1、2012考研必備：超經典的考研數學考點與題型歸類分析總結1高數部分高數第一章函數、極限、連續求極限題最常用的解題方向：1.利用等價無窮小；2.利用洛必達法則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉化為型或型，再使用洛比達法則；3.利用重要極限，包括、；4.夾逼定理。高數第二章導數與微分、第三章不定積分、第四章定積分第二章導數與微分與前面的第一章函數、極限、連續、后面的第三章不定積分、第四章定積分都是基礎性知識，一方面有單獨出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運用，故非常有必要打牢基礎。對于第三章不定積分，陳文燈復習指南分類討

2、論的非常全面，范圍遠大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點：不定積分中的積分常數C容易被忽略，而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯系以加深印象：定積分的結果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，把它折彎后就是中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。第四章定積分及廣義積分可以看作是對第三章中解不定積分方法的應用，解題的關鍵除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對于型定積分，若f(x)是奇函數則有=0；若f(x)為偶函數則有=2；對于型積分，f(x)一般含三角函數，此時用的代換是常用方法。所以解這一

3、部分題的思路應該是先看是否能從積分上下限中入手，對于對稱區間上的積分要同時考慮到利用變量替換x=-u和利用性質 、。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。高數第五章中值定理的證明技巧由本章中值定理的證明技巧討論一下證明題的應對方法。用以下這組邏輯公式來作模型：假如有邏輯推導公式AE、(AB)C、(CDE)F,由這樣一組邏輯關系可以構造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F成立。為了證明F成立可以從條件、結論兩個方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結論入手證明稱之為反方向。正方

4、向入手時可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的邏輯推導公式太多，難以從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備邏輯公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同時存在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(AB) M，因為其中涉及了題目所給的3個條件中的2個，但這恰恰走不通； 2.對于解題必須的關鍵邏輯推導關系不清楚，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的(AB) C，如果不知道或弄錯則一定無法得出結論。從反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。針對以上

5、分析，解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必須迅速轉換思路，而不應該再從頭開始反復地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息。當我們解證明題遇到困難時，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結論簡直是風馬牛不相及的東西，長時間無法入手；好不容易找到一個大致方向，在做若干步以后卻再也無法與結論拉近距離了。從出題人的角度來看，這是因為沒能夠有效地從條件中獲取信息。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結論”中獲取信息有時也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時一開始就想到了公式(

6、CDE) F再倒推想到 (AB) C、 AE就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發型”的證明題，那么主要靠“倒推結論”入手的“結論啟發型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現。其中的規律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結論可用定理A關于閉區間上的連續函數，常常是只有連續性已知存在一個滿足某個式子介值定理（結論部分為：存在一個使得）零值定理（結論部分為：存在一個使得）B條件包括函數在閉區間上連續、在開區間上可導存在一個滿足費爾馬定理（結論部分為： ）洛爾定理（結論部分為：存在一個使得）C條件包括函數在閉區間上連續、在

7、開區間上可導存在一個滿足拉格朗日中值定理（結論部分為：存在一個使得）柯西中值定理（結論部分為：存在一個使得）另外還常利用構造輔助函數法，轉化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發現，有關中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時A也只多了一條“可導性”而已；所以在面對這一部分的題目時，如果把與證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點應該放在熟記定理的結論部分上；如果能夠做到想到介值定理時就能同時想起結論“存在一個使得”、看到題目欲證結論中出

8、現類似“存在一個使得”的形式時也能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時就能想到式子；而見到式子也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的題目時就會輕松的多，時常還會收到“豁然開朗”的效果。所以說，“牢記定理的結論部分”對作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現的最為明顯。綜上所述，針對包括中值定理證明在內的證明題的大策略應該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結論的提示作用，正推和倒推相結合；同時保持清醒理智，降低出錯的可能”。希望這些想法對你能有一點啟發。不過僅僅弄明白這些離實戰要求還差得很遠，因為在實戰中證明題難就難在答案中用到的變形轉換技巧、性質甚

9、至定理我們當時想不到；很多結論、性質和定理自己感覺確實是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運用；這也就是自身感覺與實戰要求之間的差別。這就像在記英語單詞時，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的一樣，對于考研數學大綱中“理解”和“掌握”這兩個詞的認識其實是在做題的過程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質及熟練運用各種變形轉換技巧，從而達到大綱的相應要求，提高實戰條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。高數第六章常微分方程本章常微分方程部分的結構簡單，陳

10、文燈復習指南對一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應的表格。歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現的，也經常以大題的形式出現，一般是通過函數在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復雜。對于本章的題目，第一步應該是辨明類型，實踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以后按照對應的求解方法按部就班求解即可。這是因為其實并非所有的微分方程都是可解的，在大學高等數學中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識點緊密結合或是靈活轉換。這樣的知識點特點就決定了

11、我們可以采取相對機械的“辨明類型套用對應方法求解”的套路 ，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。先討論一下一階方程部分。這一部分結構清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。各種類型都有自己對應的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規律可循這些方法最后的目的都是統一的，就是把以各種形式出現的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程，就是變形為=-，再積分求解；對于齊次方程則做變量替換，則化為，原方程就可化為關于的可分離變量方程，變形積分即可解；對于一階線性方程第一步先求的通解，然后將變

12、形得到的積分，第二步將通解中的C變為C(x)代入原方程解出C(x)后代入即可得解；對于貝努利方程，先做變量代換代入可得到關于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因為其有條件，而且解題時直接套用通解公式.所以，對于一階方程的解法有規律可循，不用死記硬背步驟和最后結果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規律。對于型方程，就是先把當作未知函數Z，則 原方程就化為 的一階方程形式，積分即得；再對、依次做上述處理即可求解； 叫不顯含 的二階方程，解法是通過變量替換 、 (p為x的函數)將原方程化為一階方程；叫不顯含x的二階方程，變量替換也

13、是令（但此中的p為y的函數），則，也可化為一階形式。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換”，“求解貝努利方程就用變量替換”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、 ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應的公式即可。其中二階線性微分方程解的結構定理與線性代數中線性方程組解的結構定理非常相似，可以對比記憶：若、是齊次方程的兩個線性無關的特解，則該齊次方程的通解為若齊次方程組Ax=0的基礎解系有(n-r)個線性無關的解向量，則齊次方程組的通解為非齊次方程的通解為，其中是非齊次方程的一個特解，是對應齊次方程的通解

14、非齊次方程組Ax=b的一個通解等于Ax=b的一個特解與其導出組齊次方程Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個特解，則對應齊次方程的一個解為若、是方程組Ax=b的兩個特解，則(-)是其對應齊次方程組Ax=0的解由以上的討論可以看到，本章并不應該成為高數部分中比較難辦的章節，因為這一章如果有難點的話也僅在于“如何準確無誤地記憶各種方程類型及對應解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。高數第七章一元微積分的應用本章包括導數應用與定積分應用兩部分，其中導數應用在大題中出現較少，而且一般不是題目的考察重點；而定積分的應用在歷年真題的大題中經常出現，常與常微分方程結合。典型的構題方式是利用變區間上的面積、體

15、積或弧長引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分單獨分離到方程的一端形成“”的形式，在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。對于導數應用，有以下一些小知識點：利用導數判斷函數的單調性和研究極、最值。其中判斷函數增減性可用定義法或求導判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點： A. 極值的定義是：對于的鄰域內異于的任一點都有或,注意是或 而不是或； B. 極值點包括圖1、圖2兩種可能，所以只有在在處可導且在處取極值時才有。以上兩點都是實際做題中經常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。 討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理（結論部分為）、洛爾定理（結論部分為）；常用到構造輔助函

16、數法；在作題時，畫輔助圖會起到很好的作用，尤其是對于討論方程根個數的題目，結合函數圖象會比較容易判斷。理解區分函數圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數在 區間I上的，則在I上是凸的；若在I上的，則在I上是凹的；B.若在點處有且，則當時為極大值，當時為極小值。其中，A是判斷函數凸凹性的充要條件，根據導數定義，是的變化率，是的變化率。可以說明函數是增函數，典型圖像是； 可以說明函數的變化率在區間I上是遞減的，包括以下兩種可能：a.此時為正，且隨變大而變小（大小關系可參考圖3）；b.此時為負，隨變大而變小（大小關系可參考圖3）；同樣，也只有兩種對應圖像：c.此時為正，隨著變大而變大；d

17、.此時為負，隨變大而變大。所以，當時，對應或的函數圖像，是凸的；當時，對應或的函數圖像，是凹的。相比之下，判斷函數極大極小值的充分條件比判斷函數凸凹性的充要條件多了“且”，這從圖像上也很容易理解：滿足的圖像必是凸的，即或，當且時不就一定是的情況嗎。對于定積分的應用部分，首先需要對微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應用是倍受出題老師青睞的知識點之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習才能真正體會其思想。在此結合函數圖像與對應的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型：薄桶型. 本例求的是由平面圖型ax

18、b,0yf(x)繞y軸旋轉所形成的旋轉體體積。方法是在旋轉體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據微元法思想可得薄桶體積 ,其中是薄桶的高，是薄桶展開變成薄板后的底面積，就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。 對 積分可得 。在這個例子中，體現微元法特色的地方在于：1.雖然薄桶的高是個變化量，但卻用來表示；2.用表示薄桶的厚度；3.核心式。薄餅型.本例求的是由拋物線及繞軸旋轉形成的高 的旋轉體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個薄餅型形體，可得微元法核心式 。其中 是薄餅的底面積，薄餅與 旋轉面相交的圓圈成的面積是 ,，；同理薄餅與 旋轉面相交的圓圈成的面積是 ， 二者相減即得薄餅底面積

19、。核心式中的 是薄餅的高。這個例子中的薄餅其實并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺，但將其視為上下等粗來求解，這一點也體現了微元法的特色。薄球型.本例求球體質量，半徑為 ，密度 ， 其中 指球內任意一點到球心的距離。方法是取球體中的一個薄球形形體，其內徑為 厚度為 ，對于這個薄球的體積有 ，其中是薄球表面積，是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再用底面積乘高得到的。由于很小，故可認為薄球內質量均勻，為，則薄球質量，積分可得結果。本例中“用內表面的表面積乘以薄球厚度得到核心式”、“將內的薄球密度視為均勻”體現了微元法的特色。通過以上三個例子談了一下了我對微元法特點的

20、一點認識。這種方法的靈活運用必須通過自己動手做題體會才能實現，因為其中一些邏輯表面上并不符合常規思維，但也許這正是研究生入學考試出題老師喜歡微元法的原因。關于定積分的應用，以下補充列出了定積分各種應用的公式表格：求平面圖形面積求旋轉體體積（可用微元法也可用公式）左圖中圖形繞軸旋轉體的體積，繞軸旋轉體得體積左圖中圖形繞軸旋轉體的體積，繞軸旋轉體得體積已知平行截面面積求立體體積 求平面曲線的弧長 高數第八章無窮級數本章在考研真題中最頻繁出現的題型包括“判斷級數斂散性”、“級數求和函數”和“函數的冪級數展開”。其中判斂是大、小題都常考的，在大題中一般作為第一問出現，求和與展開則都是大題。這一章與前面

21、的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨立的章節，在考試時會出大題，而且章內包含的內容多、比較復雜。陳文燈復習指南上對相關章節的指導并不盡如人意，因為套題型的方法在這些復雜章節中不能展現其長處，故整體來說結構比較散亂。對于級數判斂部分，主要用的方法是比較法、級數斂散性的定義和四則運算性質。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子： 1. 已知級數收斂，判斷級數的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式，再應用比較法的一般形式即可判明。其實這種“知一判一”式的題目是有局限性的若已知級數收斂，則所要求判斂的級數只能也是收斂的，因為只有“小于收斂級數的級數必收斂”這

22、一條規則可用，若待判斂級數大于已知收斂級數，則結果無法判定。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數收斂，則下列級數中收斂的是（）”。 2 上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數某些性質要求判斷斂散性，方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數建立起聯系，再應用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調遞減數列滿足，判斷級數的斂散性。關鍵步驟是：由得到，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質判斂”這兩種形式。冪級數求和函數與函數的冪級數展開問題是重點內容，也是每年都有的必考題。通過做歷年真題，我發現像一元函數微積分應用中的

23、微元法、無窮級數中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識點都有一個相似之處，就是這些知識點從表面上看比較復雜、難于把握，實際上也必須通過認真思考和足量練習才能達到應有的深度，但在領會到解決方法的精髓思想以后這些知識點又會“突然”變的十分簡單。也就是說，掌握這樣的知識點門檻較高，但只要跨過緩慢的起步階段，后面的路就是一馬平川了；同時，具有這種特點的知識點也可以提供給出題人更大的出題靈活性，而通過“找到更多便于靈活出題的知識點來跳出題型套路”正是近幾年考研真題出題專家致力達到的目標，這一趨勢不僅體現在了近年來的考卷上，也必然是今后的出題方向。所以我們在復習過程中對于具有“淺看復雜、深究簡單、思路巧妙

24、、出法靈活”的知識點要倍加注意，對于無窮級數這樣必出大題的章節中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識點，更是要緊抓不放。因為這種知識點對“復習時間投入量”的要求接近于一個定值，認認真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點“一次投入，終生受益”的意思，花時間來掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達到熟練做題程度以后會發現其大有規律可循。這種規律是建立在對6個關鍵的函數展開式“熟之又熟”的掌握上的。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區別相似公式，將出錯概率降到最小

25、。公式如下：1. （-1，1）2. （-1，1）3.4. 5. 6. 這六個公式可以分為兩個部分，前3個相互關聯，后3個相互關聯。1式是第一部分式子的基礎。不就是一個無窮等比數列嗎，在時的求和公式正是函數展開式的左端。所以這個式子最好記，以此為出發點看式子2：1式左端是，2式左端是；1式右端是，2式右端也僅僅是變成了交錯級數,故可以通過這種比較來記憶式子2；對于3式來說，公式左端的與2式左端的存在著關系“”，故由的展開式可以推導出的展開式為。這三個式子中的，相互之間存在著上述的清晰聯系。后3個式子的，相互之間的聯系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。這一部分的基本式是公式4：與之相比，的展開

26、式是，的展開式是。一個可看成是將展開式中的奇數項變成交錯級數得到的，一個可看成是將展開式中的偶數項變成交錯級數而得到。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的搭配：、習慣上說“正余弦”，先正后余；而的展開式對應的是奇數項，的展開式對應的是偶數項，習慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。記好6個關鍵式是解決冪級數求和與函數的冪級數展開問題的基礎，不僅在記憶上具有規律性，在解題時也大有規律可循。在已知冪級數求和函數時，最佳途徑是根據各個公式右端的形式來選定公式：第一部分(前3式)的展開式都不帶階乘，其中只有的展開式不是交錯級數；第二部分（后3式）的展開式都帶階乘，其中只

27、有的展開式不是交錯級數。由題目給出的冪級數的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的冪級數帶階乘而不是交錯級數，則應該用公式4，因為冪級數的變形變不掉階乘和；若題目給出的冪級數不帶階乘而且是交錯級數，則必從2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對于函數的冪級數展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數的冪級數展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）。對于數項級數求和的題目，主要方法是構造冪級數法，即利用變換求得冪級數的和函數以后代入極限式即可。其中的關

28、鍵步驟是選擇適當的，一般情況下如果、這樣的項在分子中，則應該先用逐項積分再用逐項求導，此時的應為的形式，如、，以方便先積分；若題目有、這樣的項，則應為的形式，如、，便于先求導。這些經驗在做一定量的題目后就會得到。本章最后的知識點是付立葉級數，很少考到，屬于比較偏的知識點，但其思想并不復雜，花時間掌握還是比較劃算的。函數的付立葉級數的物理意義就是諧波分析，即把一個復雜周期運動看作是若干個正余弦運動的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時有以下兩種情況：題目給出的函數至少有一個完整的周期，如圖則直接套用公式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。對于形狀類似上圖的函數，展開以后級數中既有正

29、弦級數也有余弦級數；若為奇函數如，則展開后只有正弦級數；若為偶函數則展開后只有余弦函數；題目給出函數后沒有說明周期，則需要根據題目要求進行奇開拓或偶開拓。如圖，若要求進行奇開拓就是展開成奇函數，此時得到的級數中只有正弦級數，圖像為；若要求進行偶開拓就是要展開成偶函數，此時得到的展開式中只有余弦級數，圖像為。高數第九章矢量代數與空間解析幾何本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復習本章時需要重點考慮的問題。抓住本章前后知識點的聯系來復習是一種有效的策略，因為這樣做既可以避免重復記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準確性。同時，知識點前后聯系密切也正是本章的突出特點之一。以下

30、列出本章中前后聯系的知識點：矢量間關系在討論線線關系、線面關系中的應用。這個聯系很明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關系性質知此時二矢量的數積為0，若直線方程為，平面方程為，則有。同理可對線面、線線、面面關系進行判定。數積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯系。數積定義式為，故有，這個式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。舉例來說，設直線，直線，則二直線夾角，其中、分別是兩條直線的方向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就是線面夾角公式中不是而是，因為如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面

31、夾角是兩矢量夾角的余角，即，故求夾角公式的左端是。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。平面方程各形式間的相互聯系。平面方程的一般式、點法式、三點式、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。點法式（點為平面上已知點，為法矢量）可變形為，符合一般式的形式；截距式（為平面在三個坐標軸上的截距）可變形為，也符合一般式的形式。這樣的轉化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因為在考試中可能需要將這些式子相互轉化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經出現過）。同樣，直線方程各形式之間也有類似聯系，直線方程的參數形式和標準式之間可以相互轉化。直線方程的參數形式（是平面上已知點，為方向矢量）可變形為，即為標準式；標

32、準式若變形為則也可以轉化為參數形式。這個轉化在歷年真題中應用過不止一次。空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準線方程之間的區別與聯系。關于這些方程的基礎性知識包括：表示的是一個空間曲面；由于空間曲線可視為由兩個空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為；柱面方程如圓柱面、橢圓柱面可視為是二元函數在三維坐標系中的形式。在這些基礎上分析，柱面方程的準線方程如可視為是由空間曲面柱面與特殊的空間曲面坐標平面相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準線方程其實是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標平面相交得到的，所以也就是圖中的柱面準線。在由空間曲線方程求投影方程時，

33、需要先從方程組中消去得到一個母線平行于軸的柱面方程；再與聯立即可得投影方程。高數第十章多元函數微分學復習本章內容時可以先將多元函數各知識點與一元函數對應部分作對比，這樣做即可以將相似知識點區別開以避免混淆，又可以通過與一元函數的對比來促進對二元函數某些地方的理解。本章主要內容可以整理成一個大表格：二元函數的定義（略）相似一元函數的定義（略）二元函數的連續性及極限：二元函數的極限要求點以任何方向、任何路徑趨向時均有（、）。如果沿不同路徑的不相等，則可斷定不存在。不同一元函數的連續性及極限：一元函數的極限與路徑無關，由等價式即可判斷。二元函數在點處連續性判斷條件為：存在且等于相似一元函數在點處連續

34、性判斷條件為且等于二元函數的偏導數定義二元函數的偏導數定義分段函數在分界點處求偏導數要用偏導數的定義相似一元函數的導數定義一元函數的導數定義：分段函數在分界點處求導數需要用導數定義二元函數的全微分：簡化定義為：對于函數，若其在點處的增量可表示為，其中為的高階無窮小，則函數在處可微，全微分為，一般有相似一元函數的全微分：簡化定義為：若函數在點處的增量可表示為，其中是的高階無窮小，則函數在該點可微，即，一般有二元函數可微、可導、連續三角關系圖連續 可導 可微不同二元函數可微、可導、連續三角關系圖連續 可導 可微多元函數的全導數設，且都可導，則對的全導數不同一元函數沒有“全導數”這個概念，但是左邊多

35、元函數的全導數其實可以從“一元復合函數”的角度理解。一元復合函數是指、時有。與左邊的多元函數全導數公式比較就可以將二式統一起來。多元復合函數微分法復合函數求導公式：設、，則有。對于多元復合函數求導，在考研真題中有一個百出不厭的點就是函數對中間變量的偏導數、仍是以為中間變量的復合函數，此時在求偏導數時還要重復使用復合函數求導法。這是需要通過足量做題來熟練掌握的知識點，在后面的評題中會就題論題作更充分的論述。相似一元復合函數求導公式如上格所示，與多元復合函數求導公式相似，只需分清式子中與的不同即可多元隱函數微分法求由方程確定的隱含數的偏導數，可用公式：，對于由方程組確定的隱含數、可套用方程組一元復

36、合函數、參數方程微分法對一元隱函數求導常采用兩種方法：1.公式2.將視為的函數，在方程兩邊同時對求導一元參數方程微分法：若有則關于這一部分，多元與一元的聯系不僅是“形似”，而且在相當大程度上是相通的，在考研真題中此處與上面的多元復合函數求導是本章的兩個出題熱點，屢屢出現相關題目，在后面的評題中有更多討論。多元函數的極值極值定義：函數在點的鄰域內有定義，且對于其中異于點的任一點，恒有或，則稱為的極小/大值，方程組的解稱為函數的駐點。相似一元函數的極值極值定義：函數在點的鄰域內有定義且對于其中異于該點的任一點恒有或，則稱為的極小/大值，方程的解稱為函數的駐點。取極值的充分條件函數在點的鄰域內有連續

37、二階偏導，且滿足、，若或則為極小值點；若或則為極大值點。大綱對于多元函數條件極值的要求為“會用拉格朗日乘數法求條件極值”，是一種比較簡單而且程式化的方法。一元函數則無對應的內容。相似取極值的充分條件函數在點的鄰域內可導，且滿足、，則：若，則為極小值；若，則為極小值高數第十章重積分大綱對于本章的要求只有兩句：1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。這一部分在歷年真題中直接考到的情況很少，但卻經常涉及，尤其是在關于曲線、曲面積分的題中，一般都需要將曲線、曲面積分轉化為

38、重積分來計算結果。關于二重積分的性質，可以結合二重積分的幾何意義和定積分的對應性質來理解，因為理解幾何意義有利于解應用性問題，而且定積分和二重積分的性質定理幾乎是一一對應的，對比起來很直觀。在做二重積分的題時常用的是更換積分次序的方法與幾個變換技巧，這一點在后面評題時會有針對性的討論。線性代數部分線代這門課的特點 線性代數與高數和概率相比，特點之一是知識點比較細碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質和關系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點在于知識點間的聯系性很強。這種聯系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關知識，更重要的是在于不同章節中各種性質、定理、判定法則之間

39、有著相互推導和前后印證的關系。歷年考研真題中線代部分的題目都很靈活，在一道大題甚至小題中就可以考察到多個知識點，而且過渡自然、結構巧妙；有相當一部分題目可以找出多種解法。出現這種情況當然與出題專家水平高有關，但內在原因還是在于線性代數這門課“知識點間聯系性強”的特點。所以我們在復習線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會貫通”。“融會”可以理解為設法找到不同知識點之間的內在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識點之間的順承關系。這樣做的目的就在于當看到題目的條件和結論、推測出其中涉及到的知識點時立刻就能想到與之有關聯的其他知識點隊列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。這樣的復習策略雖

40、然也能夠用于高數和概率，但在線代復習中的作用體現的最為明顯。以第三章向量、第四章線性方程組為例，“線性相關”、“線性表示”的概念與線性方程組的某些性質定理之間存在著相互推導和相互印證的關系；出題專家在編制題目時常常利用這些聯系將兩部分的內容結合起來出題，比如在歷年真題中出現頻率很高的性質“齊次方程組是否有零解對應于A的列向量組是否線性相關；非齊次方程組Ax=b是否有解對應于向量b是否可由A的列向量線性表示”。再如一個貌似考察向量組線性無關的題目，做起來以后才發現實際考的是矩陣秩或行列式的內容，題眼就在于性質“方陣A可逆|A|=0A的列向量組線性無關r(A)=n”，依靠這一性質建立起了線性無關和

41、矩陣秩兩個知識點間的聯系。以上簡單分析了一下線代這門課本身的特點，在下面的小結中列出了對每章中一些具體知識點內在聯系的分析和實戰過程中發現的一些常用的和好用的性質，作為對具體知識點的討論。正是因為具有這樣的特點，線代與高數、概率相比，從難易程度上講正是一門“學得不好就顯得特別的難，一旦學好以后就會變得特別容易”的科目，所以實際上把時間花在線代復習上很劃算；即使你現在認為自己的線代水平還不好，那么也不應該有放棄線代的打算，因為，在一門“已經學得差不多”的課上繼續投入時間的效果肯定要比投入等量時間在一門“學得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說，試圖把一門滿分是100分、現在水平是80分

42、的課提高到85分，一般要比把一門滿分100現在只能拿40分的課提高10分、20分還要難得多。線代第一章行列式、第二章矩陣第一章行列式、第二章矩陣是線性代數中的基礎章節，有必要熟練掌握。第一章行列式的核心內容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和n階兩種類型；主要方法是應用行列式按行列展開定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（n階行列式的值為取自不同行、不同列的n個元素的乘積的代數和）、性質（其中為矩陣A的特征值）、行列式的性質（如“數乘行列式等于用此數乘一行列式中的某一行或某一列”）。對于抽象行列式的求值，考點不在求行列式

43、，而在于、等的相關性質，在下面對第二章的討論中會有小結。第二章矩陣中的知識點很細碎，但好在每個小知識點包括的內容都不多，沒有什么深度。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣運算的運算規律、，的性質、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質、某些結構特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。所以復習本章的難度主要在于如何保證復習的全面細致，一些做題時用到的性質和方法結合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在后面的評題中會有更充分的討論；下面的表格分類列出了逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣轉置的性質以供區別記憶：行列式性質特征值性質（為矩陣的特征值）運算性質秩的性質轉置矩陣逆矩陣有特征值伴隨矩陣有特

44、征值、三者之間有一個即好記又好用的性質數乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值，有特征值則有：若是可逆矩陣則有；同樣，若可逆則有線代第三章向量、第四章線性方程組線代第三章向量、第四章線性方程組是整個線性代數部分的核心內容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，后兩章特征值、特征向量、二次型的內容則相對獨立， 可以看作是對第三、四章核心內容的擴展。向量與線性方程組兩章的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈

45、活運用的前提。解線性方程組可以看作是這兩章內容的出發點和目標。線性方程組的系數矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數矩陣,；另一種是向量形式，其中 。向量就這樣被引入了，可能早期的數學家研究向量就是為了更好的研究解方程組的問題。先討論其次線性方程組與線性相關、無關的聯系。齊次線性方程組可以直接看出是一定有解的，因為當式等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性質“0向量可由任何向量線性表示”，即當中的時一定存在一組數使等式成立，至少在全為0時可以滿足。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1.有唯一零解；2.有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的只能全為0

46、才能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組是否線性相關無關也正是由這個等式定義出的。線性相關的定義為：設為一組向量，如果存在一組不為零的數使得等式成立，則稱向量組線性相關；如果等式當且僅當時成立，則稱向量組線性無關。故向量與線性方程組在此又產生了聯系：齊次線性方程組是否有非零解對應于系數矩陣A的列向量組是否線性相關。（這些聯系肯定不是簡單的巧合，很有可能正是數學史上前后相承的發展，說不定線性相關無關的概念正是數學家在研究線性方程組問題的過程中發現的。其實如果按照數學發展史的進程來編制數學教科書的話，雖然邏輯性和系統性會不如現在的分章節教材，但肯定會大大方便學習者的理解和領悟，因為這更接近于人

47、思維自然進展的節奏，非常有利于學習者認識各種概念定理的來龍去脈，而“不明白自己學的到底是什么”正是很多同學對數學感到困惑的根源。即使不能做到編制教材，也可以在教材中做一些介紹）。假如線性相關無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的，那同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”，向量組組成的矩陣有說明向量組的極大線性無關組中有n個向量，即線性無關，也即等式只有0解。所以，經過“秩線性相關無關線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，由就可以判定齊次方程組只有0解。當時，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時有非零解，且有n-r個線性無關的解向

48、量。這又與另一條性質相和：如果齊次線性方程組方程個數小于未知量個數則必有非零解。若方程組的系數矩陣是m行n列的，則方程個數小于未知量個數時有mn；因為矩陣的秩等于行秩也等于列秩，所以必有，根據齊次方程組解的判定定理有非零解。對于非齊次方程組來說，其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯系：非齊次方程組是否有解對應于向量是否可由的列向量線性表示。線性表示的定義為：對于向量組若存在一組數使等式成立，則稱向量可由向量組線性表示。而使上述等式成立的就是非齊次方程組的解，故齊次方程組有性質“齊次線性方程組是否由非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性向關”，非齊次方程組也由對應性質“非齊次線性方程組是否有

49、解對應于向量是否可由的列向量線性表示”。當非齊次線性方程組與對應齊次線性方程組滿足時，根據線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若線性無關，而線性相關，則向量可由向量組線性表示，且表示方法唯一”。以上討論了線性相關、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內在聯系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應對考試題。線代部分的學習并不容易“保持平庸”，一般不是學的很好、做起題來左右逢源、揮灑自如；就是收效欠佳、總感覺摸不準題目的脈絡；其差距就在于對線性代數這門課各章節知識的聯系是不是真正把握領悟了。線代部分的題目難就難在考點

50、的跨度大，出題老師可以借助各知識點之間天然的內在聯系來編制出非常靈活的題目，而我們如果僅僅掌握零散知識點，那怕對這些孤立的點掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭轉向。我記得當時上線代課時也常常是聽的一頭霧水、莫名其妙，感覺這門課很難；但在考研備考時經過這樣“抓本質聯系”的復習后卻感覺線代部分反而是考研數學三科中最容易的。每們科目都有其自身的特點，出題老師和我們考生都可以加以利用出題專家們利用線性代數“知識點間聯系復雜”的特點可以編制出靈活的試題，我們則可以根據各知識點之間的聯系來進行歸納、對比和總結，從而深化對知識點的掌握程度。以上所討論的各種聯系可以歸納為下面幾條非常重要的定義與性質，

51、其涵蓋了大量的題眼，在實際做題時非常好用。其含金量之高不僅在線代中是獨一無二的，在高數和概率兩門課的知識點中也很少見，希望你能重視：三個雙重定義：秩的定義 a.矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數 b.向量組秩定義：向量組的極大線性無關組中的向量個數2.線性相關無關的定義：對于一組向量，若存在不全為零的數使得成立，則相量組線性相關，否則向量組線性無關，即上述等式當且僅當全為0時才成立。向量組線性相關向量組中至少存在一個向量可由其余n-1個向量線性表出；線性無關向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。線性方程組的兩種形式：矩陣形式：向量形式：兩條性質：1.對于方陣有：方陣可逆存在方陣使得的

52、行列向量組均線性無關可由克萊姆法則判斷有唯一解，而僅有零解。對于一般矩陣則有：的列向量組線性無關僅有零解，有唯一解。齊次線性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性相關，而非齊次線性方程組是否有解對應于是否可以由的列向量組線性表出。以上兩條性質可視為是將線性相關、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯系在一起的橋梁：性質2性質1中的“|A|0A的列向量組線性無關”行列式 線性相關 線性方程組 性質1中的“r(A)=nA的列向量組線性無關”秩 以上這些是大量擴展性定理性質的邏輯基礎，也是出題人考慮跨章節出題和考察大跨度知識點時的必經之路“兵家必爭之地”，怎么重視都不為過。 另外，線性代數部

53、分在考試時會經常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導出來”的性質和結論，所以有必要擴大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲：一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數比它少的向量組線性表示。如果向量組可由向量組線性表示，則有。等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數的向量；任何一個向量組都與它的極大線性無關組等價。常見的線性無關組：齊次方程組的一個基礎解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對應的特征向量。關于秩的一些結論：；若有、滿足，則；若是可逆矩陣則有；同樣若可逆則有。非齊次線性方程組有唯一解則對應齊次方程組僅有零解，若有無窮多解則有非零解；若有兩個不同的

54、解則有非零解；若是矩陣而則一定有解，而且當時是唯一解，當時是無窮多解，而若則沒有解或有唯一解。線代第五章特征值和特征向量相對于前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點，歷年考研真題都有相關題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關題目要用到線代中的大量內容即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關，“牽一發而動全身”；著重考察這樣的知識點，在保證了考察面廣的同時又有較大的出題靈活性。從我們的角度來看，特征值特征向量這一章的內容即少且條理清晰，雖然涉及其它很多知識，但需要探究的深層次聯系很少，故學好這個“必考點”實際上要比學好

55、高數中的那些必考點如曲線、曲面積分要容易的多，這一點也是前面說復習線代這門課很劃算的原因之一。本章知識要點如下：特征值和特征向量的定義及計算方法。就是記牢一系列公式如、和。在歷年真題中常用到下列性質：若階矩陣有個特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、分別有特征值、，且對應特征向量等于所對應的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。相似矩陣及其性質。定義式為，需要區分矩陣的相似、等價與合同：矩陣與矩陣等價（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時矩陣可通過初等變換化為矩陣，并有；當中的、互逆時就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時滿足、，并且、有相同的特征值。矩陣合同的定義是，其中

56、為可逆矩陣。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關系：若與合同或相似則與必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯系。矩陣可相似對角化的條件。包括兩個充要條件和兩個充分條件，充要條件1是階矩陣有個線性無關的特征向量；充要條件2是的任意重特征根對應有個線性無關的特征向量；充分條件1是有個互不相同的特征值；充分條件2是為實對稱矩陣。實對稱矩陣極其相似對角化。階實對稱矩陣必可正交、相似于對角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對應的幾個正交的特征向量組成。 其實本章的內容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導的關系：以求方陣的冪作為思路的起點，直接乘來求比較困

57、難，但如果有矩陣使得滿足（對角陣）的話就簡單多了，因為此時，而對角陣的冪就等于代如上式即得。而矩陣相似對角化的定義式正是。所以可以認為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且中的、也分別是由的特征向量和特征值決定的。以上思路在本章的地位并不重要，因為與第三、四章知識點的互聯關系不同，考試時這條思路一般不會被用到。而考察線性相關和線性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內在聯系，甚至一些題目的題眼就是小結中的某一句話。所以前面的討論可以用來輔助理解，但對于做題時打開思路用處不大

58、。線代第六章二次型本章內容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標準型的方法，對于其它知識點僅要求了解。在理年真題中本章知識點出現次數不多，但也考過大題。本章所講的內容從根本上講是第五章特征值和特征向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣存在正交矩陣使得可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。將本章與上一章中相似對角化部分的內容作比較會有助于理解記憶“化二次型為標準型”的步驟及避免前后混淆，但因為大綱對本章要求不高，所以不必深究。概率部分概率這門課的特點與線性代數一樣，概率也比高數容易，花同樣的時間復習概率也更為劃

59、算。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時甚至被忽略。一般的數學考研參考書是按高數、線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復習完高數和線代以后有可能時間所剩無多；而且因為前兩部分分別占60%和20的分值，復習完以后多少會有點滿足心理；這些因素都可能影響到概率的復習。概率這門課如果有難點就應該是“記憶量大”。在高數部分，公式、定理和性質雖然有很多，但其中相當大一部分都比較簡單，還有很多可以借助理解來記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過推導相互聯系來理解記憶的多，所以記憶量也不構成難點；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質和定理需要記清楚，而且若靠推導來記這些點的話，不但難度大耗時

60、多而且沒有更多的用處（因為概率部分考試時對公式定理的內在推導過程及聯系并沒有什么要求，一般不會在更深的層次上出題）。記得當初看到陳文燈復習指南概率部分第二章隨機變量及其分布、第三章隨機變量的數字特征中在每章開始列出的那些大表格時，感覺其中必然會有很多內容是超綱的、不用細看；但后來復習時才發現，可以省略不看的內容少之又少，由大量的內容需要記憶。所以對于概率部分相當多的內容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎上理解”的路。記牢公式性質，同時保證足夠的習題量，考試時概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。概率第一章隨機事件和概率本章內容在歷年真題中都有涉及，難度一般不