1、第一章函數與極限第一節函數函數內容網絡圖區間定義域不等式區間定義域不等式定義集合對應法則表格法表達方法圖象法TOCo1-5hz初等函數V解析法非初等函數I單調性函數的特性奇偶性函數周期性有界性/Y定義,反函數1重要的函數存在性定理廠復合函數復合函數符號函數:sgnx=0,x:0,x=0,狄里克雷函數:DxT0,X為有理數,X為無理數.內容提要與釋疑解難一、函數的概念定義：設、是兩個非空實數集，如果存在一個對應法則，使得對中任何一個實數，在中都有唯一確定的實數與對應，則稱對應法則是上的函數，記為f:x-y或f:A=B.稱為對應的函數值，記為其中叫做自變量，又叫因變量，稱為函數的定義域，記為（），

2、f（A）二f（x）xA,稱為函數的值域，記為（），在平面坐標系下，集合x,y）y=f（x）,x壬D稱為函數（）的圖形。函數是微積分中最重要最基本的一個概念，因為微積分是以函數為研究對象，運用無窮小及無窮大過程分析處理問題的一門數學學科。、由確定函數的因素是定義域、對應法則及值域，而值域被定義域和對應法則完全確定，故確定函數的兩要素為定義域和對應法則。從而在判斷兩個函數是否為同一函數時，只要看這兩個函數的定義域和對應法則是否相同，至于自變量、因變量用什么字母，函數用什么記號都是無關緊要的。、函數與函數表達式的區別：函數表達式指的是解析式子，是表示函數的主要形式，而函數除了用表達式來表示，還可以用

3、表格法、圖象法等形式來表示，不要把函數與函數表達式等同起來。二、反函數定義設（），D，若對（）中每一個，都有唯一確定且滿足（）的D與之對應，則按此對應法則就能得到一個定義在（）上的函數，稱這個函數為的反函數，記作f：Rf；D或x=fy,yRf.由于習慣上用表示自變量，表示因變量，所以常把上述函數改寫成y=f（x）R（f）.、由函數、反函數的定義可知，反函數的定義域是原來函數的值域，值域是原來函數的定義域。、函數（）與（）的圖象相同，這因為滿足（）點（）的集合與滿足（）點（）的集合完全相同，而函數（）與（）圖象關于直線對稱。、若（）的反函數是（），則y二ff（y）!x二ffx.、定理（反函數存在

4、定理）嚴格增（減）的函數必有嚴格增（減）的反函數。三、復合函數定義設y=fu,uE,u:x,xD，若D（f廠R-八，則通過構成的函數，稱為由（）與u二:x復合而成的函數，簡稱為復合函數，記作y二fc：（x）。復合函數的定義域為D且（xe1，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為中間變量，：x稱為內函數，（）稱為外函數。、在實際判斷兩個函數y=f（u）,u=x能否構成復合函數，只要看y=f（x）的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構成復合函數，否則不能復合函數。、在求復合函數時，只要指出誰是內函數，誰是外函數，例如（），（）,若（）作為外函數，（）作為內函數。則復合函數y=f（gx），若y二gx作為

5、外函數，y二fx作為內函數，則復合函數為（）。、我們要學會分析復合函數的復合結構，既要會把幾個函數復合成一個復合函數，又要會把一個復合函數分拆成幾個函數的復合。四初等函數常值函數、幕函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數統稱為基本初等函數。大家一定要記住基本初等函數的定義域，值域，會畫它們的圖象，并且要知道這些函數在哪些區間遞增，在哪些區間遞減，是否經過原點？與坐標軸的交點是什么？以后我們常常要用到。由基本初等函數經過有限次四則運算或有限次復合運算所得到的函數統稱為初等函數。不是初等函數稱為非初等函數。2,U=X復合而成。一般來說，分段函數不是初等函數，但有些分段函數可能是初等函數，例

6、如fx二xx,xqx=x2是由丫u，五具有某些特性的函數.奇（偶）函數定義設是關于原點對稱的數集，（）為定義在上的函數，若對每xD這時也有-XD，都有f-x=-fxf-x=fxj，則稱（）為上的奇（偶）函數。（）定義域關于原點對稱是函數為奇（偶）函數的必要條件。（）若（）為奇函數，貝U（），事實上，由定義知（）（），有（）（），得（）.周期函數定義設（）為定義在上的函數，若存在某個非零常數，使得對一切X-D，都有（）（），則稱（）為周期函數，稱為（）的一個周期。顯然，若是（）的周期，則kTkZ也是（）的周期，若周期函數（）的所有正周期中存在最小正周期，則稱這個最小正周期為（）的基本周期，一般地

7、，函數的周期是指的是基本周期。必須指出的是不是所有的周期函數都有最小正周期，例如（）（為常數），因為對任意的實常數，都有（）（）。所以（）是周期函數，但在實數里沒有最小正常數，所以，周期函數（）沒有最小正周期。如果（）為周期函數，且周期為，任給D，有（）（），知xkDZ。所以是無窮區間，即無窮區間是周期函數的必要條件。單調函數定義設（）為定義在上的函數，若對中任意兩個數且,總有fX乞fX2fXi_fX2,則稱（）為上的遞增（遞減）函數，特別地，若總成立嚴格不等式fXi:fX2fXifX2,則稱（）為上嚴格遞增（遞減）函數。遞增和遞減函數統稱為單調函數，嚴格遞增和嚴格遞減函數統稱為嚴格單調函數。

8、分段函數如果一個函數在其定義域內，對應于不同的范圍有著不同的表達形式，則稱該函數為分段函數。注意分段函數不是由幾個函數組成的，而是一個函數，我們經常構造分段函數來舉反例，常見的分段函數有符號函數、狄里克雷函數、取整函數。有界函數與無界函數定義設（）為定義在上的函數，若存在常數W,使對每一個X，D，都有則稱（）為上的有界函數，此時，稱為（）在上的一個下界，稱為（）在上的一個上界。由定義可知上、下界有無數個，我們也可寫成如下的等價定義，使用更加方便。定義設（）為定義在上的函數，若存在常數，使得對每一個D，都有則（）為上的有界函數。幾何意義，若（）為上的有界函數，則（）的圖象完全落在直線與之間。注意

9、：直線，不一定與曲線相切。有界函數定義的反面是定義設（）為定義在上的函數，若對每一個正常數（無論多么大），都存在定義設（）為定義在上的函數，若對每一個正常數（無論多么大），都存在xoD，使fx0M，則稱（）為上的無界函數。函數的延拓與分解有時我們需要由已知函數產生新的函數來解決實際問題，這里我們從函數的特性出發，開拓由已知產生新的函數的方法。則應有設y二fx,x0,a丨，我考慮區間上的函數（），它是偶函數，且在上，使（）（）,f-xf-xx0,alxl-aj則應有fX,X0,aF(x)=0,x=0這樣，研究（）只要，研究（）就可以了。稱（）是（）的偶延拓同樣可給出（）的奇延拓，即函數（）在上的

10、奇函數，且在（）上，（）（）,廠f(x)x匸(a,0)(),(),同樣，對于函數（），a,b，可以構造一個以（）為周期的周期函數（），在（）上，（）則有F(x)=f(X,(a,b)Jk-n(b-a(nb-(n-1a,(n+1b-na)nz這就是函數（）的周期延招，研究（）只要研究（）就可以了。此外，定義在區間（）上的任何一個函數（）都可以表示成一個奇函數與一個偶函數和事實上fX-f-xfXf-X22fX-f-X2fxf-x2由奇偶函數的定義知，（）是奇函數。（）是偶函數，且fX二flXf2x我們還可以證明（），（）是唯一存在，如果fg1xg2X,其中（）是奇函數，（）是偶函數，于是fx=giX

11、g2X,f-X二gi-xg2-x-_giXg2x,解得gix二耳fX二fix，g2x二Uf_X二f2x22解題基本方法與技巧一、求函數定義域的方法若函數是一個抽象的數學表達式子，則其定義域應是使這式子有意義的一切實數組成的集合，且在（）分式的分母不能為零。（）偶次根號下應大于或等于零。（）對數式的真數應大于零且底數大于零不為。（）X或cosX，其）X1z-（）tanx，其kx:k,kz；cotx,其k-:,k22（）若函數的表達式由幾項組成，則它的定義域是各項定義域的交集。（）分段函數的定義域是各段定義域的并集。.若函數涉及到實際問題，定義域是除了使數學式子有意義還應當確保實際有意義自變量取值

12、全體組成的集合。.對于抽象函數的定義域問題，要依據函數定義及題設條件。例求下列函數的定義域：（）y=3x-X2化簡有-仁21,-31,1+x1+x11不等式各邊除以（）有，31,21+x2。（）y=arcsin竺1+x3解（）要使函數式子有意義，就必須滿足3x-x一0。化簡有xx-3x3乞0,即x.3xx-.3_0.解之，得定義域為x三-3L0,31。（）要使函數式子有意義，就必須滿足2X）o解要使（）（）有意義，必須滿足：0蘭x+a蘭1,得ja蘭x蘭1-a,0蘭x-a蘭1,得a蘭x蘭1+a.11當0：a時，由a乞1-a，知函數的定義域為a乞x乞1-a。當a時，由,知定義域2不存在。二、求函數

13、值域的方法.由定義域的范圍，利用不等式求出（）的范圍。.若（）有反函數（），求出反函數的定義域就是函數的值域。.利用一元二次方程的判別式求函數的值域。例求下列函數值域：（）y=x.1-x。（）廠以。（）y=X2x1x+3xx+1解（）令1-X=t,則x=1，于是y=x1-x=1-12t-5-40，即卩0蘭yE4(y工1卜故函數的值域為,。三、判斷兩函數是否為同一函數的方法例判斷下列各組函數是否為同一函數：()()y=sinx0_x_二。()s=.1-cos210乞t乞二,()()()x-1x2-1()解()由的定義域是,n,S=J-COS2t的定義域是,n。知兩函數定義域相同，又S=11-co

14、St=Jsin2t=sint=sint(0蘭t蘭兀知兩函數對應法則相同，故()()為同一函數。x11()由y2的定義域是-1的全體實數，y的定義域是-1的全體實數，知x-1x+1兩邊立方得y3=x.1x21x2x-、1x2X亠1X2)X-1X2i亠X-.1x2,y3=2x3?x+J1十x2xJ1十x2=2x3y,解之S3.X3yyo21所以反函數為y=13xx3,xR.2()由X=()由X=1,X,X:1,1蘭y蘭16,則反函數為y=JX,1蘭x蘭16,log2y,y16,log2x,x16.五、求復合函數的方法。.代入法某一個函數中的自變量用另一個函數的表達式來替代，這種構成復合函數的方法，

15、稱之為代入法，該法適用于初等函數的復合，關健搞清誰是內函數，誰是外函數。.分析法根據外函數定義的各區間段，結合中間變量的表達式及中間變量的定義域進行分析，從而得出復合函數的方法，該方法用于初等函數與分段函數或分段函數與分段函數的復合。x例設fX=，求fnX二fffX，求fnX二fffX猜想解f2X二ffX二X=1時，f(x)=0,ff(x$=f(0)=1。故（）。f(x)=f(珂X=3,x），則（）為周期函數。證由條件函數的對稱性知faxi；二fa-x，（）fbxAfb-x,（）baba故函數在中點（）處的值等于點和b處的函數值22（b_八fb_八從而猜想如果（）為周期函數，則周期應為b+i-

16、a-叱旦i=2（b-a）。2八2丿事實上f&2b-a丄fbx-b-2a=fb-xb-2al=f2a-x二fa亠a-x丨=fa-a-x丨=fx所以（）是以（）為周期的周期函數。八、單調函數的判斷方法.用定義。利用單調函數的性質。（）兩個遞減（增）函數的復合是遞增函數，一個遞增、一個遞減函數的復合是遞減函數。例設x，-x及（）為遞增函數證明：若X豈fXx（）則“XbffX丨（）證設為三個函數公共域內的任一點，則-X。乞fX。空X。由（）以及函數（）的遞增性知f：X。LffX。1,：-：X。Lf-X。1。從而八xjffXo1同理可證fIfXo丨tIXo。由的任意性知，于是（）式成立。九、函數有界性的

17、判斷判斷函數是否有界，經常用定義。例判斷下列函數是否有界：X1_1（）fX廠。（）fX2,x0,1lo1+xX解（）由（）的定義域是。當X時,fXXx2|將蘭事專，當時fo“有問4，所以（）為有界函數。所以（）為有界函數。()-M-0,取Xo=0,1Lf(怡)=M+1=M北M.M+11由無界函數的定義知（）在（，）上無界。第二節函數極限與連續函數極限內容網絡圖函數極限內容網絡圖函數極限定義=limf(x)=AX)：:limf(x)二AX訊limf(x)-:XJXo性質隹一性,有界性質隹一性,有界性,不等式,保號性，四則運算函數極限與連續函數極限與連續夾逼定理w判斷函數極限存在準則廠單調有界定理

18、單側極限與雙側極限Xo廣12/56最大（小）值定理可去間斷點第一類間斷點跳躍間斷點間斷點分類第二類間斷點內容提要與釋疑解難一、函數極限的概念.lim(x)=A:若存在一個常數A廠；0,X0當xX時,都有f(x)-A：；。X.limf(x)二A:把中xX”換成x：-XXlimf(x)=A:把中xX”換成xXx.(X)=A.定理limf(x)=A：=limf(x)=A且limfX,x、x)_：0-limf(x)=A:設f(x)在X。的某空心鄰域內UX。有定義，若存在一個常數，X0fz00,當00,為0,當一6xx0c0時，都有f(x)-A0,茅0,當0vxx0時，都有f(x)|aM。此時稱xtx0

19、X3K0時，f(x)是無窮大量。而limf(x)=：,只要把公式中X込0f(x)M”改成f(x).M”，limf(x)=-：:只要把上式中“f(x)|M”改成“f(x)M”。.limf(x)=旳：X/M0,2Xa0。當xX時，都有f(x)|aM。xc1讀者同理可給出lim(:或-：-)f(x)-：(：:或-：-)定義。注：limf(x)=A(常數)與limf(x)的區別，前者是表明函數極限存在，后者指函數X洪0極限不存在，但還是有個趨于無窮大的趨勢。因此，給它一個記號，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說函數極限存在，指的是函數極限值是個常數。limf(x)=0。稱f(x)當xxo是無窮小量

20、。這里的xo可以是常數，也可以是X卡廠或：。定理limf(x)=A(常數)：=f(x)=AW(x)。Xx)其中lim：(x)=0。X00若我0M0,當xeU(xX,6)時，都有f(x)EM，稱f(x)當xtx0時是有界量。二、無窮小量階的比較，無窮小量與無窮大量關系設limf(x)=0,limg(x)=0,XX0 xX0(這里X0可以是常數，也可以是：，以后我們不指出都是指的這個意思)()若lim丄兇=0，稱f(x)當xX0時是g(x)的高階無窮小量，記作fg(x)f(x)二(g(x)(xX0).。()若lim丄兇=c(常數)=0,，稱f(x)當x；x0時是g(x)的同價無窮小量。Xfg(x)

21、()若limf(x)=1,稱f(x)當Xrx0時是g(x)的等價無窮小量，記作fg(x)fXgXXX。，此時()式也可記作fXegXXX。()若lim=c(常數)=0(k0常數)，稱f(x)當xx0時是x-x0的階無窮小XT(XX。)量。由等價無窮量在求極限過程中起到非常重要的作用，因此，引入若limf(x)=1。記作f(x)g(x)(xrx0)，xi。g(x)如果f(x),g(x)均是無窮小量，稱為等價無窮小量。如果f(x),g(x)均是無窮大量，稱為等價無窮大量。如果f(x),g(x)既不是無窮小也不是無窮大，我們稱為等價量。例如limf(x)二A(常數)=0，則f(x)A(x；x0)。注

22、：不能為零，若，f(x)不可能和等價。無窮小量的性質：若(x),2(x)，m(X)當xX。時,均為無窮小量，則()limCl：1(X)C2：2(X)亠亠Cm：m(X)l=0.X必0其中q,c2,cm均為常數。()lim：1(X)：2(x)：m(x)=0。XX0若f(x)當x-；X0時是有界量，：(x)當x-；x時是無窮小量，則limf(x)：(x)=0。X0無窮大量的性質：有限個無窮大量之積仍是無窮大量。有界量與無窮大量之和仍是無窮大量。無窮小量與無窮大量之間的關系：1若limf(x)-：,則lim0。X%X%f(x)01若limf(x)=0,且一：0,當xU(x0,、)時f(x)=0,則li

23、m一二：。x0 x|X0f(x)三、函數連續的概念。定義若limf(x)二f(x0),稱f(x)在x=x0處連續。X%用；-：語言可寫為定義設f(x)在X。的某鄰域U(x。)內有定義，若Ww0,為0,當x-X0v6時，都有f(X)-f(x),稱f(x)在X=X0處連續。用函數值增量.vy形式可寫為定義若limy=0，稱f(x)在x=x0處連續。若limf(x)二f(x0),稱f(x)在x=x0處左連續。X/0-若limf(x)=f(xo),稱f(x)在x=xo處右連續。x/o定理f(x)在Xo處連續二f(x)在Xo處既是左連續又是右連續。如果f(x)在X=Xo處不連續，稱X=Xo為f(X)的間

24、斷點。間斷點的分類：()若limf(x)=A(常數),但f(x)在x=xo處不連續,稱x=xo是f(x)的可去間斷點。X3Xo若X=xo為函數f(x)的可去間斷點，只須補充定義或改變f(X)在X=xo處的函數值，使函數在該點連續。但須注意，這時函數與f(X)已經不是同一個函數但僅在X二xo處不同，在其它點相同。我們正是利用這一性質去構造一個新的函數F(x)，使F(x)在某閉區間上處處連續，因而有某種性質。當X=Xo時，也具有這種性質。而X=Xo時，F(X)二f(X)，所以f(X)在X=Xo的范圍內也具有這種性質，從而達到了我們的目的。例如f(x)二沁,lmf(x)二lim=1，XX但f(x)在

25、x=0處沒定義，知f(x)在x=0處不連續，設F(x)=sinx一,xfx1,x=0.則Fx在x二。處連續，但Fx與fx定義域不同,xx=o.sinx雖然F(x)與f(x)不是同一函數，但在x式o處完全相同，又如f(x)=廠io,limf(x)=limxoxox=1=f(0)=0,知f(x)在x=o處不連續設F(x)二sinxx1,x=o,x=o.則F(x)在x=0處連續，雖然F(x)與f(x)定義域相同，但在x=0處，兩個函數值不同，知F(x)與f(x)不是同一函數，但僅在x=0不同，其余點函數值處處相同。()若limf(x)=f(x0-0).limf(x)=f(x00),但f(x0-0)=

26、f(x00)，稱x=x0為f(x)的跳躍間斷點，稱f(Xo+0)-f(Xo-0)為f(x)的跳躍度。()()兩種類型的特點是左右極限都存在，我們統稱為第一類間斷點。()若Xq處，左、右極限至少有一個不存在，我們稱X=Xq為f(x)的第二類間斷點若limf(x)=處，我們也稱x=Xo為f(x)的無窮型間斷點，屬于第二類間斷點。X此四、函數極限的性質在下述六種類型的函數極限：()limf(x)()limf(x)x_()limf(x)()limf(x)()limf(x)()limf(x)Xsx十Xq_它們具有與數列極限相類似的一些性質，我們以limf(x)為例，其它類型極限的相應性質的敘述JXq只要

27、作適當修改就可以了。性質(唯一性)若極限limf(x)存在，則它只有一個極限。X3X00性質(局部有界性)若極限limf(x)存在，則存在x0的某空心鄰域U(x0)，使f(x)在Xq0U(Xq)內有界。注意：limf(x)存在，只能得出f(x)在xo的某鄰域內有界，得不出f(x)在其定義域內有X=Xq界。0性質若limf(x)二A,limg(x)二B,且A：B，則存在xo的某空心鄰域U(x0,：0)，使X風X%0XU(Xoo)時，都有f(x)：g(x)。性質(局部保號性)存在Xo的某空心鄰域若limf(x)二A-0(或:0)，則對任何常數0：:A(或A廠0)，x訊f(x)0(或f(x):：:0

28、)成00U(Xo)，使得對一切XU(Xq)，都有立。0性質(不等式)若limf(x)=A,limg(x)=B，且存在x的某空心鄰域U(Xqo)，使得xXqxXq0對一切xU(Xoo)，都有f(x)遼g(x),則A乞B。性質(復合函數的極限)若lim(x)=u0,limf(u)二A,且存在x0的某空心鄰域x_oUTo00U(x0,、)，當xU(x0,、)時，(x)=u0，則limf(x)limf(u)=A。0To性質是求極限的一個重要方法一一變量替換法，即limf(x)令(x)=ulimf(u)=A。x/ouuo且人爭,棗XUo性質(函數極限的四則運算)若limf(x)與limg(x)均存在，則

29、函數xox)f(x)_g(x),f(x)g(x),cf(x)(c為常數)在x；xo時極限均存在且limIf(x)二g(x)-limf(x)二limg(x)。XfX/oX_”xXoXXoXoXXolimf(x)g(x)1=limf(x)limg(x)。xXo()()()limf(x)f(x)xxolim一xxog(x)limg(x)利用極限的四則運算，可得下列重要結果。a1xn4anjX-anlimcf(x)二Climf(x)。又若limg(x)=o,則丄_、在x；xo時的極限也存在，且有xoJxoxxogixIn+n二：;(ao,an,bo/,bm均為常數，aobo71,naoa1LaXXPm

30、若1bo一+L+bm4X1,naoa1LaXXPm若1bo一+L+bm4Xao1nJndnnXX11+bmmXm-1Xo,ncmao,n=mbo:,nm上面的結論可作為公式用。性質(歸結原則或海涅()定理)limf(x)存在的充要條件是:XXo-im-Xn=XoXn=X,n=1,2，,極限im-f(Xn)都存在且相等。逆否定理若存在兩個數列xnJx；limxnxo,limxnxo,且nJpclim_f(Xn)二A,lim.f(Xn)二B,A=B或存在不存在，則n)：-n)：-n)：-n)：-njxo不存在。此定理是判斷函數極限不存在的一個重要方法。五、函數連續的性質若函數f(x)在點x=x0處

31、連續，即limf(x)二f(x0)，利用極限的性質可得到函數在x=x00U(Xo)改成U(Xo)即可，讀者自己敘述出0U(Xo)改成U(Xo)即可，讀者自己敘述出連續的局部有界性，局部保號性，不等式等，只要把來。禾U用極限的四則運算，我們有性質(連續函數的四則運算)性質(連續函數的四則運算)若f(x),g(x)在點X=Xg處連續f(x)_g(x),f(x)g(x),cf(x)(c為常數)f(X)(g(x0)=0)在x=x0處也連續g(x)性質若Uh護(x)在Xo處連續，y=f(u)在Uoh護(Xo)處連續，則y=f(“x)在X=Xo處也連續且limf(x)=f(Xo)=f(lim(x)X)Xo

32、JXo在滿足性質的條件下，極限符號與外函數f可交換順序，如果僅要可交換順序，有推論若lim：(x)二uo,y二f(u)在u二uo處連續,則limf(x)=f(lim:(x)。X%X%X%(x),x式xo,證設g(x)=丿則g(x)在x=Xo處連續，又y=f(u)在u=u。=g(x).Uo,X=X。，處連續，由性質知limf(g(x)=f(limg(x)。由于xxo,要求x=xo,有g(x)=(x),所以limf(x)=f(lim(x)。在這里，我們巧妙地利用可去間斷點的性質，構造一個連續函數，以滿足所需的條件，上面的性質及推論也是求函數極限的一個重要方法。即極限符號與外函數f交換順序，把復雜函

33、數極限轉化為簡單函數極限。定理初等函數在其定義域上連續。六、閉區間上連續函數的性質定理(最大值與最小值定理)若f(x)在閉區間a,bi上連續，則f(x)在a,b1上一定能取到最大值與最小值，即存在xx2a,b,f(xj=M,f(x2)=m，使得對一切xa,bl,都有m_f(x)_M。推論若f(x)在閉區間a,b上連續，則f(x)在a,bi上有界。定理(根的存在定理或零值點定理)若函數f(x)在閉區間a,b1上連續,f(a)f(b)：o，則至少存在一點(a,b),使f(J-0。推論若函數f(x)在閉區間a,b1上連續，且f(a)=f(b),c為介于f(a),f(b)之間的任何常數，則至少存在一點

34、(a,b),使f(Hc。推論若函數f(x)在閉區間a,b1上連續，則值域R(f)二m,M1。這幾個定理非常重要，請大家要記住這些定理的條件與結論，并會運用這些定理去解決問題。七、重要的函數極限與重要的等價量禾U用初等函數的連續性及極限符號與外函數的可交換性及等價量替換，夾逼定理可得到下面的重要的函數極限。lim沁X0 x=1.11叫(1X)，二e.lim也兇XX=lim丄ln(1x)=limIn(1JxxX)01-lnlim(1x)，=lne=1.X0X.lime設exXQX1二tlimlimt0In(1t)toln(1t)=1.xxlna.lim=lim-lna=lna(a0,a=1為常數)

35、.xTxxoxlna、limx)0bln(1x)e-1ln(1x)=limxx0(1x)b-1bln(1x)b=b(b為常數，b=0).limx)0arc亟設arcsinxhlim丄xtosint二limt0sintt=1.arctanxt設arctanx=tlimxt：0Jim二牛=0(k0常數).li=lim丄tantosintcost=11=1.xkJimX=0(a1常數，k為常數).若limu(x)=a0,limv(x)=b(a,b均為常數),則limu(x)V(x)Xolimu(x)V(x)XoV(x)lnu(x)limeXXolimV(x)lnu(x)limV(x).limInu(

36、x)二exxoexxxxoblnalnabb=eea即limu(x)v(x)=ab。x可換成f(x)，Xx注：不僅要記住這些公式的標準形式，更要明白一般形式。即上面公式中的只要X;X。時，f(x);,結論依然成立。利用上述重要極限，我們可以得到下列對應的重要的等價無窮小量，在解題中經常要利用他們當Xr時，sinxx,ln(1x)x,eX-1x,ax-1xlna(a.0,a=1,常數).b12(1x)-1bx(b=0,常數),arcsinxx,arctanxx,1-cosxx.2注：上式中的x可換成f(x)，只要x、x0時，f(x)0結論依然成立。例如sinf(x)f(x)(若Xrx0時,f(x

37、)0)。此外，若limf(x)=A(常數)=0,f(x)A(xx0).X3X0解題基本方法與技巧一、求函數極限的有關定理等價量替換定理，若()f(x)f1(x),g(x)g1(x),h(x)h1x(x_X0)。()!吧盅吶或:)。，則limX%h(x)f1(x)g1(x)0(x)-A(或:).證limX風0f(x)g(x)h(x)limX昨f1(x)gdx)f(x)g(x)h(x)_Ah(x)(x)gjx)h(x)即limXX0f(x)g(x)h(x)lim迪蟲(或XFh1(x)這個定理告訴我們，在求函數極限時，分子、分母中的因式可用它的簡單的等價的量來替換，以便化簡，容易計算。但替換以后函數

38、極限要存在或為無窮大。需要注意的是，分子、分母中加減的項不能替換，應分解因式，用因式替換，包括用等價無窮小量、等價無窮大量或一般的等價量來替換。夾逼定理若limf(x)二limg(x)=A，且存在x。的某空心鄰域0U(X。；)，使得對一切0 xU(X0,、)，都有f(xHh(xHg(x)，則!吧論)。0單調有界定理()若f(x)在U-(X。)內遞增(或遞減)有下界(或上界)，則limf(x)存Xo-在。()若f(x)在(-口a)內遞增(或遞減)有下界(或上界)，則limf(x)存在。請讀者給出xXX.:的敘述。函數的單調有界定理應用的較少，大家只要了解就可以。洛必達(LHospital)法則設

39、()limf(x)二0,limg(x)二0。X_o000()存在X0的某鄰域U(X0)，當U(X0)時，f(x),g(x)都存在，且g(x)=0。()lim丄二A或：)，則lim丄1勺二lim丄_兇二a(或：).XNg(x)XFg(x)XFg(x)洛必達(LHospital)法則，設()()limf(x)=X000f(x),g(x)都存在且g(x)=0。()存在x。的某鄰域U(x。)，當U(X0)時,()lim丄兇二A(或二)，則lim衛勺二lim丄兇=A(或：).XX。g(X)%g(x)X旳g(x).上述兩個法則中的X；X0改成XrX(,XrXj,Xr-,XrY-,X)：時，條件()只須作相

40、應的修改，結論依然成立。在用洛必達法則求極限之前，應盡可能把函數化簡，或把較復雜的因式用簡單等價的因式來替換，以達到簡化，再利用洛必達法則。利用洛必達法則求極限時，可在計算的過程中論證是否滿足洛必達法則的條件，若滿足洛必達法則的條件，結果即可求出。若不滿足，說明不能使用洛必達法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復使用洛必達法則，但只能用有限次。注：洛比達法則是第三章內容。二、函數極限的類型.若f(x)是初等函數，X0f(x)的定義域，由初等函數的連續性知limf(x)二f(X0).若limf(x)二A,limg(x)=B，則XX0XjXQ()limf(x)0,xxog(x)0IIIIA常數

41、,B常數=0,A=0,B-：,A-：,B=0,A=0,B=0,oOiiiioO()()limf(x)g(x)X一0AB,=弋oOj0oA常數,B常數，A=常數=0,B=：,A=0,B-:.A=0,B=幺時，limf(x)g(x)(0,：)limf(x)(-)或limx10 x。1O0對于因式中含有對數函數，反三角函數時，一般放在分子、否則利用洛必達法則很繁，或求不出來。A-B,A常數,B常數，odJA、B中有一個是常數oOA、B為異號無窮大，比_oOA、B為同號無窮大，另一個是無窮大，()lim(f(x)-g(x)二X0當A-：,B二：，且A、B同號時，limfx-gx.-”，再利用洛必達法則

42、。O0這時，把fx,gx化成分式，通分、化簡，化成“0()AB,A常數A0,Bl件，A=1,B=00,A=0,B=0“0“旳,A=,B=0,0,A=0,B=A=0,B=-IX二()當A=1,B-：時,我們有兩種方法求該未定式的極限,一種方法利用重要極限1xm1來計算，另種方法，化為以為底的指數函數，再利用洛必達法則。即解法一役f(x)呼滬)=乙Mmyc=e_ffH(fjTOCo1-5hz0oQ再根據具體情況化成-或二。0旳x為/解法二f(xg(W)：elnfW=xegWe)=e匝).這兩種方法，我們經常還是利用解法一方便。()當A=0,B=0時，()當A二二,B=0時這時，只有化成以為底的指數

43、函數，再利用洛必達法則。即g(x)g(x)TOCo1-5hzlim-,、cc,、，“、limg(x)Inf(x)(0旳(0旳Tg(x)00g(x)lnf(x)x_xlimf(x)(0)(-)=lime二e0=exJx0 x_0limg(x)lnf(x)|:：(-：)=exx0二e_=0而A=0,B=或A=0,B-：時不屬于未定式，因為limf(x嚴)(0limeg(x)lnf(x)limg(x)lnf(x).(一：j=exx0:Xxgx必limf(x)g(x)(O；)=limeg(x)lnf(x)Xx0 x必0三、已知函數的表達式，求函數的極限求函數極限的四種重要方法()極限的四則運算。()等

44、價量替換。()變量替換。()洛必達法則。對于未定式的極限，先用等價量替換或變量替換或極限的四則運算化簡，再利用洛必達法則求極限。很多情況下，這幾種方法常常綜合運用。x-arcsinx求limx)0 xarcsinx,0、)lim0 x_0 x31Ji_x204()im3x20 xeg(1x2)2x)26x求lim一C0Sx1-cosx1-cosxx10 x(1_cosx)解limlcosx(0)=lim.x0 x(1COSx)0 xpx(1cos、x)(12,1-cos.x.x=,1-cosx222x原式lim一2一x0 xx22注：本題雖然是未定式，但巧妙地用變量替換，并沒用洛必法則就直接求

45、出了極限。2x原式lim一2一x0 xx22注：本題雖然是未定式，但巧妙地用變量替換，并沒用洛必法則就直接求出了極限。求lim1tanx今竺。J0 xln(1x)-x原式=liiimtanxsinxx0 xIn(1x)x1tanxJ1sinx】sinx(1-cosx)xln(1x)-xlltanx,1sinxCosx20時，sinxx,1-cosx,.1tanx_1sinx2,cosx1，得22xx一2原式=lim-limxT2xln(1+x)x47ln(1xx(0)1r2xlim4x01彳11xlim2x)0 x(1x)X例求limx)01x2-cosx(xx2sinx)解原式1+x2-co

46、sx(xx2)sinx(.1x2cosx)由xr0時，sinxx,1x2cosx2，得原式21x-cosx=lim2x)02(xx2)x1lim2x1021x-cosxx32xsinx012cosx133lim()=limx02x3xx02x3xxsinx-sinxx02xQ26x224解原式二lim叱xxsinx3=lim3X3xX3x-sinx0、1-cosxz0、T)Pm0W(評12X二limx刃3x例求lim(1_,X)(1-xy(1X)n_1(1-x)解法一由妁1脳（0）=lim112jn-Xn-1，故原式.lim1xXx-11X1-x丄n!解法二原式設1-x=tlimt0(1-：.

47、1t)(13、1t)(1n1t)由(1n1t)=(-t)k-1(-t)n=(0)，得原式=lim2nj丄Itn1n!2例求lime2-(1X)x)02e解法一原式二limx=02ln(1:妝)-ex2ln(1-x)Qex-1且x0時，2ln(1x)-20,知e呼=1空S-2，得原式-e2limX2ln(1x)2二2e2lim0ln(1x)-x(0)x2112y-X=-elimx0 x(1x)1x2x=e2lim0解法二原式二limxT2ln(1妝)X（0）Tm）e2ln(1：妝)X1x-ln(1x)X-(1x)In(1x)=-2e2lim2x)0 x2(1x)=-2e2limx)0 x-(1x

48、)ln(1x)/0、(B)X221-ln(1x)-12.2elimelimT2xT1-cot2x).2xln(1x)2e.x求xm0(7d2原式二lim(-cos2x)(:x0 xsinx.222sinx-xcosx：)=lim22xTxsinx.222sinxxcosx=limxsinx+xcosx二limx_0sinx-xcosx3xx,sinx+xcosxsinx由limlim(x10 xx0 xsinxxcosx,0cosxcosxxsinx原式二2lim3()=2limTX30T例求limcos(sinx)YOSXCOSX）=2。得3x2sinxlimx.x4-xsinxx.sinx

49、-x-2sinsin解原式=lim2_4-Tx4sinxxsinxx.sinx-xsinx-x田x0時,sin,sin2-csinxx-2原式=lim2xT2sinx-x1sinxxlimx.xsinx-xsinxx-limxx-sinx(0)1-cosxlimOx刃3x23x12xlimx03x3求limx2(.x22.、x1、x).x.解原式1“lim4(12-x+312tlim-tQG+N-W1im嚴吋岔丙0t_Q2tt2lim1-T212t0t、12t1tim1t一12t2to（o）lim(1-2202“1t2i12t1=limt=0.J0+例求limlnxln(1x).X人Int二解

50、原式令1-x=tlimln(1-t)lntlim-tlntlim廠(一)limt0tj0tPtt2e例求四100.50解原式設占叫im用50次洛必達法則叭齊0.1sinxx2)xx(Sinx八1x解法一原式=lim1(SinXTX解法二原式例求lim(x.”sinx,0、二exim0rsinxlnx02(-)x20=limeXr0”cosxVlim二ex03x12.x20lm丄(/x03x20cosx1limx-0=elnsinx_lnx,0)(o)x2limsinxxex02xxcosx-sinxlim2ex0 xxcosx-sinxlimX0e2x3limx)0ecosx-xsinx-co

51、sx6x2limsinxexr06xsin2cosl)x.xx1解原式令tlim(sin2tcost)xTt-01t=limet-0ln(sin2tcost)2cos2t-sintlimt一0sin2t七ost二e1xlnIn1I解limIn(一)x0 x28/56InIntocilim(_)=e#t旳、11lnlnt設=tlimetxt1lim=eitlnt=e0=1.sinx求limxx；0limlimlimxsinx00乂x_0亠sinxlnxlimxlnx=ex01limxx0亠12=ex1limxx0亠12=ex_limxx0,Jx2xnxee亠亠ex2xnxee亠亠e1)解lim(

52、x0解lim(x0 x2xnx1一eee)x：)In(exe2enx)_lnlim7x0eex-2e2-nenxlimx_；0exe2-enx123n123nn(n1)2n2ne2例設f(x)在x=0的某鄰域內連續,例設f(x)在x=0的某鄰域內連續,f(0)=0,f(0)=2,求limx00tf(xt)dtxu11解0tf(xt)dt令xt=u.0f(u)du2.0uf(u)du,于是原式原式Ouf(u)du(0limXlim!1lim0 xe3x2x03x3xef(x)-f(0)12sf(0r2x-sinxlimx：3xcosx分析因為lim2x-sinx(lim2_cosx(極限不存在)

53、，所以洛必達法則不適用，宜改xf：3xcosx二x：3sinx用其它方法。1TOCo1-5hzsinx解原式=limX護1cosxcosxsinx分析分析由于limx+sinxexcosxQOx,e-sinxlimx：ecosxOQx,e-cosxlimx：e-sinx無限循環，所以不能用洛必達法則11xcosx解原式二limeTOCo1-5hzX,11xsinxe利用泰勒公式求函數極限。kkrk右f(x)二Axo(x),A=0常數(x；0),則f(x)Ax。事實上,kkkf(X)Axo(x)1o(x)、彳limklimklim(1l)二1.x0時，右x)0Axx刃Axx*ax因此，利用帶有佩

54、亞諾余項的泰勒公式可以求出某些函數極限，當f(x)=Axko(xk)Axk(A0).m/mm,-g(x)=Bxo(x)Bx(B廠0).km,0,x22cosx-e2例求lim4Tx42x解由于cosx-e2=(142,4x,4x1xo(x)-(1-2!4!22!4o(x4),(新新0(x4)x2214cosx-ex(x0)，所以IJnx4丄12對于求xxo時的函數極限，若用泰勒公式求極限，可令X-Xo二t，變成求t；0時的t的函數極限，再利用上述的方法去解決。利用夾逼定理求函數極限。1例求limx.X)0 x解-1-,且x-0,兩邊同乘以x,得1-x：xI1-1.X_xX_x由塑1)“迥仁1根

55、據夾逼定理知,求lim-X:求lim-X:J0Sint|dtx分析本題雖然屬于二型，但不能用洛必達法則，因為O0語SInxdt才卄*lim!=limsinx不存在。化xI顯因此，用其它方法，解對任意自然數n,有JJsintdt=njjsintdt=2n,當n理蟲x：(n1)二時，成立不等式當n理蟲x：(n1)二時，成立不等式2n(n1)二J0|sint|dt2(n+1)xn二由lim2nlim2n2,lim2(n=lim衛二2.根據夾逼定理知原式x：(n亠1)二n匚(n亠1)門：-.x；n二n二二2注：這里是x的函數，是分段函數，即(n1)二2nf(x)_(n1)二利用定義證明函數極限的存在禾

56、U用函數極限定義證明函數極限與利用數列極限定義證明數列極限存在完全類似，在這里我們就不再重復了，一般情況，能不用盡量不用。除非要求用定義證，且考研出這種題的可能性較小。例用定義證明limn1x=1,其中nN。X0證不妨設0cX1，貝yU1+X_1=,:0，要使“1+x1vg,由1c|x(OcX1),只要x|c名,取6=mi妬訂當0c|x出時，都有n，1+x1E,由定義知注：這里用了公式(a-b)(an_anbbn)n丄nJ.丄.ndn斗.n二.nn.n=aabab-ab-ab-ba-b。至于用函數極限的單調有界定理求函數極限的可能性更小。四、已知函數極限且函數表達式中含有字母常數，確定字母常數

57、數值。這種題型考的可能性更大，因為這種題型更能考察考生運用無窮小量階的比較和洛必達法則分析問題，解決問題的能力。例求lim(x57x42)a_x二b=0，求常數,.x.1解令t,當XrJ時,tr0，于是X原式原式171二!吧(孑2)_1-(7t2t5)k-1lim(72t4)=。2解四叱+近嚴+”“滬四x21r(a2bx)2xJim。7t小丫一1t0t由limt=0，知分子當t0時，是分母的同階無窮小量，所以0limt1Ja(17t2t5)a-10.i_0-1得1-5a=0,即a,從而51(1+7t+2t5)5-1原式=lim一-lim-TOCo1-5hz0t015(7t2t5)彳51.lim

58、lit“t51由lim20，知分子是分母的同階無窮小量,x0有于是xm有于是xm-1-2bx0(0円四1X2xJ-2b(1x)22-1-2b2例試確定常數k1c,使得當x.時,arcsin（；x2x-x）解由題意知limx_jrbcarcsin(.x2x-x)=1.xk由于arcsin(x?x-x).X2亠I，xx12.X2亠Vxx丄(Xx2所以lim-x_-:arcsin(.x2.x-x)limx：ck1xlimT2cxx2=11111必有k二丄,此時，丄=1，因此c二丄*二丄22c22例已知limx011f(x)-1一JC=O,C為常數,x求常數和，使x0時，fXaxk解limx)01+1

59、f(x)-1xx=c，由limx20=0，知=0,必有limf(x)0-0，x從而11f(x)-12x-f(x)二limxx=01x2(1+：f(x)+1)得limf(x)x02cx3=1,即f(x)2cx3,所以k=3,a=2c.例確定常數a,b,c的值，使|m擬?二。=0,3也Qdt解由x0時，axsinx0,且極限c=0,知分子、分母是同階無窮小量有3ln(1t)dt=0,必有b=0由于且limx2x_0且limx2x_0axsinx,0、a-cosxlim3()二lim3limx-0 xln(1t3)0 x_oln(1x3)xadt0ln(1x3)acosx=c，x2=0,知lim(a

60、-cosx)=0=a-1,得a0二1,從而1-cosxlimx_01故a=1,b=0,c,2x2注：町ln(1-t3)dttln(1-13)dt=0t()必有b=0,因為b：0,tb,0時,ln(1t3)：0,t:0,有ln(1t)tb,0時,ln(1t3)：0,t:0,有ln(1t)0,有dt0與()矛盾，若b0.也丄)dttln(1t)dtXo，由f(rn)二0，imf(rn)二f(X0)=0,故f(x)二0。例若f(x)在區間上連續，當r1,rX且r-i:r2,其中r1,r2為有理數,f(x)在區間遞增。證-x-x?x,且捲：x2,取有理數列rnrn：x1,使im_rn=x1,Tn：；r