1、江蘇省蘇州市2019屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試題一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置 上.)1.已知集合 A= X 0 x 2 , B= xx 1 ,則 AI B=.答案:(1 , 2)考點(diǎn)：集合的運(yùn)算解析： 0 X 2,x 1 1x2. AI B= (1 , 2)a i2.設(shè)i是虛數(shù)單位，受數(shù) z 的模為1,則正數(shù)a的值為2i答案：3考點(diǎn)：虛數(shù) TOC o 1-5 h z a i1a斛析：z i,因為復(fù)數(shù)z的模為1,2i22 1 a2l所以1,求得a= 33 .443.為了解某團(tuán)戰(zhàn)士的體重情況，采用隨機(jī)抽樣的方法.將樣本體重數(shù)據(jù)整理后，畫出了如 圖所示

2、的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個小組頻率之比為1: 2: 3,第二小組頻數(shù)為12,則全團(tuán)共抽取人數(shù)為 .考點(diǎn)：頻率分布直方圖解析：1 5 (0.0375 0.0125) 0.7512 (0.75 2) = 486.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 k的值為答案：7考點(diǎn)：算法初步解析：s取值由3一9一45,與之對應(yīng)的k為3一5一7,所以輸出k是7.1所表.設(shè)x -1,1, y -2, 2,記“以(x, y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在不等式 x2 y2 示的平面區(qū)域內(nèi)”為事件 A,則事件A發(fā)生的概率為 .答案：18考點(diǎn)：幾何概型解析：設(shè)事件 A發(fā)生的概率為 P, P=8 = 188sin A cosC.

3、已知 ABC的三邊a, b, c所對的角分別為 A, B, C,若ab且sn cos a b答案：一2考點(diǎn)：三角函數(shù)與解三角形sin AcosCsin A cosCC都是斛析：因為 ,所以 ,則 sinB = cosC,由 a b,則 B,a bsin A sinB銳角，則B+ C=萬，所以A=萬.1.已知等比數(shù)列an滿足a1 -,且a2a4 4( a3 1),則a5 =.答案：8考點(diǎn)：等比中項 解析：: a2a4 4(a3 1)2一 a34(a3 1),則 a3 = 2一 a52a3ai22 T28.已知函數(shù)f(x)2x2, x 1lOga(X 1), X,若f f (0) 2,則實數(shù)a的值

4、是 1考點(diǎn)：分段函數(shù)解析：: f (0) 20 ff(0)f(3) loga2log a 2 29.如圖，在一個圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓cm答案 考點(diǎn) 解析4圓柱、球的體積設(shè)此圓柱底面的半徑是432得：3 r 8 r3解得：r = 42 八r 6r2210.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)A, F分別為橢圓C:二a2 b21 (ab0)的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓C于巳Q兩點(diǎn)，線段AP的中點(diǎn)為M,若Q, F,M三點(diǎn)共線，則橢圓 C的離心率為入 1答案：-3柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，則此圓柱底面的半徑是考點(diǎn)：橢圓的離心率

5、解析：設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左頂點(diǎn),1 _由題意知 AM/ BQ 且A隹 BQ2AM AF 皿 1 a c-，則一BQ BF 2 a c，mrr1求得a= 3c,即e=-.311.設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x ) ,右 X1 X20 ，且 f(x)f(X2)0 ,則X2X1的取值范圍是.答案：(萬， )考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析：不妨設(shè)X1 0 X2,則X2X|X2 X1 ,由圖可知X2 X|0 ( 3)22 .已知圓C: (x 1) (y 4)10上存在兩點(diǎn)A, B, P為直線X= 5上的一個動點(diǎn)，且滿足API BP,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)取值范圍是 .答案:2 , 6考點(diǎn)：圓的方程解析：要使AP BP,

6、即/ APB的最大值要大于或等于 90 ,顯然當(dāng)PA切圓C于點(diǎn)A, PB切圓C于點(diǎn)B時，/APB最大，此時/ CPA最大為45則sin / CP屋:2 ,即若互,設(shè)點(diǎn)P(5, 2y/，解得uuu uur uuui2BC ,則 PC PAuuur.如圖，已知P是半彳仝為2,圓心角為 鼻的一段圓弧AB上一點(diǎn)，AB的最小值為答案：5- 2,13考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積uur uuu uuuT2解析：取AC中點(diǎn)M由極化恒等式得 PC PA PM1 uuir2AC4uuuT2 9 uuuPM -,要彳PC4uuuPA取最小值，就是PM最小，當(dāng)圓弧AB的圓心與點(diǎn)P、M共線時，PM有最小值為2 -.132uur

7、 uuu代入求得PC PA的最小值為5 -2713 .14.已知實數(shù)a, b, c滿足e2b ce2b（e為自然對數(shù)的底數(shù)）b2的最小值是答案:考點(diǎn):解析:設(shè) u(x)ex (x1),u (x)可知u(x) u(0)0,即可知ea2b ce2b c2b1,當(dāng)且僅當(dāng)2b取等;即ea2bea 2b2bc 1 0.解得b2(c 1)2415 ,當(dāng)且僅當(dāng)c1一時，取5二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.（本小題滿分14分）r已知向量a = （sinr,cos 2sin ) , b = (1 , 2).r(1)若 a /si

8、n cos1 3cos2的值;r(2)若 a0V解；(1)因為同8,所以2底ind = cos日 inH .于是4sind = cos&；3分當(dāng)2S。=0時，siti0=0 ,與田門日+ 89 = 1矛盾，所以8旨。,0,t : u* 皿- - :1 a s tn bk a ji j a ai u ji a ai&siii n j a. * a at a ， TOC o 1-5 h z 4所以 sin8co。區(qū)inH ccsS lanf?47 分1 t3cos26 sin2+ 4cos2 9 tan*+ 4 65(2)由mMb|知.sinH+(co&曰- 2idnHy = 5 目R 1-4si

9、ncus9 十 4sin,日=5 , 9分從而一2sin28* 2(1-cos笫)= 4 ,即 sin2日 * cos2) = 1 ,于是咨in(2h) = - - + 2 分42又由 03幾知， 25 + - j 444所以29+工二更或294m二女.因此療二孑或8二羽. 14分444424.(本小題滿分14分)如圖，四棱錐 P ABCDW底面ABCD平行四邊形，平面 PBDL平面 ABCQ PB= PD, PAPC, CDL PC, O, M分別是BD, PC的中點(diǎn)，連結(jié) OM(1)求證：OM/平面PAD(2)求證：OML平面PCD證；(1)連結(jié)WC在平行四邊形乂以第中,因為。是8D中點(diǎn),

10、所以行是dC中點(diǎn).又M 為PC中點(diǎn).所以。材尸/. 3分又OM r平面PAD , PA u平面,所以QA，V平面.6分(2)連結(jié)打人因為產(chǎn)產(chǎn)。旦。是F。中點(diǎn)，所以P01BD.又因為平面P8DC平面ABCD = BD.平面P&D _L平面5C力，PCu平面戶8D1 所以P0 1甲而A BCD ,9分 又因為C0u平面43cD,所以COLP?.又 CD 工 PC POCPC = P, POu 平面 P/C, PCu 平面 PAC.所以C7?_L平面PdC. 11分乂 OMu平面己4C一 所以O(shè)A/LCD.在平面P4C中,由(I) nOM / PA.又 21，PC,所以 QWLPC.乂 CDC FC

11、 =C . PC u 平面 PCD , CD 匚平面 PCD , 所以O(shè)M J,平面P(T) . 74分.(本小題滿分14分)x2 y210但已知橢圓C： 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 R, F2,離心率為一，P是橢ab2圓C上的一個動點(diǎn)，且 PF1F2面積的最大值為 限.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)斜率不為零的直線 PF2與橢圓C的另一個交點(diǎn)為 Q且PQ的垂直平分線交y軸于點(diǎn)T(0 , 1),求直線PQ的斜率.8M m 因為橢圓離心率為工，當(dāng)尸為c的短軸頂點(diǎn)時，/牛的面積有最大 T 1 3值6C 1一二二f/j - 7a 2 -2 H TOC o 1-5 h z 所以所以 = 6.故

12、橢圓C的方程為：: + ? =7分x 2c x8=石.F .(2)設(shè)有線PQ的方程為j，= 4-】).當(dāng)人關(guān)。時，=*a-i)代入三十二二1.43設(shè)P(孫必),01工”/)，設(shè)段P0的中點(diǎn)為Ng,/)，8分】0分得：(3 + 4Jt; )xa -+ 4AJ - 12 = 0 . 6分二 3# _1因為TAUPQ,則勺勺=-1,所以9需二-14a -4/+3化簡得4-8上+ 3=0,解得*=或*=?,即克線尸。的斜率為,或3.74分2)18.(本小題滿分16分)如圖為一塊邊長為 2km的等邊三角形地塊 ABC為響應(yīng)國家號召，現(xiàn)對這塊地進(jìn)行綠化 改造，計劃從BC的中點(diǎn)D出發(fā)引出兩條成60角的線段D

13、E和DF,與AB和AC圍成四邊形 區(qū)域AEDF在該區(qū)域內(nèi)種上草坪，其余區(qū)域修建成停車場，設(shè)/BDE=.(1)當(dāng) =60。時，求綠化面積；(2)試求地塊的綠化面積 S()的取值范圍.解：(1)當(dāng)a = 60。時，DEHAC , DFUAB ,四邊形/ED是平行四邊形，4BDE和/)均為邊長為1km的等邊三角形.面積都是立km二4所以綠化面積為立x22-2x3 = km2. 4分442(2)由題苞知，30a90,在 ABDE 中,NBED = l20；a .由正弦定理得匹二，所以8E= . a_,sin a sin(l 20 - a)sin(120 一 a)在CO/7 中，ZCDF= 120 CF

14、D = a .由正弦定理得一 =一,所以b= sin)二)，sin a sin(!20-a)sin a所以8E + 6%而言sin?(12O-a) + sin2 asiim sin(120o-a) TOC o 1-5 h z z1 、2 25 . 2332( cos a + sina) +sin a sin a + sinacosa+ cos a22_424小 、-6 1 . 2sma( cosa + sina)sinacosa+ sin a2222-(sin: or + cos:a)= l + -=4V3 . J . z sin a cos a + sin a3_4sin 2a + (1 -

15、cos 2a)44II分. 31=I + -2 sin(2a-3O)+ -2所以 S(a) = Sw - sBDf： - SdCDF 小當(dāng)曲b)= -n/3- -!-(30a90),48 sin(2tz-3O) + i當(dāng)30va90。時，302-30150, sin(2or 30) W 1 . 1 sin(2cr - 30) + Ar工2t 360, y指-S- ), 所以 sg) W ,3sin(2a-300)+522答：地塊的綠化而枳5S）的取他范因是14分19.（本小題滿分16分）數(shù)列an的前n項和記為 4,且A= n（a1 an）,數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列,2它的前n項和記為B.若

16、aibi0,且存在不小于 3的正整數(shù)k, m使ak bm.(1)右 a11, a35 ,求 a2;（3） 說明理由.（2）證明：數(shù)列 an為等差數(shù)列;若q=2,是否存在整數(shù)ml k,使A=86Bm,若存在，求出 mj k的值；若不存在,解士 ( 1 )當(dāng)n n 3 時* 4 =+ % + M = 3(因為口二L5二5 ,所以%二3兩式相減,得4MW T f-+ 即(“ - 1-+ 四=0, TOC o 1-5 h z 所以川%lS + IMz +4 =0, 兩代相戰(zhàn).得2% = %+風(fēng)心,所以數(shù)列仃力為等冷數(shù)列，X分（3）依題意*為=/2工 由4 H加叫得：幺衛(wèi)都一/ nWJ彳Er|2I -f

17、l即!- xk = 86x112/X64x86-A10分所以344一心就因為2 = 512,且陽3.所以2W/H-1W9,乂困為516 = 4x129 = 4x3x43 , IL2 1+ 1為奇數(shù)，-12分所以+ 1 = 129時,皿一是整數(shù)，此時- 1 = 7所以州=8. k = 340. 16分20.(本小題滿分16分)若函數(shù)f(x) g(x)和f(x) g(x)同時在x= t處取得極小值，則稱 f(x)和g(x)為一對“ P(t)函數(shù)”.(1)試判斷f(x) x與g(x) x2 ax b是否是一對 P(1)函數(shù)”；(2)若f (x) ex與g(x) x2 ax 1是一對“ P(t)函數(shù)”

18、.求a和t的值；若a0,若對于任意x 1 ,),恒有f (x) g(x) m f(x)g(x),求實數(shù)m的取值范圍.解；令九(#) = /(幻+AjAr) = /(x) g(x).()則九(x) = 2.v + 7 + lt h式工 = 3x + 2ax + b *因為 f(x) = x 4 g(x) = / + # + 是一對“ P(l)函數(shù)”，所以H(d= 所以也=21 + 3” = 0,此時，因/;；(/) = 3/- 6五+ 3 = 3(工一】90 *包(k)無極小值* 故/ (#)=工與g(x) - x-ax +b不是一對P(I)函數(shù): *4分C2) 0 1 4。)=4, +/ +

19、ar + I .= el (x + (j.v 4 I).r(x) = e +2x+a .+ a + 2)x + a+1 = e* (x+lX-t+a +1)若 f(x)=。工與 g(x) =+ ar + l 是一對Pt函數(shù),由 A/(4) = e(4+】)(1+口+ D = 0，存 #=_】* Xj = -o l f 6分l若則有X(一口 - 1)fl 1(fl - 1,-1)-1h式用+00十11:/極大值極小值/因為幺1在上=I處取得微小修，所以，=-1,從而 A/(-l) =c 1 - 2 + 0=0, h = 2. e絆嗡證知M=cf+(2-1)# +1在工=-1處取得極小件 所以c二

20、一12當(dāng)0時.則有X(-00,-1)1(-1,-口 -1)一1 一 1(-l,+oo)h: V)+00十z極大值極小值/因為網(wǎng)在k = f處取得極小值，所設(shè)，二】；從而九（一口 -1） = e u-, a 2 = 0 1令 M（j） = c J 1 - - 2S（J 0 如口）在（-co, 0）是減函數(shù).且4- 1） = 0,所以二一1經(jīng)聆證知加（t）=u +工：一工+ 1隹t = 0處取得極小值, 3當(dāng)“=0時，%h = U（T + l20,生（外是增函數(shù)，無極小值，與題設(shè)不符.綜上所述： e或1 12分b = -i 一因為“ o gU) o t故不等式 /-(a) 4- g(x) W -等

21、價于：一 +一 + 1 , 6分附加題21.【選做題】本題包括 A, B, C三小題，請選定其中兩小題作答，若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步A選修4-2 :矩陣與變換變換是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是變換對應(yīng)用的變換矩陣是求曲線的圖象依次在變換的作用下所得曲線的方程0 T214A解二旋轉(zhuǎn)變換購陣A/尸 *3分設(shè)是變換后曲線上任一點(diǎn).號之時應(yīng)的變換前的點(diǎn)是I 0:則也就是w%即代入行 + yj =】* 得./ + (y-x): = 11所以所求曲線的方程是/ _ 2av + 21-=I -10分r-B.選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy

22、中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為設(shè)點(diǎn) P是曲線上的動點(diǎn)，求P 到直線l距離的最大值.解. 亢線+ y = 4。，一3分血卜 m, 13 sin a + VIcos-4-731工小 TOC o 1-5 h z 班r(cosez,sinct) 一 d 二 5 分2忌皿喏Ia癢4上L3 _3V38 aT22frIT2當(dāng)且僅當(dāng)。+上=2后r - P,即4=2Af-二7T時取“二、62310分P到百線/距離的最大值為34.C.選修4-5:不等式選講已知函數(shù)若存在實數(shù)x,使不等式 成立，求實數(shù)m的最小值，解：由不等式第- g(.r)孑/(x) +i R)可得

23、TOC o 1-5 h z m |x - 21 + |x +1 m (|x-2|+|l|) p 3 分v|.r- 2| + |x+ I |x- 2 -(x +1) = 3.:.住 3 , 8 分故實數(shù)rti的最小值是3. *0分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.解答時應(yīng)寫出文 字說明、證明過程或演算步驟.(本小題滿分10分)在四棱錐 PAM正三角形，且平面 PADL平面ABCD. 求二面角P-EC-D的余弦值；(2)線段PC上是否存在一點(diǎn) M使得異面直線DMff口 PE所成的角的余弦值為若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由22.解:設(shè)d是月心中點(diǎn)，丹為正三角形, 則PO1 AD .平面PAD，平面A BCD.PO1 ABCD , 乂 v AD = AE = 2 , ZPJS = 6(),所以為止三角形， OE1 AD .建立.如圖所示空間內(nèi)地坐標(biāo)系 0 D二.則PO,O.6).E(O,VIo), a-2.VIo.a-Lo.o).于是尸3 = (-2.JI-7i),產(chǎn)后二 6,75), TOC o 1-5 h z DP T I分( I)設(shè)平面PEC的法向一為=5七)，由麗百=0,死后=0得一個法向量為1 =(0,LD，平面EDC的一個法向量:為后=(0.0/)， 3分我一面角P 。的平面角為H,則I COE k cos|=-