1、數值分析Numerical Analysis計算的目的不在于數據，而在于洞察事物。 理查德哈明The purpose of computing is insight，not numbers. RichardWesleyHamming(/)第一章 引論一、數值分析的概念、地位和特點1 數值分析的研究對象（課程簡介） 數值分析是研究各種數學問題的數值方法的設計、分析、有關的數學理論和具體實現的一門學科。實際上就是介紹用計算機解決數學問題的計算方法及其理論。這門課程又稱為(數值)計算方法、科學與工程計算等。1. 數值分析的概念數值分析輸入復雜問題或運算 計算機近似解利用計算機高速的簡單運算去實現各種

2、復雜的功能 科學計算 的核心內容是以現代化的計算機及數學軟件（Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）為工具，以數學模型為基礎進行模擬研究。現代科學的三個組成部分: 科學理論, 科學實驗, 科學計算2. 數值分析的地位促使一些邊緣學科的相繼出現：計算數學,計算物理學,計算力學,計算化學,計算生物學,計算地質學,計算經濟學,等等實際問題建立數學模型數值分析提出算法程序設計編程上機計算分析結果并對實際問題進行解釋說明 在建立了數學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數學模型的數值方法，即將數學模型中的連續變量離散化，轉化成一系

3、列相應的算法步驟，編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數值結果。 總的來看，數值分析這門課具有以下幾個特點： (1) 數值分析是一門與計算機應用密切結合的實用性很強的學科； (2) 數值分析這門課程即要討論連續變量問題又要討論離散變量問題，關心的是數值結果；(3) 數值分析這門課程已成為近代數學的一個重要分支，專門研究數學問題的數值解法。3. 數值分析的特點二、數值分析的研究內容和研究方法方法插值問題（Ch2）線性代數方程組的數值解法 (Ch6)非線性方程組的數值解法 (Ch7)數值積分與數值微分 (Ch4)常微分方程的數值解法 (Ch5)函數逼近 (Ch3)矩陣特征值與特征向量的計算問

4、題 (Ch8)研究內容研究方法:1. 數值方法的特點（支撐理論）2. 如何評價數值方法的好壞（評價標準） 遞推性(迭代), 近似代替, 離散化, 外推法 本課程的基本目的，是使大家通過學習和實驗，初步建立并理解數值計算，特別是科學與工程計算的基本概念，為進一步深入的學習打下堅實基礎。誤差、穩定性、收斂性、計算量、存貯量和自適應性 用到的編程語言: MatlabMatlab幾個特點：1 Matlab處理矩陣容易2 Matlab繪圖輕松Matlab編程簡潔Matlab具有豐富的工具箱內容多！任務重！難度大！考試評分： 平時作業+考勤+程序占總成績的30%， 期末考試占總成績的70%，閉卷考試。三、

5、基本要求作業要求： 每周有課外練習，兩周交一次作業， 完成 1個綜合程序課題設計。實際問題建立數學模型確定數值計算方法編制程序上機算出結果2 數值計算的誤差2.1 誤差的來源與分類 用計算機解決科學計算問題時，需要經歷以下幾個環節： 數值結果是指在選擇某種數值方法之后，編制程序正確，輸入初始數據正確的情形下所獲得的結果。 實際問題的精確解與用計算機計算出來的數值結果之間就有差異，這種差異在數學上稱為誤差。 模型誤差 /* Modeling Error */ 從實際問題中抽象出數學模型時產生的誤差 觀測誤差 /* Measurement Error */ 通過測量得到模型中參數的值 導致輸入數據

6、的 誤差 方法誤差 (截斷誤差 /* Truncation Error */ ) 近似求解時產生的誤差 舍入誤差 /* Roundoff Error */ 由于計算機字長有限而在數值運算的每一步所產生的誤差大家一起猜？11 / e解法之一：將 作Taylor展開后再積分S4R4 /* Remainder */取則稱為截斷誤差 /* Truncation Error */| 舍入誤差 /* Roundoff Error */ |= 0.747 由截去部分/* excluded terms */引起由留下部分/* included terms */引起 設 是某實數的精確值, 是它的一個近似值，則

7、稱 為近似值 的絕對誤差，簡稱誤差.2.2 誤差與有效數字定義2.1 絕對誤差、相對誤差定義2.2 絕對誤差界、相對誤差界 若 ，則稱 為絕對誤差界，簡稱誤差界稱 為相對誤差界, 記為 . 稱為 的相對誤差, 常用 表示.定義2.3 有效數字 /* significant digits */用科學計數法，記 （其中 ）. 若 （即 的截取按四舍五入規則），則稱 為有n 位有效數字，精確到 。例：問： 有幾位有效數字？請證明你的結論.證明：有5 位有效數字，精確到小數點后第4位。注：0.2300有4位有效數字，而0.0023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數字

8、. 數字末尾的0不可隨意省去！例: 設 x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值, 問它們分別有幾位有效數字?3位5位4位定理2.1 有效數字與相對誤差的關系 有效數字 相對誤差限已知 x* 有 n 位有效數字，則其相對誤差限為 相對誤差限 有效數字已知 x* 的相對誤差限可寫為則可見 x* 至少有 n 位有效數字。浮點數：36.83=0.3683102=0.03683103這種允許小數點位置浮動的表示法稱為數的浮點形式。機器數 x 的二進制浮點形式為: 2.4 計算機的浮點數表示和舍入誤差計算機所能表示的數系不是一個連續統而是一個特殊的離散集合（部分有理數），此集

9、合的數稱為機器數.尾數階其中，階的位數3 病態問題、數值穩定性與避免誤差危害問題：對于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，將對y 產生什么影響？3.1 病態問題與條件數條件數 /* condition number*/條件數很大時，初始數據的微小誤差可能引起結果 A 的很大誤差. 對數學問題而言，如果輸入數據有微小擾動，引起輸出數據（即數學問題的解）有很大擾動，則稱數學問題是病態問題，否則稱為良態問題。?例1 解3216失之毫厘,差之千里！原因 誤差的傳播與積累3.2 數值方法的穩定性例：計算 公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差? ! !What happened?!考察第n步的

10、誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩定的算法 /* unstable algorithm */迅速積累，誤差呈遞增。可見初始的小擾動 公式注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN ,再反推要求的In ( n N )。可取取 We just got lucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對 n N 有：誤差逐步遞減, 這樣的算法稱為穩定的算法 /* stable algorithm */ 在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的 穩定性會是一個非常重要的話題。定義：一個算法如果輸入數據有擾動（即有誤差），而計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩定的，否則稱此算法為不穩

11、定的。1、 防止兩接近的數相減例: 求下列方程的根解:用 8 位浮點數 (有效數字)計算用 4 位浮數點(有效數字)計算兩接近數相減損失了有效數字數值不穩定的方法仍用4 位浮點數計算數值穩定的方法減法本身完全正確誤差傳播的研究十分重要 是因為求 的誤差(并不大),進行減法后導致不應忽視的后果 準確3.3 避免有效數字損失a1 = 0.12345, a2 = 0.12346,（5位, 而 a2 a1 = 0.00001, 1位有效數字。 幾種經驗性避免方法：當 | x | 1 時：0.4+0.3+0.2+0.1+1234=12351234+0.4+0.3+0.2+0.1=12344位有效數字舍入

12、運算：例：2、 避免出現“大數吃小數”3.4 減少運算次數 例：利用秦九韶算法 (1247)(a) 直接計算每一項再求和： 解： 例3 計算 ln2 的近似值，要求誤差小于10. 解：計算量太大各項的舍入誤差會損失和的有效數字 (b) 用級數 計算用前 9 項（即取 m = 8）計算就能達到精度要求:舍入誤差(a) 用級數 計算一、幾種常用的數學軟件 第三節 數學軟件工具 目前流行的數學軟件主要有以下幾種：符號運算軟件： Mathematica, Maple矩陣處理軟件： Matlab統計處理軟件： SAS, Spss, Origin數學CAD軟件： MathCAD 1、 符號運算軟件：Mat

13、hematica, Maple 一提起計算機求解，人們就會想到數值計算。但隨著符號運算及計算機代數理論的日益成熟，人們又利用計算機來進行符號計算。70年代人們開發了幾個較為成功的通用的計算機代數系統，如Reduce系統和MACSYMA系統。但由于速度慢，開發不方便，因此沒有流行起來。在1988年推出的Mathematica軟件才使得符號運算系統的使用普及起來。在這方面代表性的軟件就是Mathematica和Maple。雖然在Matlab里也有符號計算系統，但它采用的是Maple內核。 1、 符號運算軟件：Mathematica, Maple Mathematica: 美國Wolfram公司出品

14、。1988 年推出第一版版本，剛推出時受到極大好評，New York 時代周刊這樣評論：“the importance of the program cannot be overlooked”，Business Week 把Mathematica列為當年十大最重要的新產品之一。Mathematica在技術界也被作為智力和應用的革命性產品受到極大歡迎。人們常說Mathematica的出現標志著現代技術計算的開始。目前版本為5.0。 1、 符號運算軟件：Mathematica, Maple Maple ：加拿大Mathsoft公司出品。1980年 加拿大Waterloo大學開始研究符號運算系統。取

15、這個名字是為了表明這個軟件是加拿大生產的。目前最新的版本為Maple Release9.5。 Maple功能基本和Mathematica一致。由于這兩個軟件功能相似，因此統一介紹這兩個軟件的功能和特點。 功能：數值計算：初等計算、線性代數計算、數值方法等符號運算：多項式因式分解與展開、微分、積分、級數、數列等。繪圖功能：方便、強大、直觀的二、三維繪圖。 特點：簡單易用的交互式操作方式:兩種軟件都使用英文單 詞來命名函數，非常直觀、易用。對每一個命令都 能給出顯示結果，非常方便。2)功能強大:強大的數值計算功能和威力無比的符號運 算功能。3)結構化的程序設計語言4)Tex輸出格式:Tex是科技文

16、章的一種格式，科技界應 用十分廣泛。 2、 矩陣處理軟件： Matlab簡介： MATLAB的含義是矩陣實驗室,是Matrix Laboratory的縮寫。它的前身是LINPACK（解線性方程）和EISPACK（解特征值問題）的FORTRAN子程序庫。由于它把矩陣當成一個對象，因此編寫程序更加直觀、方便。1984年 正式推出,最新版本為V7.0 Release14. MATLAB具有非常強大和直觀的計算功能，并且由于其有非常好的擴展性能，現在已經成為世界上應用最廣泛的工程計算軟件之一 特點： (1)強大的數值運算功能 在MATLAB環境中，有超過500種數學、統計、科學及工程方面的函數可使用，

17、函數的命名表示自然，使得問題和解答像數學公式一般簡單明了，讓用戶可全力發揮在解題方面，而非浪費在電腦操作上。 (2)數據分析和可視化功能、文字處理功能 MATLAB可以繪制二、三維圖形，與Mathematic和Maple相比，它還能處理光照模型，制作出高品質的圖形。功能十分強大。MATLAB Notebook為用戶提供了強大的文字處理功能，并允許WORD訪問MATLAB的數值計算和可視化結果，制作科學性或工程性圖文并茂的文章. (3)高級、簡單、高效的程序環境 做為一種解釋型的程序語言，MATLAB允許使用者在短時間內寫完程序,所花的時間約為用 FORTRAN 或 C 的幾分之一，而且不需要編

18、譯 (compile) 及 連 接 (link) 即能執行，同時包含了更多及更容易使用的內建功能。 (4)開放及可延伸的架構 MATLAB允許使用者接觸它的大多數的數學源代碼，檢查運算法，更改現有函數，甚至加入自己的函數使 MATLAB成為使用者所需要的環境。 (5)豐富的工具箱 MATLAB的工具箱融合了套裝前軟體的優點，與一個靈活的開放但容易操作之環境，這些工具箱提供了使用者在特別應用領域所需的許多函數。現有工具箱有：符號運算（利用Maple V的計算核心執行）、圖像處理、統計分析、信號處理、通信、線性矩陣不等式、偏微分方程、高階譜分析、財政金融、神經網絡、模擬分析、控制系統、實時控制、小波分析、最優化、模糊邏輯、分析及合成等30多種。 3、數學CAD軟件： MathCAD Mathcad是由MathSoft公司推出的一種交互式數值系統。在輸入一個數學公式、方程組、矩陣之后，計算機能直接給出結果，而無須去考慮中間計算過程。最令人激動的是在加入軟件包自