1、Chapter4 目標規劃 ( Goal programming )目標規劃的數學模型目標規劃的圖解法目標規劃的單純形法靈敏度分析（選講）目標規劃應用舉例 本章主要內容：學習要點：1. 理解目標規劃概念； 2. 掌握目標規劃建模技巧； 3. 能夠運用單純形法求解模型。 4.1 目標規劃的數學模型問題的提出引例 產品資源甲乙資源量設備/臺時3218原料A/噸104原料B/噸0212單位贏利/萬元35這是一個單目標的規劃問題,模型為：最優方案：最優值：目標規劃的數學模型線性規劃模型存在的局限性：1）要求問題的解必須滿足全部約束條件，實際問題中并非所有約束都需要嚴格滿足。2）只能處理單目標的優化問題

2、。實際問題中，目標和約束可以相互轉化。3）線性規劃中各個約束條件都處于同等重要地位，但現實問題中，各目標的重要性即有層次上的差別，同一層次中又可以有權重上的區分。4）線性規劃尋求最優解，但很多實際問題中只需找出滿意解就可以。目標規劃的數學模型 產品資源甲乙資源量設備/臺時3218原料A/噸104原料B/噸0212單位贏利/萬元35但企業的經營目標不僅僅是利潤，而且要考慮多個方面，如（1）由市場信息，在生產計劃期內，甲產品的銷量有下降趨勢，作計劃目標要求甲產品的產量不大于乙產品的產量；（2）盡可能充分利用設備臺時，不希望加班生產；（3）計劃利潤指標32，并且盡可能達到或超過這個利潤指標。類似這樣

3、的多目標決策問題就是目標規劃問題目標規劃的數學模型 目標規劃是由線性規劃演變而來的。 1961年美國的查恩斯和庫珀提出了目標規劃的有關概念和模型，以后這種模型得到不斷完善和改進。 線性規劃是研究資源的有效分配和利用的，其模型的特點是在滿足一組約束條件的情況下尋求某一線性目標的極值。 目標規劃是實現目標管理的有效工具，它根據企業制訂的經營目標以及這些經營目標的輕重緩急，考慮到現有資源情況，確定一個滿意方案，使得工作結果達到規定目標或使差距最小。彌補了線性規劃的不足。目標規劃的數學模型目標規劃怎樣解決上述線性規劃模型建模中的局限性？1. 設置偏差變量，用來表明實際值同目標值之間的差異。產生原因：對

4、于企業給定的目標值，可能在實際的決策過程中會出現達不到或者超出的情況，但是具體的數值事先沒有辦法知道，因此是一個變量，把這種變量記做目標的偏差變量。目標規劃的數學模型偏差變量用下列符號表示：d+超出目標的偏差，稱正偏差變量d-未達到目標的偏差，稱負偏差變量正負偏差變量兩者必有一個為0。 當實際值超出目標值時： d+0, d-=0; 當實際值未達到目標值時： d+=0, d-0; 當實際值同目標值恰好一致時： d+=0, d-=0; 故恒有d+d-=0由于在實際決策中，不可能同時出現正負兩個偏差，所以應該有一個變量的值為0，即：目標規劃的數學模型如：在引例中，利潤的目標值為32，可能目標值會達不

5、到，所以加上一個負偏差變量d3-0，把目標函數變成但是同樣，目標值也有可能會超出，所以減去一個正偏差變量d3+0，把目標函數變成綜合考慮后，得到結果其中目標規劃的數學模型 產品資源甲乙資源量設備/臺時3218原料A/噸104原料B/噸0212單位贏利/萬元35可以用同樣的方式來處理其它提出的決策要求：（1）要求甲產品產量不大于乙產品產量。（2）盡可能利用設備臺時，不希望加班。目標值是現擁有的18臺時，0是目標值，是決策值，則目標規劃的數學模型 產品資源甲乙資源量設備/臺時3218原料A/噸104原料B/噸0212單位贏利/萬元35絕對約束：決策變量必須滿足的約束，也稱為硬約束。目標約束：決策過

6、程中決策值和目標值可能出現偏差的約束，也稱軟約束。目標約束是目標規劃特有的約束。如，引例中的是絕對約束.是目標約束.但是問題不同時，軟硬約束也會發生變化，要因地制宜.2. 統一處理軟硬約束。目標規劃的數學模型不同目標的主次輕重有兩種差別：一種差別是絕對的，可用優先因子Pj來表示。只有在高級優先因子對應的目標已滿足的基礎上，才能考慮較低級優先因子對應的目標；在考慮低級優先因子對應的目標時，絕不允許違背已滿足的高級優先因子對應的目標。優先因子間的關系為Pj Pj+1 ，即Pj對應的目標比Pj+1對應的目標有絕對的優先性。另一種差別是相對的，這些目標具有相同的優先因子，它們的重要程度可用權系數wj的

7、不同來表示。3. 目標的優先級與權系數目標規劃的數學模型目標函數由于偏差變量、優先因子和權系數的出現，顯然其構造與線性規劃時的構造要有所不同.決策者的目標是要做到決策值與目標值的偏差能夠盡可能的小，因此目標函數應該是一個與偏差有關的函數：在這里，目標函數的構造根據實際決策與目標的情況，具有下面的3種基本形式。4. 目標函數目標規劃的數學模型（1）要求決策值恰好能夠達到目標值，即正負偏差都盡可能的小，構造形式為：（2）要求決策值不超過目標值，即正偏差盡可能的小，其構造形式為：（3）要求決策值可以超過目標值，即負偏差盡可能的小，其構造形式為：目標規劃的數學模型 產品資源甲乙資源量設備/臺時3218

8、原料A/噸104原料B/噸0212單位贏利/萬元35并要求（1）要求甲產品的產量不大于乙產品的產量；（2）盡可能充分利用設備臺時，不希望加班生產；（3）計劃利潤指標32，并且盡可能達到或超過這個利潤指標.問：如何安排生產可以使得獲利最大？目標規劃的數學模型例1（1）要求甲產品的產量不大于乙產品的產量；（2）盡可能充分利用設備臺時，不希望加班生產；（3）計劃利潤指標32，并且盡可能達到或超過這個利潤指標.（1）產量偏差變量（2）臺時偏差變量（3）利潤偏差變量分析： 產品資源甲乙資源量設備/臺時3218原料A/噸104原料B/噸0212單位贏利/萬元35解：給各個目標約束制訂偏差變量：（1）產量偏

9、差變量（2）臺時偏差變量（3）利潤偏差變量約束條件中，首先是資源的利用不可能超過現有資源量，所以為絕對約束變量在決策過程中對目標的作用為目標約束目標規劃的數學模型 產品資源甲乙資源量設備/臺時3218原料A/噸104原料B/噸0212單位贏利/萬元35產量希望甲比乙少，故臺時希望能夠不浪費，故：利潤希望比較高，故：綜合上面的3個目標，得到本問題的目標函數：目標規劃的數學模型綜合得到本問題的數學模型目標規劃的數學模型目標規劃數學模型的一般形式達成函數目標約束其中：gk為第k個目標約束的預期目標值， 和 為pl 優先因子對應各目標的權系數。目標規劃的數學模型目標規劃問題建立模型的步驟：1. 根據要

10、研究的問題所提出的各目標與條件，確定目標值，列出目標約束與絕對約束；2. 根據決策者的需要將某些或全部絕對約束轉化為目標約束，只需給絕對約束加上負偏差和減去正偏差變量即可；3. 給各目標賦予相應的優先因子pk；4. 對同一優先級中的各偏差變量，若需要，賦予相應的權系數.目標規劃的數學模型5. 根據決策者的要求，按下列三種情況： A）恰好達到目標值 B）允許超過目標值 C）不允許超過目標值構造一個由優先因子和權系數相對應的偏差變量組成的，要求實現極小化的目標函數.用目標規劃求解問題的過程：明確問題，列出目標的優先級和權系數構造目標規劃模型求出滿意解滿意否？分析各項目標完成情況據此制定出決策方案N

11、Y目標規劃的數學模型目標規劃的數學模型：目標規劃的數學模型某廠計劃在下一個生產周期內生產甲乙兩種產品，已知資源消耗、利潤如下：單位 產品 消耗資源甲乙資源限制鋼材943600煤炭452000設備臺時3103000單位利潤70120制定生產計劃，使總利潤最大.目標規劃的數學模型例2若提出下列要求：第1級目標：完成或超額完成利潤指標50000元；第2級目標：甲的產量不超過200件；乙的產量不低于250件；并依照利潤確定權系數 第3級目標：現有鋼材3600噸必須用完目標規劃的數學模型目標規劃的數學模型P1：充分利用現有工時，必要時可以加班；P2：A，B，C的最低產量分別為5，5，8臺，并依單位工時的

12、利潤比例確定權系數；P3：生產線加班時每月不超過20小時；P4：A，B，C的月銷售指標分別定為10，12，10臺，依單位工時利潤比例確定權系數.試建立目標規劃模型.練習： A、B、C三種計算機，在一條生產線上裝配。裝配時間分別為5，8，12小時；利潤分別為每臺1000元，1440元，2520元。生產線每月正常運轉170小時。該廠的經營目標為：答案目標規劃的數學模型目標規劃的數學模型4.2 目標規劃的圖解法目標規劃的圖解法：適用兩個變量的目標規劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標規劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟：1. 將所有約束條件（包括目標約束和絕對約束，暫不考慮

13、正負偏差變量）的直線方程分別標示于坐標平面上。2. 確定系統約束的可行域。3. 在目標約束所代表的邊界線上，用箭頭標出正、負偏差變量值增大的方向。目標規劃的圖解法4. 求滿足最高優先等級目標的解；5. 轉到下一個優先等級的目標，再不破壞所有較高優先等級目標的前提下，求出該優先等級目標的解；6. 重復5，直到所有優先等級的目標都已審查完畢為止；7. 確定最優解和滿意解。目標規劃的圖解法用圖解法求解下列目標規劃問題例1目標規劃的圖解法(a)(b)(c)(d )x2x1(e)(f)d1-d1+d2+d2-d3-d3+d4-d4+滿意解(3,3)04683462 2目標規劃的圖解法x1x2(a)(b)

14、d1+d1-(c)d2-d2+(d)d3-d3+GD滿意解是線段GD上任意點其中G點X(2,4),D點X(10/3,10/3)05.51055.6112,410/3,10/35107例2目標規劃的圖解法Ox1x22040605020406050abd1-d1+d2-d2+cdd3-d3+d4-d4+(24,26)滿意解X=(24，26)例3目標規劃的圖解法 已知一個生產計劃的線性規劃模型如下，其中目標函數為總利潤，x1,x2 為產品A、B產量。現有下列目標：1. 要求總利潤必須超過 2500 元；2. 考慮產品受市場影響，為避免積壓，A、B的生產量不超過 60 件和 100 件；3. 由于甲資

15、源供應比較緊張，不要超過現有量140。試建立目標規劃模型，并用圖解法求解。例4目標規劃的圖解法解：以產品 A,B 的單件利潤比 2.5 :1 為權系數，模型如下：目標規劃的圖解法0 x2 0 x114012010080604020 20 40 60 80 100ABCDC(60 ,58.3)為所求的滿意解。(24,26)目標規劃的圖解法4.3 目標規劃的單純形算法一、目標規劃求解思路目標規劃與線性規劃的數學模型基本相同，可以利用單純形法求解目標規劃問題。求解的思路是：先使最高優先級p1的目標達到最優；當p1級的目標達到最優后轉向p2級的目標；當p2級的目標達到最優后轉向p3級目標；依次類推。這

16、樣可以保證不會出現為滿足較低級目標的要求而犧牲較高級目標的要求。目標規劃的單純形算法給定目標規劃問題的一個基可行解后，其非基變量的檢驗數中含有優先因子由于因此，檢驗數的正負首先取決于p1的系數的正負，當p1的系數為0時，檢驗數的正負取決于p2的系數的正負。依次類推。目標規劃的單純形算法二、單純形表求解目標規劃的步驟1、建立初始單純形表，在表中將檢驗數行按優先因子數分別列成行，令k=1；2、檢查檢驗數的第k行是否有負數，且對應的前k-1行的系數為0。若有，取其中最小者對應的變量為換入變量，轉3；若無負數，則轉5；3、按最小比值規則確定換出變量。當存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優

17、先因子的變量為換出變量，轉4；4、按單純形法進行基變換,建立新的單純形表,轉25、當k=K時，計算結束；否則令k=k+1，返回2.目標規劃的單純形算法例1解：將問題轉化為標準型：取為初始基變量,建立單純形表并計算。目標規劃的單純形算法p1p2p2p3x1x2x3x4d-1d+1d-2d+2d-3d+30 x34110 x412210d-101-11-1p2d-218321-1p3d-332351-1 jp11p2-3-22p3-3-514-0632/3目標規劃的單純形算法p1p2p2p3x1x2x3x4d-1d+1d-2d+2d-3d+30 x3411-110 x412210 x101-11-

18、1p2d-2185-331-1p3d-3328-331-1 jp11p2-53-32p3-83-3146-18/54目標規劃的單純形算法p1p2p2p3x1x2x3x4d-1d+1d-2d+2d-3d+30 x32/51-2/52/5-1/51/50 x424/516/5-6/5-2/52/50 x118/512/5- 2/51/5-1/50 x218/51-3/53/51/5-1/5p3d-316/59/5-9/5-8/58/51-1 jp11p211p3-9/59/58/5-8/51-49-16/9目標規劃的單純形算法p1p2p2p3x1x2x3x4d-1d+1d-2d+2d-3d+30

19、x310/91- 5/95/92/9-2/90 x48/312/3-2/3-2/32/30 x126/915/9-5/9-2/92/90 x214/31-1/31/31/3-1/30d-116/91-1-8/98/95/9-5/9 jp11p211p31目標規劃的單純形算法最后可以得出滿意解決策值恰好達到利潤的目標值，比原問題中的最大利潤少了4個單位。目標規劃的單純形算法例2解：轉成標準形目標規劃的單純形算法000p1p10p2x1x2x3d1-d1+d2-d2+0 x361010000p1d1-22-101-1000d2-62-30001-1p1-212p210 x3501/21-1/21/

20、2000 x111-1/201/2-1/2000d2-40-20-111-1p1011p21613目標規劃的單純形算法4.4 目標規劃應用實例某種牌號的酒系是用3種等級的酒勾兌而成。已知各種等級酒的每天供應量和單位成本如下：等級1：供應量1500單位/天，成本6元/單位等級2：供應量2000單位/天，成本4.5元/單位等級3：供應量1000單位/天，成本3元/單位這種牌號的酒有3種商標（紅、黃、藍），各種酒的勾兌配比與售價如下：商標配比售價紅(1)等級3少于10%等級1多于50%5.5黃(2)等級3少于70%等級1少于20%5.0藍(3)等級3少于50%等級1多于10%4.8為保持聲譽，確定經

21、營目標為：1、勾兌配比必須嚴格按照要求2、企業獲取盡可能多的利潤3、紅色商標的酒每天產量不得少于2000單位試建立問題的規劃模型。目標規劃的應用舉例解：設i，j=1，2，3分別表示序號xij: 第i等級的酒在第j種商標酒中的數量yj: 第j商標的酒產量產量約束條件（絕對）原料約束條件（絕對）目標規劃的應用舉例配比約束條件（目標）目標規劃的應用舉例利潤約束條件（目標）紅色商標酒產量約束條件（目標）目標函數：目標規劃的應用舉例已知某實際問題的線性規劃模型為假定重新確定這個問題的目標為：p1: z的值應不低于1900；p2: 資源1必須全部利用。將此問題轉換為目標規劃問題，列出數學模型。目標規劃的應用舉例目標規劃的應用舉例 一位投資商有一筆資金準備購買股票。資金總額為90000元，目前可選的股票有A和B兩種（可以同時投資于兩種股票）。其價格以及年收益率和風險系數如下表： 從上表可知，A股票的收益率為（320）10015，股票B的收益率為4501008，A的收益率比B大，但同時A的風險也比B大。這也符合高風險高收益的規律。 試求一種投資方案，使得一年的總投資風險不高于700，且投資收益不低于10000元。股