1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設全集，集合，則( )ABCD2將函數圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象關于直線對稱，則函數在上的值域是（ ）ABCD3歐拉公式為,(虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系

2、，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”根據歐拉公式可知，表示的復數位于復平面中的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上，且其中一個頂點在雙曲線的右頂點，則實數的取值范圍是（ ）ABCD5若集合，則=（ ）ABCD6設全集U=R，集合，則（）ABCD7平行四邊形中，已知，點、分別滿足，且，則向量在上的投影為（ ）A2BCD8已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD9已知，函數在區間上恰有個極值點，則正實數的取值范圍為（ ）ABCD10若集合，則

3、=（ ）ABCD11過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（ ）ABCD12已知函數，且的圖象經過第一、二、四象限，則，的大小關系為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知正實數滿足，則的最小值為 14銳角中，角，所對的邊分別為，若，則的取值范圍是_.15如圖所示，邊長為1的正三角形中，點，分別在線段，上，將沿線段進行翻折，得到右圖所示的圖形，翻折后的點在線段上，則線段的最小值為_16在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是直線：上位于第一象限內的一點已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為，則點的坐標_三、解答題：共70

4、分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：的兩個焦點是，在橢圓上，且，為坐標原點，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點.連接、與軸交于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.18（12分）某百貨商店今年春節期間舉行促銷活動，規定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動，隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數越來越多，該商店經理對春節前天參加抽獎活動的人數進行統計，表示第天參加抽獎活動的人數，得到統計表格如下：123456758810141517（1）經過進一步統計分析，發現與具有線性相關關系請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（2）該

5、商店規定：若抽中“一等獎”，可領取600元購物券；抽中“二等獎”可領取300元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒有購物券已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為，獲得“二等獎”的概率為現有張、王兩位先生參與了本次活動，且他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲購物券總金額的分布列及數學期望參考公式：，19（12分）已知函數的最大值為，其中.（1）求實數的值；（2）若求證:.20（12分）已知函數（1）當時，若恒成立，求的最大值；（2）記的解集為集合A，若，求實數的取值范圍.21（12分）已知函數，,使得對任意兩個不等的正實數，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有兩個實根，且，求證：.22（10分）

6、已知函數.(1)求不等式的解集；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合的補集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.2D【解析】由題意利用函數的圖象變換規律，三角函數的圖象的對稱性，余弦函數的值域，求得結果.【詳解】解：把函數圖象向右平移個單位長度后，可得的圖象；再根據得到函數的圖象關于直線對稱，函數.在上，故，即的值域是，故選：D.【點睛】本題主要考查函數的圖象變換規

7、律，三角函數的圖象的對稱性，余弦函數的值域，屬于中檔題3A【解析】計算，得到答案.【詳解】根據題意，故，表示的復數在第一象限.故選：.【點睛】本題考查了復數的計算， 意在考查學生的計算能力和理解能力.4D【解析】因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，將其代入雙曲線可解得【詳解】因為雙曲線分左右支，所以，根據雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為，將其代入雙曲線方程得：，即，由得故選：【點睛】本題考查了雙曲線的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平5C【解析】求出集合，然后與集合取交集即可【詳解】由題意，則，故答案為C.【點睛】本題考查

8、了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎題6A【解析】求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可【詳解】，則，故選：A【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數不等式和二次不等式的解法，屬于基礎題7C【解析】將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.8D【解析】可設的內切圓的圓心為，設，可得，由切線的性質：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值【詳解

9、】可設的內切圓的圓心為，為切點，且為中點，設，則，且有，解得，設，設圓切于點，則，由，解得，所以為等邊三角形，所以，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質，注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質，切線的性質，考查化簡運算能力，屬于中檔題9B【解析】先利用向量數量積和三角恒等變換求出 ，函數在區間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解： 令，解得對稱軸，又函數在區間恰有個極值點，只需 解得故選：【點睛】本題考查利用向量的數量積運算和三角恒等變換與三角函數性質的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函

10、數關系式化成或 的形式; (2)根據自變量的范圍確定的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數范圍.10C【解析】試題分析：化簡集合故選C考點：集合的運算11D【解析】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于的方程，本題屬于難題.12C

11、【解析】根據題意，得，則為減函數，從而得出函數的單調性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經過第一、二、四象限，所以，所以函數為減函數，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，所以，又，則|，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用函數的單調性比較大小，還考查化簡能力和轉化思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。134【解析】由題意結合代數式的特點和均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果.【詳解】.當且僅當時等號成立.據此可知：的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解

12、；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值14【解析】由余弦定理，正弦定理得出，從而得出，推出的范圍，由余弦函數的性質得出的范圍，再利用二倍角公式化簡，即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形，則，.故答案為【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用，屬于中檔題.15【解析】設，在中利用正弦定理得出關于的函數，從而可得的最小值【詳解】解：設，則，在中，由正弦定理可得，即，當即時，取得最小值故答案為【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應用，屬中檔題16【解析】依題意畫圖,設,根據圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理

13、得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進而得出點坐標.【詳解】解:依題意畫圖,設以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則, 則為點到直線：的距離.所以,則.又因為點在直線：上,設,則.解得,則.故答案為: 【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標，表示出，根據韋達定理即可求證為定值.

14、【詳解】（1）因為，由橢圓的定義得，點在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設，直線的斜率為，設直線的方程為，聯立方程組，消去，整理得，所以，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.18（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（I）由題意可得，則，關于的線性回歸方程為（II）由題意可知二人所獲購物券總金額的可能取值有、元，它們所對應的概率分別為：，據此可得分布列，計算相應的數學期望為元試題解析：（I）依題意：，則關于的線性回歸方程為（II）二人所獲購物券

15、總金額的可能取值有、元，它們所對應的概率分別為：，所以，總金額的分布列如下表：03006009001200總金額的數學期望為元19（1）1；（2）證明見解析.【解析】（1）利用零點分段法將表示為分段函數的形式，由此求得的最大值，進而求得的值.（2）利用（1）的結論，將轉化為，求得的取值范圍，利用換元法，結合函數的單調性，證得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）當時，取得最大值.（2）證明:由（1）得，當且僅當時等號成立， 令，則在上單調遞減當時，.【點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數的最值的求法，考查利用基本不等式進行證明，屬于中檔題.20（1）；（2）【解析】（1）當時，由題意得到，令，分

16、類討論求得函數的最小值，即可求得的最大值.（2）由時，不等式恒成立，轉化為在上恒成立，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，由，可得，令，則只需，當時，；當時，；當時，；故當時，取得最小值，即的最大值為.（2）依題意，當時，不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即，即，解得在上恒成立，則，所以，所示實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的解法，以及不等式的恒成立問題的求解與應用，著重考查了轉化思想，以及推理與計算能力.21（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據題意，在上單調遞減，求導得，分類討論的單調性，結合題意，得出的解析式；（2）由為方程的兩個實根，得出，兩式相減，分別算出和，利用換元法令和構造函數，根據導數研究單調性，求出，即可證出結論.【詳解】（1）根據題意，對任意兩個不等的正實數，都有恒成立.則在上單調遞減，因為，當時，在內單調遞減.，當時，由，有，此時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，綜上，所以. （2）由為方程的兩個實根，得，兩式相減，可得， 因此，令，由，得， 則，構造函數.則，所以函數在上單調遞增，故，即， 可知，故，命題得證.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性求函數的解析式、以及利用構造函數法證明不等式，考查轉化思想、解題分析能力和計算能力