1、實變函數(shù)論第四版19世紀末20世紀初形成的一個數(shù)學分支，它的最基本內容已成為分析數(shù)學各分支的普遍基礎。實變 實變函數(shù)論函數(shù)主要指自變量（也包括多變量）取實數(shù)值的函數(shù)，而實變函數(shù)論就是研究一般實變函數(shù)的理論。在微積分學中，主要是從連續(xù)性、可微性、黎曼可積性三個方面來討論函數(shù)（包括函數(shù)序列的極限函數(shù)）。如果說微積分學所討論的函數(shù)都是性質“良好”的函數(shù)（例如往往假設函數(shù)連續(xù)或只有有限個間斷點），那么，實變函數(shù)論是從連續(xù)性、可微性、可積性三個方面討論最一般的函數(shù)，包括從微積分學來看性質“不好”的函數(shù)。它所得到的有關的結論自然也適用于性質“良好”的函數(shù)。實變函數(shù)論是微積分學的發(fā)展和深入。函數(shù)可積性的討論

2、是實變函數(shù)論中最主要的內容。它包括H.L.勒貝格的測度、可測集、可測函數(shù)和積分以及少許更一般的勒貝格斯蒂爾杰斯測度和積分的理論（見勒貝格積分）。這種積分比黎曼積分是更為普遍適用和更為有效的工具，例如微積分基本定理以及積分與極限變換次序。精美的調和分析理論(見傅里葉分析)就是建立在勒貝格積分的基礎上的。此外，還適應特殊的需要而討論一些特殊的積分。例如為討論牛頓萊布尼茨公式而有佩隆積分。由于有了具有可列可加性的測度和建立在這種測度基礎上的積分，導致了與微積分中函數(shù)序列的點點收斂和一致收斂不同的一些新的重要收斂概念的產生，它們是幾乎處處收斂、度量收斂（亦稱依測度收斂）、積分平均收斂等。度量收斂在概率

3、論中就是依概率收斂，且具有特別重要的地位。積分平均收斂在一般分析學科中也是常用的重要收斂。傅里葉級數(shù)理論以及一般的正交級數(shù)理論就是以積分的平方平均收斂為基本的收斂概念。一般正交級數(shù)的無條件收斂問題在實變函數(shù)論中也有所討論。在函數(shù)連續(xù)性方面，實變函數(shù)論考察了例如定義在直線的子集（不必是區(qū)間）上的函數(shù)的不連續(xù)點的特征：第一類不連續(xù)點最多只有可列個，第二類不連續(xù)點必是可列個（相對于的）閉集的并集（也稱和集）的結論；還討論怎樣的函數(shù)可以表示成連續(xù)函數(shù)序列處處收斂的極限，引入半連續(xù)函數(shù)，更一般地是引入貝爾函數(shù)，并討論它們的結構。與研究函數(shù)連續(xù)性密切相關的就是討論各類重要的點集如，更一般的是波萊爾集及其結

4、構。解析集合論就是在深入討論波萊爾集和勒貝格可測集相互關系基礎上形成的一個數(shù)學分支。實變函數(shù)論在函數(shù)可微性方面所獲得的結果是非常深刻的。設()是定義在(，)上的、在每點取有限值的實函數(shù)。對于每個(，)，引入四個數(shù)：，分別稱為()在 處的右方上(下)導數(shù)，左方上(下)導數(shù)。這四個數(shù)（可以是無限大）都相等且有限時，就稱()在處是可導的。歷史上人們曾以為，上任何連續(xù)函數(shù)()都至少有一點是可導的，后來K.（TW）外爾斯特拉斯舉出了一個反例：，式中0。它是連續(xù)的，而在任何一點處都是不可導的。但當儒瓦、W楊和S薩克斯證明了：對（，）上每點取有 實變函數(shù)論限值的實函數(shù)，必有勒貝格測度是零的集，使得對任何，下面三種情況必有一種出現(xiàn)。在處有有限導數(shù)。在處的異側的某兩個導數(shù)是同一個有限數(shù)；另兩個異側導數(shù)必定一個是+，另一個是。兩個上導數(shù)都是+，兩個下導數(shù)都是。由這個定理又可推出如下重要結果：設()是，上單調函數(shù)，那么除去一個勒貝格測度是零的集外，必定存在且有限。在實變函數(shù)論中還考慮可導點集的特征，多元函數(shù)的微分問題以及其他的一些導數(shù)概念和不同導數(shù)之間的關系。實變函數(shù)論不僅應用廣