1、12.1 拉普拉斯變換 12.2 拉氏變換的基本性質12.3 用部分分式法進行拉氏反變換12.4 用拉普拉斯變換法分析線性電路 12.1 拉普拉斯變換 我們在第9章對線性電路暫態過程進行了詳細的分析，其分析方法是根據基爾霍夫定律列電路的微分方程，解微分方程就可以求出電壓、電流隨時間變化的規律，這種方法稱為經典法，又稱為時域分析法。 對于直流電源激勵的一階線性電路，用三要素法分析電路的暫態過程簡單方便，且物理概念清晰。對于電路中含有多個儲能元件的高階電路，三要素法不適用。顯然，求解高階微分方程過程比較復雜。為了簡化電路的暫態過程分析，本章介紹一種積分變換法。 積分變換法就是將時域的微分方程變換為

2、復頻域的代數方程，求解其代數方程，然后再變換回時域，求出原微分方程的解。拉普拉斯變換就是一種積分變換法，應用拉普拉斯變換分析高階線性電路的暫態過程是目前廣泛應用的方法。12.1.1 拉普拉斯變換的定義設函數在區間有定義，將進行如下積分變換，即的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。上式就稱為是復數是常數是角頻率是復頻率式中，是的象函數，是的原函數。 通常將上式表示為 式中符號 “ ” 表示對方括號里的原函數作拉氏變換。 式中還可以看出， 的積分結果是有限值時，即拉氏變換的 才存在。 是收斂因子。 12.1.2 拉氏反變換在求出象函數 后，若要求出所對應的原函數 需要進行拉氏反變換。 上式是由 到 的變換

3、，稱為拉氏反變換。 上式可表示為設已知象函數 ，它所對應的原函數 的變換公式為 1 符號“1 ”表示對方括號里的象函數作拉氏反變換。【例12.1】求解（1）單位階躍函數 （2）單位沖激函數 （3）指 數函數 的象函數。【解】（1）求單位階躍函數 的象函數。 （2）求單位沖激函數 的象函數。 （3）求指 數函數 的象函數。 12.2 拉普拉斯變換的基本性質 拉氏變換有很多性質，在此僅介紹在電路分析中常用的幾個基本性質。 12.2.1 線性性質設 和 的象函數分別為 和 ，且a和b是兩個任意常數，則 即，若干個原函數的線性組合的象函數等于各原函數的象函數的線性組合。證明 【例12.2】求指數函數

4、的象函數。 【解】 = - 12.2.2 微分性質 = 設，則 即，時域中的原函數求導運算等于復域中的象函數乘以 s的運算減去原函數 在 時的值。 證明 利用分部積分公式 ，可得 12.2.3 積分性質 = 設，則 即，時域中 由 到 的積分運算等于復域中 除以s 的運算。 證明 設 利用分布 積分公式 可得 證明 設 利用分布 積分公式 可得 其中，當 和 時，等式右邊第一項都為零。 12.3 用部分分式法進行拉普拉 斯變換 應用拉氏變換求解線性電路的暫態過程時，需將求出的象函數再反變換為時域函數，才能求出原函數。拉氏反變換用式（12.3）求解比較復雜，所以拉氏反變換最簡單的求法就是查表法。

5、若象函數比較復雜，從拉氏變換表12.1中直接查不到原函數時，可以先將象函數分解成若干個簡單的、能夠從表中查出的各項，然后將各項相加即得所求的原函數。分解象函數的方法為部分分式展開法。設象函數 為 都是實系數的多項式，m和n為正整數。 式中 和 由于電路分析中的象函數大多數 都是有理真分式，即 用部分分式展開有理真分式 時，需要對分母的多項式 進行因式分解，求出 時域的根。 時的根有單根、重根和共軛復數根三種情況。 1單根 設多項式因式分解后為當時就有多個不相等的實數根這時可以展開為為待定系數。式中，為了求出任意一個待定系數，可以用乘以就可求出。 上式，令。求的公式為在求解時可以先將因子與中的相

6、同因子消去，然后再代入，求出。 可用求極限的方法（洛必達法則）導出另外一個求的公式，即則查拉氏變換表可得 -1 = 對應的原函數為 -1 【例12.3】已知 ，求。 將的多項式分解，即則時的根為【解】由公式分別求出或由公式求出所以 查表得 -1 2共軛復根 當的根是復數時，由于的多項式的系數系數都為實數，所以復數根是一對共軛復數根，即則的展開式為由上兩式都可以求出和。由式得可見 和 也是一對共軛復數。的反變換為【例12.4】已知 ，求。 【解】的根是一對共軛復數根，即 由式得由式得3重根 當具有重根時，則是含有的因式。中只含有的因式，即為的二重根，則的展開式為設其中的第一個下標對應的重根對應分

7、母的階數。，第二個下標為了求出和，將上式兩邊乘以 ，即則 再對式求出，即兩邊對s求導導一次，令然后查拉式變換表，求出的原函數。【例12.5】已知，求。【解】 有一個二重根， 和一個單根， 的展開式為 所以 由式 ，即求出系數 由式 求出系數 ，即由式 ，即求出系數 由式 求出系數 ，即由式 求出系數 ，即 所以 查拉氏變換表，得【例12.5】已知，求。【例12.6】已知，求。【解】 在求解假分式時，將分子多項式除以分母多項式，即是假分式，即所以 查拉氏變換表，得可見，象函數是假分式時，原函數中存在沖激函數或沖激函數的導數。 12.4 用拉普拉斯變換法分析線性電路 拉普拉斯變換法是將時域電路的微

8、分方程變換為復頻域的代數方程，然后再經過反變換求其原函數。實際上，在應用拉氏變換法時，不用列出時域的電路微分方程，可直接建立電路的復頻域模型，稱為運算電路。然后根據電路定律列寫復頻域電路的代數方程，就和正弦穩態電路用相量式列電路方程的形式一樣，求出未知電壓、電流的象函數，再經過拉氏反變換求出時域的電壓或電流。這種直接用運算電路列寫復頻域電路方程的方法簡化了電路的分析過程。 12.4.1 線性電路元件的復頻域模型1電阻元件對上式兩邊取拉氏變換，得在圖a中，電阻元件的電壓、電流關系為 則電阻元件的復頻域模型如圖b所示。 a) 時域模型 b) 復頻域模型1電感元件對上式兩邊取拉氏變換，得在圖a中，電

9、感元件的電壓、電流關系為 則電感元件的復頻域模型如圖b所示。 a) 時域模型 b) 復頻域模型 運算阻抗 初始儲能作用 1電容元件對上式兩邊取拉氏變換，得在圖a中，電容元件的電壓、電流關系為 則電容元件的復頻域模型如圖b、C所示。 a) 時域模型 b) 復頻域串聯模型 c) 復頻域并聯模型或運算導納 運算阻抗 附加電流源的電流 附加電壓源的電壓 12.4.2 電路定律的復頻域模式1基爾霍夫定律時域的基爾霍夫定律表示為 對兩式兩邊取拉氏變換，得出復頻域的表示形式為2歐姆定律對于RLC串、并聯電路，復頻域的運算阻抗為 則歐姆定律的復頻域表示形式為或 電阻的量綱 電導的量綱 12.4.3 用拉氏變換

10、分析線性電路舉例【例12.7】在圖a中，已知 試求開關S打開后的 b)【解】復頻域電路如圖b所示。 外加激勵的象函數和電容電壓的原始值為用電源的等效變換方法將圖b等效成圖C所示的電路，則b)c)由圖c求出電流的象函數為的象函數為 作拉氏反變換，得【例12.8】在圖a中，已知 試求 后的 a) b)【解】復頻域電路如圖b所示。由圖b得電流、電容電壓的象函數為 a) b)【解】復頻域電路如圖b所示。由圖b得電流、電容電壓的象函數為令 求出根 a) b)令 求出根 可以展開為由公式求出待定系數 即 作拉氏反變換，得【例12.9】 在圖a的電路中，已知 ，。 試求：（1）當電壓源 時，求其階躍響應 （2）當電壓源 ；(其中，沖激電壓的強度具有有磁鏈的量綱) 時，求其沖激響應 。 a) b) a) b)【解】（1） 當電壓源 時，求其階躍響應 ；時，其象函數為 復頻域電路如圖b所示。應用彌爾曼定理，電感電壓的象函數為作拉氏反變換，得電感電流的