1、工程(gngchng)問題第四講：周期性工程問題例1：一項工程(gngchng)，甲單獨做需要12小時，乙單獨做需要18小時。若甲做1小時后乙接替甲做1小時(xiosh)，再由甲接替乙做1小時兩人如此交替工作，問完成任務時需共用多少小時？解：把2小時的工作量看做一個循環，先求出循環的次數。需循環的次數為：1（ EQ F(1,12) + EQ F(1,18) ）= EQ F(36,5) 7（次）7個循環后剩下的工作量是：1-（ EQ F(1,12) + EQ F(1,18) ）7= EQ F(1,36) 余下的工作兩還需甲做的時間為： EQ F(1,36) EQ F(1,12) = EQ F(1

2、,3) （小時）完成任務共用的時間為：27+ EQ F(1,3) =14 EQ F(1,3) （小時）答：完成任務時需共用14 EQ F(1,3) 小時。練習1：一項工程，甲單獨做要6小時完成，乙單獨做要10小時完成。如果按甲、乙；甲、乙的順序交替工作，每次1小時，需要多少小時才能完成？一部書稿，甲單獨打字要14小時，乙單獨打字要20小時。如果先由甲打1小時，然后由乙接替甲打1小時；再由甲接替乙打1小時兩人如此交替工作，打完這部書稿共需用多少小時？一項工作，甲單獨完成要9小時，乙單獨完成要12小時。如果按照甲、乙；甲、乙的順序輪流工作，每人每次工作1小時，完成這項工程的2/3共要多少時間？例2

3、：一項工程(gngchng)，甲、乙合作26 EQ F(2,3) 天完成(wn chng)。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數天完成。如果(rgu)第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項工程由甲單獨做要多少天才能完成？解：由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數為奇數，否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數必定相同。根據“甲先”的輪流方式為奇數，兩種輪流方式的情況可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙 + 甲半天豎線左邊做的天數為偶數，誰先做沒關系。豎線右邊可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是

4、乙的2倍。甲每天能做這項工程的126 EQ F(2,3) EQ F(2,1+2) = EQ F(1,40) 甲單獨做完成的時間1 EQ F(1,40) =40（天）答：這項工程由甲單獨做需要40天才能完成。練習2：一項工程，乙單獨做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項工程由甲獨做幾天可以完成？一項工程，甲單獨做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，恰好也用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多 EQ F(1,3) 天才能

5、完成。這項工程由甲、乙合作合作幾天可以完成？一項工程，甲、乙合作12 EQ F(3,5) 小時可以完成。如果第一小時甲做，第二小時乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數小時完成。如果第一小時乙做，第二小時甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多 EQ F(1,3) 小時才能完成。這項工程由甲獨做幾小時可以完成？例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(zhngsh)天數完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次(shn c)輪流完成時所用的天數后，還剩60個不能完成(wn chng)。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少個？解：由題意可以推

6、出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數為奇數，否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數必定相同。根據“甲先”的輪流方式為奇數，兩種輪流方式的情況可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙 + 還剩60個豎線左邊做的天數為偶數，誰先做沒關系。豎線右邊可以看出，剩下的60個零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的個數為：60（5-3）5=150（個） 乙每天做的個數為：60（5-3）3=90（個）答：甲每天做150個，乙每天做90個。練習3：一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數天完成。如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所

7、用的天數后，還剩84個不能完成。已知師、徒工作效率的比是7：4。師、徒二人每天各做多少個？一項工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做要多 EQ F(2,5) 天才能完成。如果讓甲、乙二人合作，只需2 EQ F(5,8) 天就可以完成?，F在，由乙獨做需要幾天才能完成？紅星機械廠有1080個零件需要加工。如果第一小時讓師傅做，第二小時讓徒弟做，這樣交替輪流，恰好整數小時可以完成。如果第一小時讓徒弟做，第二小時讓師傅做，這樣交替輪流，做到上次輪流完成時所用的天數后，還剩60個不能完成。如果讓師、徒二人合作，只需3小時36分就能完成。

8、師、徒每小時各能完成多少個？例4：打印(d yn)一部稿件，甲單獨打要12小時完成，乙單獨打要15小時完成?，F在，甲、乙兩人輪流工作(gngzu)。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時(xiosh)如此這樣交替下去，打印這部書稿共要多少小時？解：根據已知條件，我們可以把6小時的工作時間看做一個循環。在每一個循環中，甲、乙都工作了3小時。每循環一次，他們共完成全部工程的（ EQ F(1,12) + EQ F(1,15) ）3 EQ F(9,20) 總工作量里包含幾個9/20：1 EQ F(9,20) =2 EQ F(2,9) 甲、乙工作兩個循環后，剩

9、下全工程的1- EQ F(9,20) 2 EQ F(1,10) 由于 EQ F(1,10) EQ F(1,12) ，所以，甲工作1小時后剩下的工作由乙完成還需的時間為：（ EQ F(1,10) - EQ F(1,12) ） EQ F(1,15) EQ F(1,4) （小時）打印這部稿件共需的時間為：62+1+ EQ F(1,4) =13 EQ F(1,4) （小時）答：打印這部稿件共需13 EQ F(1,4) 小時。練習4：一個水池安裝了甲、乙兩根進水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開乙管，18分鐘能把空池灌滿。現在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，乙2分鐘，甲2分鐘，乙1分鐘，甲1分

10、鐘，乙2分鐘如此交替下去，灌滿一池水共需幾分鐘？一件工作(gngzu)，甲單獨做，需12小時完成；乙單獨做需15小時完成。現在，甲、乙兩人輪流工作，甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時如此交替下去(xi q)，完成這件工作共需多少小時？一項工程，甲單獨做要50天完工，乙單獨做需60天完工?，F在，自某年的3月2日兩人一起開工，甲每工作3天則休息(xi xi)1天，乙每工作5天則休息一天，完成全部工程的 EQ F(52,75) 為幾月幾日？一項工程，甲工程隊單獨做完要150天，乙工程隊單獨做完需180天。兩隊合作時，甲隊做5天，休息2天，乙隊做6天，休

11、息1天。完成這項工程要多少天？例5：有一項工程(gngchng)，由甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數天完成呢感。如果(rgu)按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原計劃(jhu)多用 EQ F(1,3) 天。已知甲單獨做13天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？解：由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數必定是3的倍數余1或余2。如果是3的倍數，三種輪流方式完工的天數，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序輪流做，用的天數是3的倍數余1。三種輪流方式做的情況可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，甲乙

12、丙， 甲乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙 EQ F(1,2) 丙丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙 EQ F(1,3) 甲從中可以退出：丙= EQ F(2,3) 甲；由于乙=甲 EQ F(1,2) 丙=甲 EQ F(2,3) 甲 EQ F(1,2) ，又推出乙= EQ F(2,3) 甲；與題中“三個工程隊的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序輪做，用的天數必定是3的倍數余2。三種輪流方式用的天數必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲乙乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙丙 EQ F(1,2) 甲丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙甲 EQ F(1,3) 乙由此推出：丙= EQ F(1,2) 甲，丙= EQ

13、F(2,3) 乙丙隊每天做這項工程的 EQ F(1,13) EQ F(1,2) = EQ F(1,26) 乙隊每天做這項工程的 EQ F(1,26) EQ F(2,3) = EQ F(3,52) 甲、乙、丙合作(hzu)完工需要的時間為1（ EQ F(1,13) + EQ F(1,26) + EQ F(3,52) ）=5 EQ F(7,9) （天）答：甲、乙、丙合作(hzu)要5 EQ F(7,9) 天完工(wn n)。練習5：有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好用整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用 EQ F(1,3) 天；如果按丙、甲、乙次序

14、做，比原計劃多用 EQ F(1,4) 天。已知甲單獨做7天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用 EQ F(1,2) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原計劃多用 EQ F(1,2) 天。已知甲單獨做10天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？例6：某工程如果由一，二，三小隊合干，需要8天完成；由二，三，四小隊合干，需要10天完成；由一，四小隊合干，需要15天完成。如果按一，二，三，四，一，二，三，四.的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？解： 一,二,三小隊(xiodu)合干,每天干1/8 二,三,四小隊(xiodu)合干，每天干1/10 一,四小隊(xiodu)合干,每天干1/15 所以，二三合干一天為(1/8+1/10-1/15)/2=19/240 所以，一二三四合