1、-. z.專題：利用洛必達法則巧解高中數學一定理內容洛必達法則：設函數、滿足：1或； 2在內，和都存在，且；3 可為實數，也可以是.則.【熱身練習】(1) 求 (2) 求 3求解：123二定理應用例1、(06年全國卷II理第20題)設函數。假設對所有的，都有成立，*數的取值*圍。解：當時，顯然成立，則當時，不等式成立即為。令，對求導得令，則，在上為增函數=0，所以0，所以在上是增函數。，所以。綜合上述所知：例3、(06年*卷理第20題)函數，其中為常數。假設，討論函數的單調性；(II) 假設，且試證：2011新例：函數，曲線在點處的切線方程為.求、的值； 如果當，且時，求的取值*圍.略解得，.

2、方法一：分類討論、假設反證法由知，所以.考慮函數，則.(i)當時，由知，當時，.因為，所以當時，可得；當時，可得，從而當且時，即；ii當時，由于當時，故，而，故當時，可得，與題設矛盾.iii當時， ，而，故當時，可得，與題設矛盾.綜上可得，的取值*圍為.注：分三種情況討論：；不易想到.尤其是時，許多考生都停留在此層面，舉反例更難想到.而這方面根據不同題型涉及的解法也不一樣，這是高中階段公認的難點，即便通過訓練也很難提升. 當，且時，即，也即，記，且則，記，則，從而在上單調遞增，且，因此當時，當時，；當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增.由洛必達法則有 ，即當時，即當，且時，.因為恒成立，

3、所以.綜上所述，當，且時，成立，的取值*圍為.注：此題由很容易想到用別離變量的方法把參數別離出來.然后對別離出來的函數求導，研究其單調性、極值.此時遇到了當時，函數值沒有意義這一問題，很多考生會陷入困境.如果考前對優秀的學生講洛必達法則的應用，再通過強化訓練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.例2010新：設函數.假設，求的單調區間；當時，求的取值*圍.應用洛必達法則和導數當時，即.當時，；當時，等價于.記，則. 記，則，當時，所以在上單調遞增，且，所以在上單調遞增，且，因此當時，從而在上單調遞增.由洛必達法則有，即當時，所以當時，所以，因此.綜上所述，當且時，成立.自編：假設不等式對于恒成立

4、，求的取值*圍.解：應用洛必達法則和導數當時，原不等式等價于.記，則.記，則.因為，所以在上單調遞減，且，所以在上單調遞減，且.因此在上單調遞減，且，故，因此在上單調遞減.由洛必達法則有，即當時，即有.故時，不等式對于恒成立.通過以上例題的分析，我們不難發現應用洛必達法則解決的試題應滿足：1可以別離變量；用導數可以確定別離變量后一端新函數的單調性；出現型式子.2010*文21函數.假設在時有極值，求函數的解析式；當時，求的取值*圍.解：應用洛必達法則和導數時，即.當時，；當時，等價于，也即.記，則.記，則，因此在上單調遞增，且，所以，從而在上單調遞增.由洛必達法則有，即當時，所以，即有.綜上所

5、述，當，時，成立.2010全國大綱理22設函數.證明：當時，；設當時，求的取值*圍.解：略應用洛必達法則和導數由題設，此時.當時，假設，則，不成立；當時，當時，即；假設，則；假設，則等價于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調遞增，且，所以，即在上單調遞增，且，所以.因此，所以在上單調遞增.由洛必達法則有，即當時，即有，所以.綜上所述，的取值*圍是.2008例：設函數求的單調區間；如果對任何，都有，求的取值*圍解： 當時，即；當時，即因此在每一個區間是增函數，在每一個區間是減函數 應用洛必達法則和導數假設，則；假設，則等價于，即 則.記，因此，當時，在上單調遞減，且，故，所以在上單調遞減，而.

6、另一方面，當時，因此.1.(2010年全國新課標理)設函數。(1) 假設，求的單調區間； (2) 假設當時，求的取值*圍原解：1時，.當時，；當時，.故在單調減少，在單調增加II由I知，當且僅當時等號成立.故，從而當，即時，而，于是當時，.由可得.從而當時，故當時，而，于是當時，.綜合得的取值*圍為原解在處理第II時較難想到，現利用洛必達法則處理如下：另解:II當時，對任意實數a,均在；當時，等價于令(*0),則，令，則，知在上為增函數，；知在上為增函數，；，g(*)在上為增函數。由洛必達法則知，故綜上，知a的取值*圍為。22011年全國新課標理函數，曲線在點處的切線方程為。求、的值；如果當，

7、且時，求的取值*圍。原解：由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。由知，所以。考慮函數，則。i設，由知，當時，h*遞減。而故當時，可得；當*1，+時，h*0從而當*0,且*1時，f*-+0，即f*+.ii設0k0,故 *0,而h1=0，故當*1，時，h*0，可得h*0,而h1=0，故當*1，+時，h*0，可得 h*0,與題設矛盾。 綜合得，k的取值*圍為-，0原解在處理第II時非常難想到，現利用洛必達法則處理如下：另解：II由題設可得，當時，k=0在上為增函數=0當時，當*1，+時，當時，當*1，+時，在上為減函數，在上為增函數由洛必達法則知，即k的取值*圍為-，0例2、(06年全國卷II理第20題)設函數。假設對所有的，都有成立，*數的取值*圍。解：當時，顯然成立，則當時，不等式成立即為。令，對求導得令，則，在上為增函數，=0，所以0，所以在上是增函數。，所以。綜合上述所知：例3、(06年*卷理第20題)函數，其中為常數。(I) 假設，討