1、第二節 冪級數一、冪級數的概念二、冪級數的斂散性三、冪級數的運算和性質四、典型例題五、小結與思考一、冪級數的概念1.復變函數項級數定義其中各項在區域 D內有定義.表達式稱為復變函數項級數, 記作 稱為這級數的部分和. 級數最前面n項的和和函數稱為該級數在區域D上的和函數.如果級數在D內處處收斂, 那末它的和一定2. 冪級數當或函數項級數的特殊情形或這種級數稱為冪級數.二、冪級數的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數在收斂,那末對的級數必絕對收斂,如果在級數發散, 那末對滿足的級數必發散.滿足阿貝爾介紹證由收斂的必要條件, 有因而存在正數M, 使對所有的n, 而由正項級數的比較判別法

2、知:收斂.另一部分的證明請課后完成.證畢2. 收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數, 其收斂半徑的情況有三種:(1) 對所有的正實數都收斂.由阿貝爾定理知:級數在復平面內處處絕對收斂.例如, 級數對任意固定的z, 從某個n開始, 總有于是有故該級數對任意的z均收斂.(2) 對所有的正實數除 z=0 外都發散.此時, 級數在復平面內除原點外處處發散.(3) 既存在使級數發散的正實數, 也存在使級數收斂的正實數.例如,級數通項不趨于零, 如圖:故級數發散.收斂圓收斂半徑冪級數的收斂范圍是以原點為中心的圓域.答案: 冪級數的收斂范圍是何區域?問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發散, 不能作出一般的結論, 要

3、對具體級數進行具體分析.注意問題2: 冪級數在收斂圓周上的斂散性如何?例如, 級數:收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.3. 收斂半徑的求法方法1: 比值法(定理二):那末收斂半徑證由于收斂.據阿貝爾定理,根據上節定理三,所以收斂半徑為證畢即假設不成立 .如果:即注意:存在且不為零 .定理中極限(極限不存在),即答案課堂練習 試求冪級數的收斂半徑.方法2: 根值法(定理三)那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果三、冪級數的運算和性質1.冪級數的有理運算2. 冪級數的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿足那末當時,說明: 此代換運算常應用于將函數展開成冪級數.定理四設冪級數的收斂半徑

4、為那末(2)在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到, 是收斂圓內的解析函數 .(1)3. 復變冪級數在收斂圓內的性質(3)在收斂圓內可以逐項積分, 簡言之: 在收斂圓內, 冪級數的和函數解析; 冪級數可逐項求導, 逐項積分.(常用于求和函數)即四、典型例題例1 求冪級數的收斂范圍與和函數.解級數的部分和為級數收斂,級數發散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內, 級數絕對收斂, 收斂半徑為1,例2求下列冪級數的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時的情形)或解(1)因為所以收斂半徑即原級數在圓內收斂, 在圓外發散, 收斂的級數 所以原級數在收斂圓上是處處收

5、斂的.在圓周上,級數說明：在收斂圓周上既有級數的收斂點, 也有 級數的發散點.原級數成為交錯級數, 收斂.發散.原級數成為調和級數，(2)故收斂半徑例3求冪級數 的收斂半徑:解解所以例4求 的收斂半徑.例5把函數表成形如的冪級數, 其中是不相等的復常數 .解把函數寫成如下的形式:代數變形 , 使其分母中出現湊出級數收斂,且其和為例6 求級數的收斂半徑與和函數.解利用逐項積分,得:所以例7 求級數的收斂半徑與和函數.解例8 計算解五、小結與思考 這節課我們學習了冪級數的概念和阿貝爾定理等內容，應掌握冪級數收斂半徑的求法和冪級數的運算性質.思考題冪級數在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定, 可以依復數項級數斂散性討論.思考題答案放映結束，按Esc退出.阿貝爾資料Born: 5 Aug 1802 i