1、實驗6參數估計一、實驗目的：掌握矩法估計與極大似然估計的求法；了解估計量的優良性準則：無偏性、有效性、相合性（一致性）；學會利用R軟件完成一個正態總體均值和兩個正態總體均值差的區間估計;學會利用R軟件完成一個總體比例和兩個總體比例差的區間估計；掌握大樣本數據關于單個總體均值和總體比例的樣本容量的確定方法。實驗內容:練習：要求：完成練習并粘貼運行截圖到文檔相應位置（截圖方法見下），并將所有自己輸入文 字的字體顏色設為紅色（包括后面的思考及小結），回答思考題，簡要書寫實驗小結。 修改本文檔名為“本人完整學號姓名1”，其中1表示第1次實驗，以后更改為2,3,.。 如文件名為“1305543109張立

2、1”，表示學號為1305543109的張立同學的第1次實驗，注 意文件名中沒有空格及任何其它字符。最后連同數據文件、源程序文件等（如果有的話， 本次實驗沒有），一起壓縮打包發給課代表，壓縮包的文件名同上。截圖方法：法1：調整需要截圖的窗口至合適的大小，并使該窗口為當前激活窗口（即該窗口在屏幕最 前方），按住鍵盤Alt鍵（空格鍵兩側各有一個）不放，再按鍵盤右上角的截圖鍵（通常 印有“印屏幕”或“Pr Scrn”等字符），即完成截圖。再粘貼到word文檔的相應位置即 可。法2：利用QQ輸入法的截屏工具。點擊QQ輸入法工具條最右邊的“扳手”圖標，選擇其中的“截屏”工具。）自行完成教材中相應的例題。（

3、習題5.1）下表列出50個抽取自二項分布總體B（n, p）的數據（數據存放在 binom . data件中），試用矩估計方法估計參數n和p。來自二項分布總體的數據1516141516111515121414141214121514141214151718101312151716181712101513121416161615111315161714111617解：若將n作為未知參數，則需要同時考慮一階矩和二階矩。總體的一階矩和二階矩分別為：a1 =E（X）= np，a2 =E（X 2）= var（X）+（E（x）2 = np（1-p）+（np）2，根據矩估計的基本思想，a1 = %，a2 =

4、A2，（其中1 =LEx, = X,A廣 p X；）即有I np(1 一 p) + (np)2 = A、2.一 A -解上述方程組，可得p = 1 + A1 , n = A1/p。1以下請根據上式完成R程序，計算出參數n和p的矩估計量的值(參考 n = 20.0284, p = 0.713986)源代碼：x-scan(file.choose()Read 50 itemsyac-nean(x)b-niean(y)p/a1 0.71395)n=a/pn1 20.0284(習題5.2)設總體X的分布密度函數為f (x；a)=(a +1) x a00 x 1, 其他，從總體X抽取的樣本為：0.1 0.

5、2 0.9 0.8 0.7 0.7 0.6 0.5求參數a的極大似然估計量&。解：設X，X2,，Xn為其樣本，只需要考慮xe(0, 1)部分。依題意，此分布的似然函數為L(a ； x) = Hf (x ；a) = (a+1)n (Hx )aiii=1i=1相應的對數似然函數為ln L(a; x) = n ln(a +1)+ a In H x TOC o 1-5 h z *d In L(以;x)n令 =頑+或x =0i=1解此似然方程得到a =+ -1, lnHxii=1 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 、n 或寫為a =- 1。zL ln x

6、i容易驗證d 2 In L 八 da 2 ，從而a使得L達到極大，即參數a的極大似然估計量i=1a=r -1。L ln Xi i=1以下請根據上式完成R程序，計算出參數a的極大似然估計量a的值。 源代碼：x-c(01,02,09,08,07,07,06,05)fv-function(x) 8/(x+1)+sum(log(x)uniroot(f,c(0,1)運行結果或截圖:x-c (0.1,3.20.90.8,0.7,0.7,0.6.0.5f-f miction (x 8/ (x+1) d-sum flog (x wiizoot(f,c(0f1 $root|1 0.0003573701$f ro

7、ot|1 0.05956635$iter1 13$lniL 1e1 NA$estini.pTec|1 0.0001125295補充：求參數a的矩估計量a。由于只有一個參數，因此只需要考慮a1 = 41，即E(X)= X。-8而由 E(X)的定義有：E(X)= fx - f (x)dx = jx - (a+1)xadx =蘭1 xa+2 |1 = _5i! a + 2 o a + 20,a +11-因此=X ,解得a= f - 2。以下請根據上式完成R程序，計算出參數(！的矩估計量a的值，并與其極大似然估計 量的值進行比較。源代碼：a a運行結果或截圖：(習題5.4)為研究新生兒出生時的體重，隨

8、機地選取了某婦產醫院的100個新生 兒，其樣本均值為3338g，樣本標準差為629g。試計算新生兒平均體重的置信水 平為95%的置信區間。提示：參考例5.6解：源代碼及運行結果：(源代碼復制到此處，不需要截圖)x_bar-3338s-629n-100alpha-0.05z-qnorm(1-alpha/2)c(x_bar-s/sqrt(n)*z,x_bar+s/sqrt(n)*z)1 3214.718 3461.282結論：新生兒平均體重的置信水平為95%的置信區間為3214.718,3461.282。(習題5.5)某婦產醫院有意估計產婦在該醫院住院的平均天數，在過去的年份中 隨機抽取了 36位

9、孕婦，每位孕婦住院天數取整后如下表所示(數據存放在 hospital.data文件中)。使用這些數據構建95%的置信區間，估計在該醫院生小 孩的所有孕婦的平均住院天數。提示：參考例5.10。由于此題是小樣本數據，也可以直接使用此$給函數。解：源代碼及運行結果：(源代碼復制到此處，不需要截圖)x-scan(file.choose()Read 36 itemsx_bar-mean(x)s-sd(x)n-length(x)alpha-0.05t-qt(1-alpha/2,df=n-1)c(x_bar-s/sqrt(n)*t,x_bar+s/sqrt(n)*t) 1 2.910812 3.700299

10、結論：在該醫院生小孩的所有孕婦的平均住院天數在2.910812 3.700299天之間。(習題5.8 )已知某種燈泡壽命服從正態分布，在某星期所生產的該燈泡中隨機抽 取10只，測得其壽命(單位：小時)為1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948求燈泡壽命平均值的置信度為0.95的單側置信下限。提示：此題是一個正態總體的區間估計問題，且由于總體方差未知，因此可以直接使用R語言中t.test()函數進行分析。參考例5.11，單側置信下限，t.test()函數中的參數 alternative=greater o解：源代碼及運行結果：(源代碼復制到此處，不需

11、要截圖)x-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)t.test(x,alternative=greater)One Sample t-testdata: xt = 23.969, df = 9, p-value = 9.148e-10alternative hypothesis: true mean is greater than 095 percent confidence interval:920.8443 Infsample estimates:mean of x997.1結論：燈泡壽命平均值的置信度為095的單側置信下限為920.8

12、443(習題5.11)某調查公司對902名高爾夫女選手進行了一項調查，以了解女選手 怎樣看待自己在比賽中的安排。調查結果顯示397名女選手對下午茶的時間感到 滿意。(1)試計算所有女選手對下午茶的時間感到滿意的置信區間，這里取置信水 平為0.95; 如果使用binom. test ()函數精確計算兩者相差多少？提示：參考例5.12 o解：源代碼及運行結果：(源代碼復制到此處，不需要截圖)m-397n-902p-m/nq-1-palpha-0.05z-qnorm(1-alpha/2)c(p-z*sqrt(p*q/n),p+z*sqrt(p*q/n)1 0.4077379 0.4725281bin

13、om.test(x=397,n=902)Exact binomial testdata: 397 and 902number of successes = 397, number of trials = 902, p-value =0.0003617alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.595 percent confidence interval:0.4074246 0.4732337sample estimates:probability of success0.440133結論：所有女選

14、手對下午茶的時間感到滿意的置信區間為0.4077379 ,0.4725281（續習題5.12）如果希望新生兒的平均體重與總體均值的邊際誤差不超過100， 應從該婦產醫院隨機地選取多少名新生兒？提示：例5.13 o解：源代碼及運行結果：（源代碼復制到此處，不需要截圖）s-344.80e-100alpha-0.05z-qnorm（1-alpha/2）（n-zA2*sA2/eA2）1 45.66997結論：應從該婦產醫院隨機地選取46名新生兒（習題5.13）某汽車營銷公司計劃估計某地區擁有小汽車家庭所占的比重，要求 邊際誤差不超過5%,置信水平取90%，問應抽取多少樣本？公司調查人員認為， 擁有小汽

15、車家庭的實際比重不會超過20%，如果這一結論成立，應抽取多少樣 本？提示：例5.14 o解：源代碼及運行結果：（源代碼復制到此處，不需要截圖）p-0.5e-0.1alpha-0.1z-qnorm（1-alpha/2）（n-zA2*p*（1-p）/eA2）1 67.63859結論：要求邊際誤差不超過5%，置信水平取90%，問應抽取68個樣本。（習題5.16 ）甲、乙兩種稻種分別播種在10塊試驗田中，每塊試驗田甲、乙稻種 各種一半。假設兩稻種產量X, Y均服從正態分布，且方差相等。收獲后10塊試驗 田的產量如下所示（單位：千克）。甲 種140137136140145148140135144141乙

16、種135118115140128131130115131125求出兩稻種產量的期望差冉-*的置信區間(a =005)。提示：此題是兩個正態總體的區間估計問題，且由于兩總體方差未知，因此可以直接 使用R語言中t.test()函數進行分析。ttest()可做兩正態樣本均值差的估計。注意此例 中兩樣本方差相等。參考教材P185倒數第四行開始至P186。解：源代碼及運行結果：(源代碼復制到此處，不需要截圖)x-c(140,137,136,140,145,148,140,135,144,141)y-c(135,118,115,140,128,131,130,115,131,125)xbarv-mean(

17、x)s1v-sd(x)n1v-length(x)ybarv-mean(y)s2v-sd(y)n2v-length(y)sw2v-(n1-1)*s1A2+(n2-1)*s2A2)/(n1+n2-2)s-sqrt(sw2*(1/n1+1/n2)alphav-0.05t=30，去掉總體服從正態分布這一 假設T統計量：小樣本數據的區間估計，總體方差未知對于單個總體比例的區間估計，涉及到是其實是二項分布。但當滿足_ np=5和nq=5(q=1-p) 條件時，可以近似使用正態分布來計算。對于單個總體比例的區間估計，涉及的是二項分布。因此在R語言中，可以使用binom.test(涵數進行區間估計，它是精確檢驗函數，通常用于小樣本數據；當處 理大樣本數據