1、萬有引力與航天章末復習基礎知識自主鞏固.開普勒行星運動定律開普勒第一定律（軌道定律）所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒第二定律（面積定律）對任個行星來說，它與太陽的連線在相 等的時間內掃過相等的面照_開普勒第二定律（周期定律）所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等.萬有引力定律（1）內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m和m的乘積成正比,與它們之間距離r的二次方成反比。（2）公式：F= Gmm2,其中 G= 6.67X10 11 N- m2/kg ：叫引力常量。（3）適用條件公式適用于質點

2、間的相互作用。當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點；r為兩物體間的距離。小題練手.關于行星運動的規律，下列說法符合史實的是（）A.開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規律.開普勒在天文觀測數據的基礎上，總結出了行星運動的規律C.開普勒總結出了行星運動的規律，找出了行星按照這些規律運動的原因D.開普勒總結出了行星運動的規律，發現了萬有引力定律 TOC o 1-5 h z r /網、,一一一-“A 口（.對于萬有引力的表達式r ,下列說法正確的是I A.兩物體 :和所受引力總是大小相等的B.當兩物體間的距離r趨于零時，萬有引力無窮大C.當有第三個物體%入%之間時，1和間

3、的萬有引力將增大D.兩物體 :和所受的引力性質可能相同，也可能不同.（多選）1798年，英國物理學家卡文迪許測出引力常量G,因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質量的人。若已知引力常量 G地球表面處的重力加速度 g,地球半徑 R地球上一個晝夜的時間 Ti（地球自轉周期），一年的時間T2（地球公轉周期），地球中心到月球中心的距離Li,地球中心到太陽中心的距離L2o你能計算出（）A.地球的質量-曰4兀2片B.太陽的質重 m= gt2C.月球的質量4 兀 2Li32-GTD.月球、地球及太陽的密度.三種宇宙速度A宇宙速度（環繞速度）V1 = 7.9 km/s ,是人造地球衛星的最小發射速度，也是物體在地

4、面附近繞地球做勻速圓周運動的速度第二宇宙速度 （脫離速度）V2=11.2 km/s ,是物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度第三宇宙速度 （逃逸速度）V3= 16.7 km/s ,是物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度.地球同步衛星的特點（1）軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。（2）周期一定：與地球自轉周期相同,即T= 24 h =86 400 s 。（3）角速度一定：與地球自轉的角速度相同。(4)2一mWm 4 % zo圖度一te：據 m,r得r =3 GMT44 丁r = 4.24 x 10 km ,衛星離地面圖度h= r K3.6 x 104兀 km（為恒量）。,、一，、2 71r.，一

5、（5）速率一定：運行速度 v=p=3.08 km/s（為恒量）。（6）繞行方向一定：與地球自轉的方向一致3,極地衛星和近地衛星（1）極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋。（2）近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地 球的半徑,其運行線速度約為7.9 km/s 。（3）上述兩種衛星的軌道平面一定通過地球的球心小題練手.由于通訊和廣播等方面的需要，許多國家發射了地球同步軌道衛星，這些衛星的（）A.質量可以不同B.軌道半徑可以不同C.軌道平面可以不同D.速率可以不同.（多選）我國已先后成功發射了 “天宮二號”飛行器和

6、“神舟十一號”飛船，并成功地進行了對接試驗，若“天宮二號”能在離地面約360 km高的圓軌道上正常運行，則下列說法中正確的是（）A. “天宮二號”的發射速度應大于第二宇宙速度B.對接前，“神舟十一號”欲追上“天宮二號”，必須在同一軌道上點火加速C.對接時，“神舟十一號”與“天宮二號”的加速度大小相等D.對接后，“天宮二號”的速度小于第一宇宙速度重難突破一、與重力加速度有關的問題g（不考慮地球自轉）.在地球表面附近的重力加速度Mm /口GMmg= GR-，彳g g=R-。.在距地面高h處的重力加速度 g， GMm /曰， GM mg = =1h 2, 付 g =所以-g gR+ h 2H考法1天

7、體表面某高度處的重力加速度問題【典例1】宇航員王亞平在“天宮 1號”飛船內進行了我國首次太空授課,演示了一些完全失重狀態下的物理現象。若飛船質量為 簿距地面高度為h,地球質量為 M半彳至為R引力常量為G,則飛船所在處的重力加速度大小為（）0GMR+ h 2GMmR+ h 2GM考法2天體表面某深度處的重力加速度問題【典例2】假設地球是一半徑為 R質量分布均勻的球體。一礦井深度為d,已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為C.D.考法3天體表面重力加速度與拋體運動的綜合【典例3】若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物

8、體,它們在水平方向運動的距離之比為2 :、/7。已知該行星質量約為地球的7倍，地球的半徑為 R由此可知,該行星的半徑約為（）1A.R7BqRC. 2RD.二、天體質量與密度的估算利用天體表面的重力加速度(1)由Grt= mg得天體質量g和天體半徑RM gRoM M(2)天體管度 p = 5 V 43.兀R 34兀GRG陣gR稱為黃金代換公式。【典例4】假設地球可視為質量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為go,在赤道的大小為g；地球自轉的周期為 T,引力常量為 G地球的密度為A*c 3 兀 gB. GTg0g3兀g。D. 2-GT g方法2 “借助外援”法(T-r)測出衛星繞天

9、體做勻速圓周運動的周期T和半徑r。,Mm 4 712rl 、一一(1)由Gy=m得天體的質量M=23GT (2)若已知天體的半徑R,則天體的密度 pM M 3nV= 4-=gT2r3RkR3 一,.，一 ，、3 兀 , 一(3)若衛星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑 R則天體密度 p =百，可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度。警示(1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質量時，求出的只是中心天體的質量，并非環繞天體的質量。(2)區別天體半徑 R和衛星軌道半徑r,只有在天體表面附近的衛星才有r=R計算天體密度時，體積V= 4兀F3只能用

10、天體半徑Ro3【典例4】“嫦娥一號”是我國首次發射的探月衛星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運行，運行周期為127分鐘。已知引力常量G= 6.67X10 11 Nl- m2/kg：月球半徑約為1.74X103 km。利用以上數據估算月球的質量約為8.1 X101 kg7.4 x 1013 kg方法1 “自力更生”法(g-R)C. 5.4 X1019 kg三、宇宙速度的理解與計算1.第一宇宙速度的推導D. 7.4 X 1022 kgGM2Mm V1萬法一：由 GRr = mR得V1 =7.9 x 103 m/s 。V 2方法二：由 mg=mR得 V1= /gR 7.9X10 3 m

11、/s。第一宇宙速度是發射人造衛星的最小速度，也是人造衛星的最大環繞速度，此時它的運行周期最短，Tmin=2 7t 飛 25 075 s =85 min 。 :g2.宇宙速度與運動軌跡的關系(1) v發=7.9 km/s時，衛星在地球表面繞地球做勻速圓周運動(近地衛星)。(2)7.9 km/s v發v 11.2 km/s時，衛星繞地球運動的軌跡為橢圓。(3)11.2 km/s wv發16.7 km/s 時，衛星繞太陽做橢圓運動。(4) v發16.7 km/s時，衛星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。【典例5】使物體脫離星球的引力束縛，不再繞星球運行，從星球表面發射所需的最小速度稱為第二

12、宇宙速度，星球的第二宇宙速度 v2與第一宇宙速度 vi的關系是v2= 小vi。已知某星球的半徑為地球半徑 的4倍，質量為地球質量 M的2倍，地球表面重力加速度為 g。不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為()C. gR四、衛星運行參量的分析與比較.物理量隨軌道半徑變化的規律r = Rt+ hr2V mrv=GM vc2no r 一 3 =24兀myrT=1,rGM 1-3 - 3 0c 3r3越 I高 越 慢GMma a=一 ar1-2 rGMm 一_ mg= R2 近地時 f GM=gRs.赤道上物體做圓周運動的規律(或者說由萬赤道上的物體隨地球自轉而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支

13、持力的合力充當向心力 有引力的分力充當向心力)，它的運動規律不同于衛星，但它的周期、角速度與同步衛星相等。.利用萬有引力定律解決衛星運動問題的技巧(1) 一個模型天體(包括衛星)的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型。(2)兩組公式22GJ2= m-= mw 2r = m-l-r = mar rTGMm、，mg=下廠(g為天體表面處的重力加速度 )。a、v、3、T均與衛星的質量無關，只由軌道半徑和中心天體質量共同決定，所有參量的比較，最終歸結到半徑的比較。五、衛星變軌問題分析.衛星發射及變軌過程概述人造衛星的發射過程要經過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示。(1)為了節省能量，在赤道上順著地球自

14、轉方向發射衛星到圓軌道I上。(2)在A點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛星做離心運動進入橢圓軌道n。(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓軌道出。.三軌道運行物理量的大小比較(1)速度：設衛星在圓軌道I和山上運行時的速率分別為Vi、V3,在軌道n上過 A點和B點速率分別為Va、Vbo在 A點加速，則 Va Vi ,在B點加速，則 V3VB,又因V1V3,故有Va ViV3Vb。(2)加速度：因為在 A點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是軌道n上經過A點，衛星的加速度都相同，同理，經過 B點時的加速度也相同。Ti、T2、T3,軌道半徑分別為ri、r2(半長軸)、(

15、3)周期：設衛星在軌道I、n、出上的運行周期分別為3 r 一，r 3,由開普勒第三定律 ,=k可知Tiv T2V T3。考法1衛星軌道漸變時各物理量的變化分析【典例6】神舟十一號飛船與天宮二號空間實驗室在太空中自動交會對接的成功，顯示了我國航天科技力量的雄厚。已知對接軌道所處的空間存在極其稀薄的大氣，下列說法正確的是()A.為實現對接，飛船與天宮二號運行速度的大小都應介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間B.如不加干預，在運行一段時間后，天宮二號的動能可能會增加C.如不加干預，天宮二號的軌道高度將緩慢降低D.進入天宮二號的航天員處于失重狀態，說明航天員不受地球引力作用考法2衛星軌道突變前后各物理量

16、的變化分析【典例7】如圖所示，假設月球半徑為的圓形軌道I上運動，到達軌道的 軌道出繞月球做圓周運動，則 (，/ ；Xf L17!月#111J IA.飛行器在B點處點火后，動能增加B.由已知條件不能求出飛行器在軌道n上的運行周期C.只有萬有引力作用情況下，飛行器在軌道n上通過D.飛行器在軌道出上繞月球運行一周所需的時間為R月球表面的重力加速度為goA點點火變軌進入橢圓軌道n ,到達軌道的近月點)飛行器在距月球表面Wj度為3 RB再次點火進入近月B點的加速度大于在軌道m上通過B點的加速度六、雙星問題1,定義：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖所示。2.特點:各自所需的向心

17、力由彼此間的萬有引力相互提供,即誓 =mcoi2ri, 軍=由3 22r2兩顆星的周期及角速度都相同，即Tl = F, 3 1=32兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：ri+2=L.兩顆星到圓心的距離 ri、r2與星體質量成反比，即 m= r2,與星體運動的線速度成反比。 m r i.解決雙星、多星問題，緊抓四點：(i)雙星或多星的特點、規律，確定系統的中心以及運動的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關系，正確計算萬有引力和 向心力。【典例8】質量不等的兩星體在相互間的萬有引力

18、作用下，繞兩者連線上某一定點 O做勻速圓周運動,構成雙星系統。由天文觀察測得其運動周期為T,兩星體之間的距離為r,已知引力常量為G下列說法正確的是()A.3兀雙星系統的平均密度為百B.C.O點離質量較大的星體較遠一44，r3雙星系統的總質量為一亓D.若在O點放一物體，則物體受兩星體的萬有引力合力為零【典例9】雙星系統由兩顆恒星組成， 兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化.若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T,經過一段時間演化后，兩星總質量變為原來的k倍，兩星之間的距離變為原來的n倍，則

19、此時圓周運動的周期為 ()A.B.kTC.D.n_1_【典例I0】20I5年4月，科學家通過歐航局天文望遠鏡在一個河外星系中，發現了一對相互環繞旋轉的超大質量雙黑洞系統，如圖所示。這也是天文學家首次在正常星系中發現超大質量雙黑洞。這對驗證 宇宙學與星系演化模型、廣義相對論在極端條件下的適應性等都具有十分重要的意義。我國今年底也將發射全球功能最強的暗物質探測衛星。若圖中雙黑洞的質量分別為M和M,它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動。根據所學知識，下列選項正確的是A.雙黑洞的角速度之比3 1 ： 3 2=M： MB,雙黑洞的軌道半徑之比ri ：2=M： MC.雙黑洞的線速度之比vi ： V

20、2= M ： MD.雙黑洞的向心加速度之比ai ： a2=M ： M鞏固提升.下列關于開普勒行星運動規律的認識正確的是A.所有行星繞太陽運動的軌道不都是橢圓B.所有行星繞太陽運動的軌道都是圓C.所有行星繞太陽運動軌道的半長軸的二次方跟公轉周期的三次方的比值都相同D.所有行星繞太陽運動軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相同.關于萬有引力定律，下列說法正確的是（）A.牛頓提出了萬有引力定律，并測定了引力常量的數值B.萬有引力定律只適用于天體之間C.萬有引力的發現，揭示了自然界一種基本相互作用的規律D.地球繞太陽在橢圓軌道上運行，在近日點和遠日點受到太陽的萬有引力大小是相同的r廣排網.對

21、于萬有引力定律的表述式，下面說法中不正確的是（）A.公式中G為引力常量，它是由實驗測得的，而不是人為規定的B.當m與伽一定時，隨著r的增大，萬有引力逐漸減小C. m與m受到的引力大小總是相等的，方向相反，是一對作用力與反作用力D.當m與伽一定時，當r趨向于0時，萬有引力無窮大r叫叫4.由萬有引力7E律廠可知，物體在地面上受到地球對匕的萬有引力為F,為使此物體受到F的引力減小到4,此物體距地面的高度應為（ R指地球半徑）A. R B. 2R C. 4R D. 8R5.國務院批復，自2016年起將4月24日設立為“中國航天日”.1984年4月8日成功發射的“東方紅二號”衛星在赤道上空35786km

22、的地球同步軌道上運行.2013年6月11日發射的“神州十號”飛船在離地面高約340km的軌道上做勻速圓周運動.下列判斷正確的是“東方紅二號”衛星的向心加速度大于“神州十號”飛船的向心加速度“東方紅二號”衛星的角速度小于“神州十號”飛船的角速度“東方紅二號”衛星的周期小于“神州十號”飛船的周期“東方紅二號”衛星的向心力小于“神州十號”飛船的向心力6.據報道，科學家們在距離地球20萬光年外發現了首顆系外“宜居”行星。假設該行星質量約為地球質量的6.4倍，半徑約為地球半徑的2倍。那么，一個在地球表面能舉起64 kg物體的人，在這個行星表面能舉起的物體的質量約為（地球表面重力加速度 g= 10 m/s 2）（）A. 40 kgB. 50 k