1、專題2數列江蘇省木瀆高級中學潘振嶸【課標要求】1.課程目標通過數列的教學，使學生認識等差數列和等比數列這兩種數列模型，掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并能利用它們解決一些實際問題通過揭示數列與函數的關系，加深對函數的認識2.復習要求（1）數列：了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊的函數理解數列的通項公式的意義（2）等差數列：理解等差數列的概念；掌握等差數列的通項公式、前n項和的公式，能運用公式解決一些簡單問題能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題.了解等差數列與一次函數的關系（3）等比數列：理解

2、等比數列的概念；掌握等比數列的通項公式、前n項和的公式，能運用公式解決一些簡單問題能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題了解等比數列與指數函數的關系3.復習建議（1）要以等差、等比數列為主，以簡單的一般數列、遞推數列為輔，重點是等差、等比數列的概念、性質及應用（2）處理等差、等比數列問題時，要充分利用等差、等比數列中的基本量（首項、公差、公比等），同時要重視等差、等比數列性質的靈活運用（3）要注重數列與函數、不等式、平面向量、解析幾何等內容的交叉綜合（4）要注重化歸思想的運用能將一般數列、遞推數列化歸為等差、等比數列，然后再用等差、等比數列的概念、性質去解題（5

3、）要注重歸納和類比推理能力的培養，從而提高學生觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括的能力（6）要強化數列模型的應用，注意數學語言、普通語言的理解和轉化【典型例題】例1（填空題）（1）在數列中，則 解析：由得，是等差數列，（2）在等比數列中，若則的值為_解析：由，且得（3）各項都是正數的等比數列的公比，且成等差數列，則的值為 解析：由題設得，即又，所以故（4）一個只有有限項的等差數列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，則 解析：設該數列的公差為，則依題意有， 得，又，從而有（5）已知數列中，則等于_解析：由題得，于是（6）已知的前n項之和 解析：，則（7）已知數列滿足

4、（），且，則的取值范圍是_解析：，所以實數的取值范圍是（8）某地區有1500萬互聯網用戶，該地區某用戶感染了某種病毒，假設該病毒僅在被感染的第1小時內傳染給另外2個用戶，若不清除病毒，則在第22小時內該地區感染此病毒的用戶數為 ()解析：在第22小時內該地區感染此病毒的用戶數為（9）在等差數列中，若它的前n項和有最大值，則使取得最小正數的 解析：設等差數列的公差為，則由題設，由可知，且，故，所以n19（10）在數列中，a1=1，an+1=an+c (c為常數，)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比數列，設bn=，則數列的前n項和Sn 解析：an+1=an+c，a1=1，c為常數，an=1+

5、(n-1)c a2=1+c,a5=1+4c又a1，a2，a5成等比數列，(1+c)2=1+4c，解得c=0或c=2當c=0，an+1=an不合題意，舍去 c=2故an=2n-1Sn=b1+b2+bn = = = 例2 已知數列中，（），數列滿足（）（1）求證：數列是等差數列；（2）求數列中的最大項與最小項，并說明理由解：（1），而（），（）數列是等差數列（2）依題意有，而， 函數在（3.5，）上為減函數，在（，3.5）上也為減函數故當n4時，取最大值3，n3時，取最小值-1例3 某個體戶，一月初向銀行貸款1萬元作為開店啟動資金，每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需要交納所得

6、稅為該月利潤的10%，每月的生活費開支為540元，余額作為資金全部投入下個月的經營，如此不斷繼續，問到這年年底該個體戶還貸款前尚余多少資金？若銀行貸款的年利息為5%，問該個體戶還清銀行貸款后還有多少資金？（參考數據：結果精確到0.1元）解：設第個月月底的余額為元，則，于是還清銀行貸款后剩余資金為答：到這年年底該個體戶還貸款前尚余資金元；還清銀行貸款后還有資金元例4 已知點列，且與向量垂直，其中c是不等于零的實常數，n是正整數 設，求數列的通項公式，并求其前n項和解：由題意得：垂直， ， 當c=1時， 當c1時， 例5 已知數列是首項為，公比為的等比數列，設，數列滿足（1）求數列的前n項和Sn；

7、 （2）若一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍解：（1）由題意知，于是兩式相減得： （2），當n=1時，當當n=1時，取最大值是又，即例6 將數列an中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10記表中的第一列數a1，a2，a4，a7，構成的數列為bn,b1=a1=1 Sn為數列bn的前n項和，且滿足（n2）（1）證明數列成等差數列，并求數列的通項公式；（2）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數當時，求上表中第k(k3)行所有項的和解：（1）由已知，又，所以，即，所以又，所以數列是首項

8、為1，公差為的等差數列，即所以，（2）設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q0 因為所以表中第1行至第12行共含有數列an的前78項，故 a81在表中第13行第三列，因此又所以 q=2記表中第k(k3)行所有項的和為S，則（k3）【新題備選】1在數列，是各項均為正數的等比數列，設（1）數列是否為等比數列？證明你的結論；（2）設數列，的前項和分別為，若，求數列的前項和解：（1）是等比數列 證明：設的公比為，的公比為，則，故為等比數列（2）數列，分別是公差為和的等差數列由條件得，即故對，于是將代入得，從而有所以數列的前項和為2蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六

9、邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖 其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以表示第個圖的蜂巢總數（1） 試給出的值，并求的表達式（不要求證明）；（2）證明：解：（1） 由于因此，當時，有所以又，所以 （2）當時， 所以3已知分別以和為公差的等差數列和滿足，（1）若=18，且存在正整數，使得，求證：；（2）若，且數列，的前項和滿足，求數列和的通項公式；（3）在（2）的條件下，令，且，問不等式 是否對一切正整數恒成立？請說明理由解：（1）依題意， 即， ，當且僅當，即時等號成立，等號不成立原命題成立（2）由得，即，解得，（3）在（2）的條件下，要使成立，只要0成立當

10、時，數列單調減；單調增當正整數時，；當正整數時，；當正整數時，則不等式對一切的正整數恒成立同理，當時，也有不等式對一切的正整數恒成立綜上所述，不等式對一切的正整數恒成立4已知（其中為中的最小值），若數列的通項公式為（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿足，求數列的前項和Sn；（3）求使對一切的恒成立的實數k的取值范圍解：（1）由已知得 ，（2）由（1）及可得，Sn（3）當當當故命題恒成立，由知符合題意的k的取值范圍為【專題訓練】一、填空題1已知等差數列中則n的值為 _ 2在等比數列中，它的前n項和是時，則公比的值為 3已知等差數列的首項是，且從第10項開始比1大，則該等差數列的公差的取值范圍

11、是_4數列an中，a1=2，a2=1，則an= 5等差數列的公差且，則數列的前項和取得最大值時的= 6某人為了購買商品房，從2001年起，每年1月1日到銀行存入a元一年定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款及利息均自動轉存為新的一年定期存款，到2008年1月1日（當日不存只取）將所有的存款及利息全部取回(不計利息稅)，則可取回的錢的總數為 元7若是等差數列，首項，則使前n項和成立的最大正整數n是 8已知數列，前項和，第項滿足，則_ 9設為等差數列的前n項和，若，則= 10依次寫出數列：從第二項起由如下法則確定：如果為自然數且未出現過，則用遞推公式，否則用遞推公式，則 11在數列中

12、，均為正實數，則與的大小關系是 12數列中，若為等差數列，則_13數列滿足，則 14已知是等差數列的前n項和，且，有下列四個命題：（1）；（2）；（3） ；（4）數列中的最大項為其中正確命題的序號是_ 二、解答題 15設是一個公差為的等差數列，已知它的前10項和為，且成等比數列 （1）求證：； （2）求公差的值和數列的通項公式 16設數列的前n項和， （1）求數列的通項公式； （2）記，求數列前n項和 17某企業進行技術改造需向銀行貸款，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增

13、加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（取） 18已知是公差為的等差數列，它的前項和為, （1）求公差的值； （2）若，求數列中的最大項和最小項的值； （3）若對任意的，都有成立，求的取值范圍 19數列滿足， （1）求，的值； （2）是否存在一個實數，使得，且數列為等差數列？若存在，求出實數；若不存在，請說明理由； （3）求數列的前項和 20已知二次函數同時滿足以下兩個條件：不等式的解集有且只有一個元素；在定義域內存在，使得不等式成立設數列的前n項和 （1）求函數的表達式； （2）求數列的通項公式； （3）設，數列的前n項和為，求證： 【專題訓練參考答案】150 2 3 4 55或6 6 787 94 101 11 12 13 14（1）（2） 15解：（1）因成等比數列，故 又是等差數列，于是即，又，（2）由（1）代入上式得， 因此，數列的通項公式為16解：（1）數列的前n項之和當n=1時，當時，而n=1時，滿足，故（2），所以數列的前n項和17解：甲方案獲利：（萬元），銀行貸款本息：（萬元），故甲方案純利：（萬元）乙方案獲利：（萬元），銀行本息和：（萬元），故乙方案純利：（萬元）綜上可知，甲方案更好18解：（1），解得（2），數列的通項公式為函數在和上分別是