1、PAGE PAGE 8高考大題專項練六高考中的概率、統計與統計案例1.(2021全國)甲、乙兩臺機床生產同種產品,產品按質量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產品的質量,分別用兩臺機床各生產了200件產品,產品的質量情況統計如下表:機床產品質量總計一級品二級品甲機床15050200乙機床12080200總計270130400(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k0)0.0500.0100.001k03.

2、8416.63510.8282.某工廠為提高生產效率,開展技術創新活動,提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產方式,第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高?并說明理由.(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表:生產方式是否超過m總計超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式總計40(3)根據(2)中的列聯表,能否在犯錯誤的概率不

3、超過0.010的前提下認為兩種生產方式的效率有差異?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.8283.11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分.當某局打成1010平后,每球交換發球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩名同學進行單打比賽,假設甲發球時甲得分的概率為0.5,乙發球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方1010平后,甲先發球,兩人又打了X個球該局比賽結束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.4.(2021新高考)某學校組織“一帶一路”知

4、識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答哪類問題?并說明理由.5.某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需

5、了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統計量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.(1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y關于x的回歸方程;(3)已

6、知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(2)的結果回答下列問題:當年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?當年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?附:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.6.為了監控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(,2).(1)假設生產狀態正常,記X表示一天內

7、抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數,求P(X1)及X的數學期望;(2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查.試說明上述監控生產過程方法的合理性;下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,其中xi為抽取的第

8、i個零件的尺寸,i=1,2,16.用樣本平均數x作為的估計值,用樣本標準差s作為的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查?剔除(-3,+3)之外的數據,用剩下的數據估計和(精確到0.01).附:若隨機變量Z服從正態分布N(,2),則P(-3Z6.635.所以在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異.2.解(1)第二種生產方式的效率更高.理由如下:由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘,用第二種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.由莖

9、葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘,用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多,關于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多,關于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同,故可以認為用第二種生

10、產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少.因此第二種生產方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可.(2)由莖葉圖知m=79+812=80.列聯表如下:生產方式是否超過m總計超過m不超過m第一種生產方式15520第二種生產方式51520總計202040(3)因為k=40(1515-55)220202020=106.635,所以在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為兩種生產方式的效率有差異.3.(1)證明X=2就是1010平后,兩人又打了兩個球該局比賽結束,則這兩個球均由甲得分或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1

11、-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)解事件“X=4且甲獲勝”,就是1010平后,兩人又打了4個球該局比賽結束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.4.解(1)X=0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2=15,P(X=20)=0.8(1-0.6)=4525=825,P(X=100)=0.80.6=4535=1225.所以X的分布列為X020100P158251225(2)若小明先回答A類問題,期望為E(X).則E(X)=015+20825+1001225=2725.若小明先

12、回答B類問題,Y為小明的累計得分,Y=0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4=25,P(Y=80)=0.6(1-0.8)=3515=325,P(Y=100)=0.60.8=3545=1225.E(Y)=025+80325+1001225=2885.因為E(X)E(Y),所以小明應選擇先回答B類問題.5.解(1)由散點圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w=x,先建立y關于w的線性回歸方程.因為d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-dw=563-686.8=100.6,所以y關于w的線性

13、回歸方程為y=100.6+68w,因此y關于x的回歸方程為y=100.6+68x.(3)由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預報值y=100.6+6849=576.6,年利潤z的預報值z=576.60.2-49=66.32.根據(2)的結果知,年利潤z的預報值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以當x=13.62=6.8,即x=46.24時,z取得最大值.故當年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.6.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(-3,+3)之內的概率為0.9973,從而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率為0.0027,故XB(16,0.0027).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9973160.0423.X的數學期望為E(X)=160.0027=0.0432.(2)如果生產狀態正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0027,一天內抽取的16個零件中,出現尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0423,發生的概率很小.因此一旦發生這種情況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監控生產過程的方法是合理的.由x=9.97,s0.212,得的估計值為=9.97,的估計值為=0.212,由樣本數據