1、4 大學物理實驗91.5測量結果的不確定度估算不確定度的概念一般來說，真值是無法測得的，因此誤差也就無法得到。我們只能通過一定的方法對測 量誤差進行估計，這就需要引入不確定度的概念。不確定度是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，是對被測量的真值所 處的量值范圍的評定。我們在表示完整的測量結果時，除給出被測量Xo的量值(一般用被測量的算術平均值來表示)，還要同時標出測量的總不確定度&寫成x=x0 A ( P = P)(1-11)式中P為置信概率，式(1-11)的含義是：區間(Xo -A,Xo十)內包含被測量X的真值的 可能T是P。為了直觀地評定測量結果，也常采用相對不確定度的概念。用

2、Ur表示相對不確定度，則有Ur =X100%(1-12)Xo根據估計方法的不同，總不確定度可分為兩類分量，一類是可以通過多次重復測量用統 計學方法估算出的 A類分量Aa,另一類是用非統計方法估算出的B類分量Ab。將兩類分量按方和根的方法合成，就得到測量結果的總不確定度： 二 ,Aa2 +42(1-13)1.5.2 A類不確定度分量的估算A類不確定度分量是指可以用統計學方法估算的分量，一般指隨機誤差。具體估算的方 法如下：根據誤差理論，當重復測量次數足夠多時，可求得置信概率為0.95的A類不確定度分量4 =1.96sx(1-14)式中sx是算術平均值的標準偏差。但當重復測量次數較少時，隨機誤差不

3、再符合正態分布。這樣，需對式(1-14)做一個修正。即a =t&(1-15)式中t是由測量次數決定的修正系數，它的取值與測量次數和置信概率有關。置信概率為0.95時，t與不同測量次數n之間的關系如表1-1所示。表1-1t與不同測量次數n的對應關系n23456789101520oot12.74.303.182.782.572.452.362.312.262.142.091.96根據重復測量的次數，從表 1-1中查出相應的t值，就可得到修正后的置信概率為0.95的A類不確定度分量4第1章測量誤差與數據處理的基礎知識51.5.3 B類不確定度分量的估算.儀器誤差測量儀器和量具本身總是存在一定誤差，我

4、們習慣上稱之為儀器誤差，用符號儀表示。它是指儀器在規定條件下使用時，所允許的誤差限值。儀器誤差是一個統稱，對于具體的各類儀器和量具具有不同的表示方式。例如，游標卡尺和螺旋測微計的儀器誤差用示值誤差表示。國家標準規定，量程為 0300mm以下的游標 卡尺，其示值誤差在數值上等于該尺的最小分度值。螺旋測微計分零級、一級和二級3種精度級別，通常實驗室使用的為一級螺旋測微計，其示值誤差隨量程而異。量程為025mm的一級螺旋測微計，示值誤差為M.004mm。對物理天平而言，儀器誤差用指示值變動性誤差來表示天平稱衡結果的可靠程度，這是 由于天平調節、操作、溫差、氣流以及振動等原因，致使重復稱衡時各次平衡位

5、置產生差異。 按規定，合格天平的示值變動性誤差不應大于該天平的最小分度值。對于實驗室常用的 WL-1型物理天平，其誤差限值一般取為0.05g。電表及電阻箱的儀器誤差用準確度等級 K表示。在規定條件下使用電表測量，其示值的 誤差限為電表量程與準確度等級百分數（即K%）的乘積?？梢姡姳淼膬x器誤差大小由電表準確度等級和電表量程二者決定。為可在儀器出廠說明書或儀器標牌上查到，對于精度較低的儀器，A儀可取為其最小分度值 的一半，如米尺的示值誤差為0.5mm。在工業和商業用途上，儀器誤差的置信概率一般為0.9S. B類不確定度分量不能用統計學方法估算的分量為 B類不確定度分量，一般指系統誤差。若不特別說

6、明，則 品4= -1-16CC稱為置信因子，置信概率取 0.95時，C=1.05o1.5.4 直接測量量的不確定度估算及測量結果表示1 .單次直接測量在實際測量過程中，有的被測量是隨時間變化著的，我們無法對其進行重復測量，只能 進行單次測量。還有些被測量，對它們的測量精度要求不高，只要進行單次測量就可以了。在單次測量中，用單次測量值x測作為被測量的最佳估計值。 測量值的不確定度與所用測量儀器的精度、測量者的估讀能力及測量條件等很多因素有關，因此它的合理估計是比較復 雜的。在一般情況下，對隨機誤差很小的測量，可以只估計不確定度的B類分量，用儀器誤差儀作為x測的總不確定度，測量結果表示為*=沖九4

7、儀（1-17）有的測量隨機誤差可能比較大，此時可以估計一個誤差限來作為單次測量的不確定度A例如，用0.1s分度的秒表計時，由于人的感官靈敏度的限制與技術上的不熟練，常常造成“啟6 大學物理實驗9動”和“停止”秒表所用的時間超過0.1s,這必然使測量誤差限超過秒表的儀器誤差限。這時可依據實際情況來估計誤差限，如可取 = 0.2s。又如，用鋼卷尺測量較長的距離，不可能 保證尺子拉直拉平，則可依實際情況取 = 5mm或更大?？傊鶕y量的不同情況以及觀 測者實驗技巧的高低來對單次測量的總不確定度做出估計。2.多次直接測量對多次直接測量的數據 Xi,X2, -Xn進行處理的一般步驟是:n 計算被測量

8、的算術平均值 X =Z X / n ,把X作為被測量的最佳估計值。i 3求出各測量值的殘差 Vi =Xi -Xn V2用貝塞爾公式求出測量列的標準偏差S=1。n1審查測量數據，如發現有異常數據，應予以舍棄。舍棄異常數據后，再重復步驟 ，直至完全剔除異常數據。求出算術平均值的標準偏差SSn,并查表1-1求出總不確定度的A類分量Aa =1Sx 。求出總不確定度 A = JKa+聯表不出最后測量結果 x =X A,U r =二父100%X注：利用計算器的統計計算功能，將多次測量結果輸入后，可直接求得X及S?！纠?-1】有一組以cm為單位的長度測量數據為2.20, 2.25, 2.30, 2.15,

9、2.10, 2.15,2.25, 2.10, 2.20, 2.20, 2.10, 2.15, 2.25, 2.20, 2.20, 2.15, 2.25, 2.20, 2.20, 3.50,據 “3/ 準則判斷其中是否有異常數據需剔除。解：因為測量次數 n10,所以可以用“ 3,準則剔除異常數據。 20 - . x X = = 2.26cm i 土 20根據貝塞爾公式，用標準偏差S代替標準誤差aS = 0.3cm3S =0.9cm根據“3,準則，因為 &0 =1.24cm 3S,所以3.50應舍去。舍去3.50后，再重新計算 測量數據，得XX = = 2.19cmii19S = 0.06cm3S

10、 =0.18cm在這19個數據中，沒有一個數據的殘差大于此3S,所以，根據準則“ 3，這19個數據中沒有異常數據?！纠?-2】用量程為025mm的一級螺旋測微計（儀=0.004mm ）對一鐵板的厚度進行第1章測量誤差與數據處理的基礎知識了 8 次重復測量，以 mm 為單位，測量數據為：3.784, 3.779, 3.786, 3.781, 3.778, 3.782,3.780, 3.778,同時讀得螺旋測微計的零位為+ 0.004mm,請給出完整的測量結果。解：可求得L =3.781mmS =0.0029mm沒有一個數據的殘差大于3S,所以，根據準則“ 3，這8個數據中沒有異常數據，不用剔除。

11、但考慮到零位修正L =3.781 -0.004 =3.777(mm)一 SSL =0.0011mmn查表1-1可知，n=8時，t=2.36,計算得：A類不確定度分量Aa =tSL =0.0025mmB類不確定度分量儀 0 004b = mm = 0.0038mmC 1.05總不確定度l =八2 A + A2b =0.005mm測量結果為L =二、l = 3.777 , 0.005 mmUr 100% =0.13%1.5.5間接測量量的不確定度估算及測量結果表示在很多實驗中，我們進行的測量都是間接測量。因為間接測量量是各直接測量量的函數，所以直接測量量的誤差必定會給間接測量量帶來誤差，這被稱為誤

12、差的傳遞。這樣一來，直 接測量結果的不確定度就必然會影響到間接測量結果，這種影響的大小可以由相應的數學公 式估算出來。.間接測量的不確定度合成公式設間接測量量y是各自相互獨立的直接測量量Xi,&,Xm的函數，其函數形式為y = f (Xi,X2, ，Xm )(1-18)設各直接測量量Xi,X2, Xm的測量結果分別為Xi AXi,X2iX2, - Xm 土加,則間接測量量 y的最佳估計值為y = f (xi,X2, Xm )(1-19)由于不確定度都是微小的量，相當于數學中的“增量”，因此間接測量量的不確定度的計 算公式與數學中的全微分公式基本相同。不同之處是：要用不確定度 ,等替代微分dXi

13、等;要考慮到不確定度合成的統計性質。具體做法如下。大學物理實驗9首先對函數式（1-18）求全微分:dy =dxi + dx2+，+ dxm（1-20）然后用不確定度 如取，跳，&m替代dy, dxi, dx2,dxm并將等式右端進行方和根合成， 得到間接測量量的不確定度方和根合成公式：(1-21)(1-22)(1-23)用不確定度，y,:出，必，4xm替代dy, dx1, 是間接測量量的相對不確定度的方和根合成公式：改2,一，ckm后，再進行方和根合成，得到的(1-24)對于積商形式的函數，為計算方便，可先對函數式（1-18）取對數，得 TOC o 1-5 h z In y =ln f x,x

14、2,xm再對上式求全微分:dy _ f dx1 f d&f dxmy f 乂 ff注意：用式（1-21）式（1-24）估算間接測量量的不確定度時，應使式中各直接測量 量的不確定度具有相同的置信概率。作粗略的不確定度估算時，也可采用間接測量量的不確定度算術合成公式:a句=27 &1+ :網+1+ 再%21y _行及1廿+且y&1f依2 f僅mf (1-25)(1-26)用算術合成公式估算出的間接測量量的不確定度偏大。AR【例1-3】 求函數式（1） N=A+BC和（2） N =里 的不確定度傳遞公式，式中A、CB、C為變量。解：（1）對函數式N=A + B-C求全微分得dN =dA dB -dC

15、用不確定度代替微分，再方和根合成便得到不確定度傳遞公式：二手人2b , ；2CAB（2）因為函數式 N=是積商的形式，所以先對其取對數，可得CIn N =ln A In B -In C再求全微分：第1章測量誤差與數據處理的基礎知識dN dA dB dC一=十_一N A B C用不確定度代替微分，再方和根合成便得到相對不確定度傳遞公式:2.間接測量的數據處理步驟按照直接測量量的數據處理程序求出各直接測量量的結果:X1 =X1 二 Xi,X2 =X2 二 X2, Xm = Xm 二Xm將各直接測量量的最佳估計值代人函數關系式中，求得間接測量量的最佳估計值:y = f Xi,X2, Xm求出間接測量不確定度的方和根合成公式： TOC o 1-5 h z y = /伍加2 ；令m丁一1方f; 同J鬲求出間接測量值的不確定度 表示出最后測量結果y=y 土 Ay, Ur=yxl00%y【例1-4】已測得金屬環的外徑 Di =2.880 0.004cm ,內徑D2 =3.600 0