，所以不能用6.3節中介紹 的方法消除引起振鈴的控制器極點。達林提出了一種簡單的修正辦法，即只要在控制器對應的極點因子中令z1，就可消除振鈴現象。而且根據終值定理，系統的穩態輸出可保持不變。例如在上面的例子中，可將控制器極點多項式中（10.733z-1）項改為1.733，由此得到數字控制器這樣，閉環Z傳遞函數變為在單位階躍輸入時，輸出值的Z變換為控制量的Z變換為從圖6-18可見，振鈴現象及輸出值的紋波已基本消除。應該注意： 由于修改了控制器的結構，閉環傳遞函數M (z)也發生了變化，一般應檢驗其在改變后是否穩定。達林算法只適用于穩定的對象。此外，如果對象在采樣保持后的Z傳遞函數G(z)