1、 數 學推理與證明 M1合情推理與演繹推理16，2014福建卷 已知集合a，b，c0，1，2，且下列三個關系：a2；b2；c0有且只有一個正確，則100a10bc等于_16201解析 (i)若正確，則不正確，由不正確得c0，由正確得a1，所以b2，與不正確矛盾，故不正確(ii)若正確，則不正確，由不正確得a2，與正確矛盾，故不正確(iii)若正確，則不正確，由不正確得a2，由不正確及正確得b0，c1，故正確則100a10bc10021001201.142014全國新課標卷 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市乙說：我沒去過C城市丙說：我

2、們三人去過同一城市由此可判斷乙去過的城市為_14A解析 由甲沒去過B城市，乙沒去過C城市，而三人去過同一城市，可知三人去過城市A，又由甲最多去過兩個城市，且去過的城市比乙多，故乙只去過A城市142014陜西卷 已知f(x)eq f(x,1x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，則f2014(x)的表達式為_14.eq f(x,12014x)解析 由題意，得f1(x)f(x)eq f(x,1x)，f2(x)eq f(f(x,1x),1f(x,1x)eq f(x,12x)，f3(x)eq f(x,13x)，由此歸納推理可得f2014(x)eq f(x,12014x).M

3、2直接證明與間接證明21、2014湖南卷 已知函數f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求f(x)的單調區間；(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(iN*)個零點，證明：對一切nN*，有eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq oal(2,2)eq f(1,xeq oal(2,n)eq f(2,3).21解： (1)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令f(x)0，得xk(kN*)當x(2k，(2k1)(kN)時，sin x0，此時f(x)0; 當x(2k1)，(2k2)(kN)時，sin x0.故f(x)的單調遞減區間為(2k，(2k1)(kN)

4、，單調遞增區間為(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在區間(0，)上單調遞減又feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，故x1eq f(,2).當nN*時，因為f(n)feq blcrc(avs4alco1(（n1）)(1)nn1(1)n1(n1)10，且函數f(x)的圖像是連續不斷的，所以f(x)在區間(n，(n1)內至少存在一個零點又f(x)在區間(n，(n1)上是單調的，故nxn1(n1).因此，當n1時，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(4,2)eq f(2,3)；當n2時，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq o

5、al(2,2)eq f(1,2)(41)eq f(2,3)；當n3時，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq oal(2,2)eq f(1,xeq oal(2,n)0)，設fn(x)為fn1(x)的導數，nN*.(1)求2f1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(,2)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)的值；(2)證明：對任意的nN*，等式eq blc|rc|(avs4alco1(nfn1blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,4)fnblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(2),2)都成立23解

6、： (1)由已知，得f1(x)f0(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,x)eq f(cos x,x)eq f(sin x,x2)，于是f2(x)f1(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(cos x,x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,x2)eq f(sin x,x)eq f(2cos x,x2)eq f(2sin x,x3)，所以f1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,2)，f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(2,)eq f(16,3).故2f1eq blc(rc)(

7、avs4alco1(f(,2)eq f(,2)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)1.(2)證明：由已知得，xf0(x)sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2).類似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用數學歸納法證明等式nfn1(x)xfn(x)sineq blc(rc)(avs4alc

8、o1(xf(n,2)對所有的nN*都成立(i)當n1時，由上可知等式成立(ii)假設當nk時等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2).因為kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，eq blcrc(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)sineq blcrc(avs4alco1(xf(（k1）,2)，所以(k1)fk(x)xfk

9、1(x)sineq blcrc(avs4alco1(xf(（k1）,2)，因此當nk1時，等式也成立綜合(i)(ii)可知，等式nfn1(x)xfn(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(n,2)對所有的nN*都成立令xeq f(,4)，可得nfn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(,4)fneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(n,2)(nN*)，所以eq blc|rc|(avs4alco1(nfn1blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,4)fnblc(r

10、c)(avs4alco1(f(,4) (nN*) M4 單元綜合52014湖南長郡中學月考 記Sk1k2k3knk，當k1，2，3，時，觀察下列等式：S1eq f(1,2)n2eq f(1,2)n，S2eq f(1,3)n3eq f(1,2)n2eq f(1,6)n，S3eq f(1,4)n4eq f(1,2)n3eq f(1,4)n2，S4eq f(1,5)n5eq f(1,2)n4eq f(1,3)n3eq f(1,30)n，S5eq f(1,6)n6eq f(1,2)n5eq f(5,12)n4An2，由此可以推測A_5eq f(1,12)解析 根據所給等式可知，各等式右邊的各項系數之和

11、為1，所以eq f(1,6)eq f(1,2)eq f(5,12)A1，解得Aeq f(1,12).62014日照一中月考 二維空間中圓的一維測度(周長)l2r，二維測度(面積)Sr2，觀察發現Sl；三維空間中球的二維測度(表面積)S4r2，三維測度(體積)Veq f(4,3)r3，觀察發現VS.已知四維空間中“超球”的三維測度V8r3，猜想其四維測度W_.62r4解析 因為W8r3，所以W2r4.72014甘肅天水一中期末 觀察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135.照此規律，第n個等式為_7(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)解

12、析 觀察等式規律可知第n個等式為(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)82014南昌調研 已知整數對的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，則第57個數對是_8(2，10)解析 由題意，發現所給序數列有如下規律：(1，1)的和為2，共1個；(1，2)，(2，1)的和為3，共2個；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和為4，共3個；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為5，共4個；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為6，共5個由此可知，當數對中兩個數字之和為n時，有n1個數對易知第57個數對中兩數之和為12，且是兩數之和為12的數對中的第2個數對，故為(2，10)92014福州模擬 已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數yax(a1)的圖像上任意不同的兩點，依據圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數圖像的上方，因此有結論eq f(ax1ax2,2)aeq f(x1x2,2)成立運