1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1函數的圖象與函數的圖象的交點橫坐標的和為（ ）ABCD2設，則，三數的大小關系是ABCD3己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，垂足為，若的面積為，則到的距離為（ ）ABC8D64已知雙曲線滿足以下條件：雙曲線E的右焦

2、點與拋物線的焦點F重合；雙曲線E與過點的冪函數的圖象交于點Q，且該冪函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點則雙曲線的離心率是（ ）ABCD5已知滿足，,則在上的投影為（）ABCD26如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（ ）ABCD7平行四邊形中，已知，點、分別滿足，且，則向量在上的投影為（ ）A2BCD8將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數為偶函數，則的值為（）ABCD9已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為( )ABCD10一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現隨機等可能取

3、出小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為，則（ ）A，B，C，D，11函數（或）的圖象大致是（ ）ABCD12已知向量，且與的夾角為，則（ ）AB1C或1D或9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13點P是ABC所在平面內一點且在ABC內任取一點，則此點取自PBC內的概率是_14若變量，滿足約束條件，則的最大值為_15的展開式中，的系數為_（用數字作答）.16高三（1）班共有56人，學號依次為1，2，3，56，現用系統抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為 三、解

4、答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）本小題滿分14分）已知曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為（為參數），求直線被曲線截得的線段的長度18（12分）在直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為、，與直線的交點為，求線段的長.19（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數).以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為()，將曲線向左平移2個單位長度得到曲線.（1）求曲線的普通方程和極

5、坐標方程；（2）設直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.20（12分）已知函數.（1）若函數，求的極值；（2）證明：. （參考數據： ）21（12分）已知函數是自然對數的底數.（1）若，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.22（10分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，求直線的斜率.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據兩個函數相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所

6、以函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象及給值求角，側重考查數學建模和數學運算的核心素養.2C【解析】利用對數函數，指數函數以及正弦函數的性質和計算公式，將a，b，c與，比較即可.【詳解】由，所以有.選C.【點睛】本題考查對數值，指數值和正弦值大小的比較，是基礎題，解題時選擇合適的中間值比較是關鍵，注意合理地進行等價轉化.3D【解析】作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，從而可求出，進而可求得，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離【詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，所以在中，所以，

7、所以，在中，所以，所以，所以 解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題4B【解析】由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數為,設出切點通過導數求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率【詳解】依題意可得，拋物線的焦點為，F關于原點的對稱點；，所以，設，則，解得， ，可得，又，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數解析式,直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.5A【解析】根據向量

8、投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影，屬于基礎題.6A【解析】作于,于,分析可得,再根據正弦的大小關系判斷分析得,再根據線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選：A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據題意確定角度的正弦的關系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.7C【解析】將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，

9、得，則向量在上的投影為.故選：C.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.8D【解析】利用三角函數的圖象變換求得函數的解析式，再根據三角函數的性質，即可求解，得到答案【詳解】將將函數的圖象向左平移個單位長度，可得函數又由函數為偶函數，所以，解得，因為，當時，故選D【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及三角函數的性質的應用，其中解答中熟記三角函數的圖象變換，合理應用三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題9B【解析】根據焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結合焦點坐標求解.【詳解】雙曲線與的漸近線相同，

10、且焦點在軸上，可設雙曲線的方程為，一個焦點為，故的標準方程為.故選：B【點睛】此題考查根據雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.10B【解析】分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【詳解】可能的取值為；可能的取值為，故，.，故，,故，.故選B.【點睛】離散型隨機變量的分布列的計算，應先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區別.11A【解析】確定函數的奇偶性，排除兩個選項，再求時的函數值，再排除一個，

11、得正確選項【詳解】分析知，函數（或）為偶函數，所以圖象關于軸對稱，排除B，C，當時，排除D，故選：A【點睛】本題考查由函數解析式選擇函數圖象，解題時可通過研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等，研究特殊的函數的值、函數值的正負，以及函數值的變化趨勢，排除錯誤選項，得正確結論12C【解析】由題意利用兩個向量的數量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.【點睛】本題主要考查兩個向量的數量積的定義和公式，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設是中點，根據已知條件判斷出三點共線且是線段靠近的三等分點，由此求得，結合幾何概型求得點取自三角

12、形的概率.【詳解】設是中點，因為，所以，所以三點共線且點是線段靠近的三等分點，故，所以此點取自內的概率是故答案為：【點睛】本小題主要考查三點共線的向量表示，考查幾何概型概率計算，屬于基礎題.14【解析】根據約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數形結合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示： 將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規劃中最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數形結合的方式可求得結果

13、.1560【解析】根據二項式定理展開式通項，即可求得的系數.【詳解】因為，所以，則所求項的系數為.故答案為：60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應用，指定項系數的求法，屬于基礎題.1620【解析】根據系統抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42號為第三組，43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號，所以還有一個同學應該是15+6-1=20號,故答案為20.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17【解析】解：解：將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，即，它表示以為圓心，2為半

14、徑圓， 4分直線方程的普通方程為， 8分圓C的圓心到直線l的距離，10分故直線被曲線截得的線段長度為14分18（1）（2）【解析】（1）首先將參數方程轉化為普通方程再根據公式化為極坐標方程即可；（2）設，由，即可求出，則計算可得；【詳解】解：（1）圓的參數方程（為參數）可化為，即圓的極坐標方程為.（2）設，由，解得.設，由，解得.，.【點睛】本題考查了利用極坐標方程求曲線的交點弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19（1）的極坐標方程為，普通方程為；（2）【解析】（1）根據三角函數恒等變換可得， ，可得曲線的普通方程，再運用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為，利用極坐標與平面直角坐標互

15、化的公式可得方程；（2）法一：將代入曲線的極坐標方程得，運用韋達定理可得，根據，可求得的范圍；法二:設直線的參數方程為(為參數，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，運用韋達定理可得，根據，可求得的范圍；【詳解】（1）， ，即曲線的普通方程為，依題意得曲線的普通方程為，令，得曲線的極坐標方程為；（2）法一：將代入曲線的極坐標方程得，則，異號，；法二:設直線的參數方程為(為參數，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，則，異號，.【點睛】本題考查參數方程與普通方程，極坐標方程與平面直角坐標方程之間的轉化，求解幾何量的取值范圍，關鍵在于明確極坐標系中極徑和極角的幾何含義，直線的參數方程，參數的幾

16、何意義，屬于中檔題.20（1）見解析；（1）見證明【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（1）問題轉化為證exx1xlnx10，根據xlnxx（x1），問題轉化為只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），根據函數的單調性證明即可【詳解】（1），當，當，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1exx1即證exx1xlnx10，先證明lnxx1，取h（x）lnxx+1，則h（x），易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+）遞減，故h（x）h（1）0，即lnxx1，當

17、且僅當x1時取“”，故xlnxx（x1），exx1xlnxex1x1+x1，故只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），則k（x）ex4x+1，令F（x）k（x），則F（x）ex4，令F（x）0，解得：x1ln1，F（x）遞增，故x（0，1ln1時，F（x）0，F（x）遞減，即k（x）遞減，x（1ln1，+）時，F（x）0，F（x）遞增，即k（x）遞增，且k（1ln1）58ln10，k（0）10，k（1）e18+10，由零點存在定理，可知x1（0，1ln1），x1（1ln1，1），使得k（x1）k（x1）0，故0 xx1或xx1時，k（x）0，k（x）遞

18、增，當x1xx1時，k（x）0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x1），由k（x1）0，得4x11，k（x1）1+x11（x11）（1x11），x1（1ln1，1），k（x1）0，故x0時，k（x）0，原不等式成立【點睛】本題考查了函數的單調性，極值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，考查轉化思想，屬于中檔題21（1）減區間是，增區間是；（2），證明見解析.【解析】（1）當時，求得函數的導函數以及二階導函數，由此求得的單調區間.（2）令求得，構造函數，利用導數求得的單調區間、極值和最值，結合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），又，所以在單增， 從而當時，遞減，當時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當時，所以當時，有一個極值點，當時，有兩個極值點，當時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設，得，因為在遞減，且，所以又所以【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間，考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.22（1）（2）0【解析】（1）根據題