1、布朗尼蛋糕(dngo)盤摘 要電烤箱由于(yuy)其加熱時間短，耗能低，使用便捷的特點，被越來越多的人所認可，并因此成為家電行業的一枝新秀。在電烤箱中，烤盤的形狀一般為矩形或圓形，當使用矩形烤盤烘烤食物時，熱量集中在四個角上，導致邊角處物體因過度受熱而變焦，因此雖然(surn)矩形烤盤雖然能夠有效的利用烤箱空間，但烤出來的食物質量不高。如果用圓形烤盤，熱量會平均分布在整個外圍邊緣，在外圍的物體就不會過度受熱，而用圓形的烤盤雖能保證質量，但烤箱空間很浪費。那么，如何才能夠設計一種烤盤，既能在保證烤出食物質量的同時，盡可能的增加烤箱空間的利用率和食物的視覺效果？在假定烤箱的面積為，寬長比為變量，單

2、個烤盤的面積為,同一烤制過程中烤盤的大小形狀都完全相同的情況下，建立數學模型求解了三種問題：即烤盤數量最多的最大空間利用問題，烤盤平均熱量分布最大的烤制最佳質量問題，空間利用與烤制質量綜合考慮的雙目標最優化最大的問題。具體為：首先：為了解決烤箱空間的利用率最大，即烤盤的數量最多的問題，我們建立了單元正規密鋪模型，并證明了只有正三角形，正方形，正六邊形能夠達到無縫隙密鋪。并依據已知條件建立了正方形、正六邊形的密鋪單元個數的上下取整模型，給出了三種情況下的單元個數，得到了正方形單元密鋪時，個數最多，并通過實際尺寸為的電烤箱， 的烤盤進行了驗證，解得，檢驗了模型的正確性。然后：為了解決烤制質量，即烤

3、盤的平均熱量分布最大的問題，我們將溫度場的尖端熱效應現象類比于電場的尖端熱效應現象，建立了溫度分布函數的尖端熱效應模型，從理論上推導出了溫度分布函數、平均熱量分布函數與尖端距離、半頂角之間的關系式，分析了其單調關系，得出了當半頂角時，即烤盤為圓形時，曲率最小，最大。通過Matlab對該模型進行了仿真，通過三維仿真溫度分布圖得知，曲率最大，即圓形密鋪時最大，與理論推導結果一致。并通過利用已有的輻射傳熱模型對尖端熱效應模型進行了進一步的驗證，證明了該模型的合理性。最后：為了綜合考慮烤箱的空間利用率和烤制質量，在寬長比的范圍內，引入權重，基于經濟學中的埃奇沃思框圖理論，考慮效應函數最大，建立了雙目標

4、規劃最優模型，通過雙目標規劃模型和蛛網模型兩種方法進行求解，均得出當時，正六邊形密鋪時為最優結果。兩種方法求解結果的相同性，達到了驗證模型可靠性的目的。并考慮正六邊形的尖端圓角化對密鋪進行改造，對模型進行了推廣，增加烤制質量的同時，還提高了烤制蛋糕的美觀性。總之，本文在合理假設的前提下，建立模型對以上三個問題進行了研究，并通過Matlab仿真、實證研究、一題多解等手段對模型進行了驗證，最終給出了滿足烤箱空間利用率、烤制質量等要求(yoqi)的結果，最終為蛋糕盤的設計奠定了理論基礎。1 序言(xyn)家用(jiyng)電烤箱由于其使用價值被越來越多的人所認可，并因此成為家電行業的一枝新秀。近年來

5、，新型電烤箱的技術含量增加，普遍采用遠紅外加熱技術，具有加熱時間短，耗能低，使用便捷的特點，深受廣大用戶的歡迎。從理論上講，利用紅外線加熱物體，就是利用輻射波長與物體接收波長一致時，物體吸收大量的紅外能，從而加劇物體內部的分子運動，使之加熱升溫，最終達到烤制的目標。在電烤箱中，一般采用鋁制的烤盤作為工具和介質來進行烤制，烤盤的形狀依據烤箱內箱的形狀來確定，大多數為矩形烤盤。但是，當使用矩形烤盤烘烤食物時，熱量集中在四個角上，導致邊角處物體因過度受熱（以及在較小程度的邊緣處）而變焦，因此雖然矩形烤盤雖然能夠有效的利用烤箱空間，但烤出來的食物質量不高。如果用圓形烤盤，熱量會平均分布在整個外圍邊緣，

6、在外圍的物體就不會過度受熱。然而，由于大多數的烤箱都是矩形的，而用圓形的烤盤雖能保證質量，但烤箱空間很浪費。這給烤箱的使用者造成了很大困擾。如何能在保證烤出食物質量的同時，盡可能的增加烤箱空間的利用率和食物的視覺效果，成為一個值得研究的問題。2.烤箱內的熱傳導分析與基本知識2.1 烤箱內的熱傳導分析解決烤箱內烤盤邊緣的熱量分布問題之前，首先需要了解烤箱的加熱原理。通過烤箱的使用說明書可知其加熱原理為：電阻絲通電變熱，期間使電能轉化為熱能，箱體內的溫度隨之提高，繼而對食物進行烘烤至熟。這個過程是由外至里的，通俗的理解，烤箱就像一個封閉的爐子，其內部主要是靠熱輻射來達到熱量傳遞。觀察烤箱的內部結構

7、不難發現，烤箱內部一般裝有風扇或留有進、出風口，這樣就會使烤箱內部由于對流傳熱而達到一個溫度均勻的狀態。那么是什么因素導致有的蛋糕會烤焦呢？為解決這個疑問，分析烤箱的內部機理，可以得知：熱傳遞過程往往是傳導、對流與輻射同時進行或至少其中兩種同時進行，而由烤箱熱源發出的輻射熱混合對流過程后，烤箱內部整個空間的空氣的溫度都是均勻的，也就是說，烤盤邊緣溫度分布與熱傳導過程有關。接下來要具體分析一下這個結論的正確性。熱傳導實質是由大量物質的粒子熱運動互相撞擊，而使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分，或由高溫物體傳給低溫物體的過程。在固體中，熱傳導的微觀過程是：在溫度高的部分，晶體中結點上的微粒振動動能較

8、大。在低溫部分，微粒振動動能較小。因微粒的振動互相聯系，所以在晶體內部就發生微粒的振動，動能由動能大的部分向動能小的部分傳遞。在固體中熱的傳導，就是能量的遷移。在金屬物質中，因存在大量的自由電子，在不停地作無規則的熱運動。自由電子在金屬晶體中對熱的傳導起主要作用。自由電子劇烈運動會向尖端聚集，從而使尖端的內能相對更大，產生尖端熱效應現象?？梢酝ㄟ^建立溫度場場強與幾何圖形半頂角的關系方程得到烤盤邊緣熱量分布。2.2 基本(jbn)假設(1)假設(jish)烤箱(ko xin)的寬長比為一個變量,并設定烤箱的面積為，每個烤盤的面積為，簡化在排列烤盤過程中的一些不確定因素，使排列過程能夠進行。(2)

9、 假設烤箱內烤架既貼近實際，又能做到分層空間均等的，以保證烤箱內部溫度場均勻，上下兩層烤盤互不影響。(3)假設烤箱內空氣流通，所研究物體是各向同性的連續介質（空隙大小物體幾何尺寸），同一烤制過程中烤盤具有規則的形狀，并且各個烤盤的大小、形狀完全相同。2.3 基本概念(1)熱傳導：在物體內部或相互接觸的物體表面之間，由于分子、原子、及自由電子等微觀粒子的熱運動而產生的熱量傳遞現象。既可發生在固體內部，也可發生在靜止的液體和氣體之中。(2)熱輻射：由于物體內部微觀粒子的熱運動而使物體向外發射輻射能的現象。(3)尖端效應：熱能在獨立物體中會向尖端（幾何形狀的末梢）推移集中的物理現象，其中包含尖端熱效

10、應現象。(4)溫度梯度：等溫面沿法向方向的方向導數叫溫度梯度。(5)密鋪：指任何一種圖形，如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做“密鋪”。3 基于烤盤數量最大的密鋪模型3.1 密鋪的定義及分類密鋪，也就是某形狀的鋪物被用來不交疊亦無縫隙的鋪滿整個平面。即：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的鑲嵌1-2,在一種密鋪的圖案里如果基本元素圖案只有一種，稱之為單元密鋪，否則稱為多元密鋪。在單元密鋪里，如果基本元素是正多邊形(正三邊形，正方形，正五邊形，正六邊形等等)，這種密鋪便稱為(單元)正規密鋪. 若

11、在密鋪時各個基本元素圖案的邊與邊完全吻合，則稱這種密鋪為棱對棱密鋪，如圖1，圖2所示。若同時滿足正規性和棱對棱性，則稱為單元正規棱對棱密鋪。圖1 棱對棱密鋪圖2 非棱對棱密鋪3.2 基于烤盤問題(wnt)的單元正規密鋪模型為使烤箱(ko xin)容納烤盤數最多，在選擇烤盤形狀時，應首先考慮烤盤的相同性，規則性，然后應考慮使烤盤在不重疊的前提下覆蓋面積達到最大?；谝陨纤伎迹卧幟茕伳Ｐ?。具體(jt)推導如下3：在密鋪過程中，正邊形的每一個內角為要實現密鋪，首先要保證頂點匯集處，整數個內角之和為，若設某固定點的頂角個數為,則有整理得到所以 也就是說，在正多邊形中，能夠無縫隙密鋪的只有正三

12、角形、正方形和正六邊形密鋪效果圖如下：圖3矩形區域的正三角形單元的密鋪效果圖4矩形區域(qy)的正方形單元的密鋪效果圖5矩形(jxng)區域的正六邊形單元的密鋪效果由于在本題中圖形(txng)從矩形過渡到圓形，因此，正三角形不必考慮。矩形在進行密鋪時，在與烤箱邊界接觸時能無縫隙的重合，而正六邊形在邊界處是一定存在縫隙的，其它過渡圖形如正五邊形、正八邊形、圓形等，在密鋪的過程中，不僅在邊界處有縫隙，而且圖形之間也存在縫隙，下面給出正方形和正六邊形密鋪狀態下、圓形非密鋪狀態下的單元的個數，并進行比較。首先假設在理想狀態下，即烤箱內壁與烤盤能完全對接的情況下，密鋪單元的個數為但是實際情況中，并不是總

13、能鋪滿烤箱，邊界上留下的縫隙距離不足以重新密鋪一個新的單元時，求出的單元個數實際個數，邊界上的縫隙會造成很大的誤差。因此，可以利用上下取整模型對密鋪模型進行改進，進一步求得烤箱長、寬和烤盤單元的個數之間的關系。（1）正方形單元：（2）正六邊形單元：（3）圓形單元(dnyun)：其中(qzhng)分別表示(biosh)上取整和下取整函數。結合實際情況，參考家用電烤箱的實際尺寸為，烤盤的面積為，代入上式，計算得到矩形的個數為25，正六邊形個數為18，圓形個數為16。據此得出結論，矩形是最佳選擇。4 基于平均熱量分布最大的尖端熱效應模型溫度場和電場有許多類似的物理量，如等溫線與等勢線、等溫面與等勢面

14、、溫度梯度與場強梯度等。通過查閱資料得知，在電場中存在尖端效應4-5，在溫度場中存在尖端熱效應6-8，兩種效應有許多相似的特征，所以可以把溫度場中的尖端熱效應類比于電場中的尖端效應。4.1 尖端熱效應模型首先以一個簡單的尖頂形狀為例進行分析，如下圖所示：圖6 尖頂圖形其表面的溫度場函數為 （1） （2） （3）將（1）、（2）代入（3）中，可得溫度(wnd)分布函數(hnsh)為 （4）其中(qzhng)為距離尖端頂點的距離，分別為半頂角的弧度值和角度值，平均熱量分布函數 (5)為簡化計算，該強度是在假設尖端溫度為0的條件下得到的，為待定常量。考慮本文研究的是尖端，所以認為，即。根據式（4）得

15、到尖端溫度場與半頂角（用弧度表示）之間的關系，由關系式可得當固定時，時，固定時，時，當時，并且其中為常數，且。從上式可以得出，當，遠離常數0時，溫度趨于平穩，因此平均熱量分布函數的大小主要取決于，在取0時附近的溫度值。在總熱量保持恒定的前提下，可以得出：（1）當時，溫度值時，總體平均熱量分布。（2）在尖端附近，如果半頂角，曲率，變化緩慢，。綜上可得，當半頂角，也就是取圓形時，曲率最小，平均熱量分布函數取最大。4.2 尖端熱效應模型的Matlab仿真通過Matlab仿真9-10實現了半頂角固定，溫度與距離間的變化過程，見圖4(a)。實現了距離固定，溫度與半頂角間的變化過程，見圖4(b)。實現了溫

16、度與半頂角和距離兩個因素間的變化過程，見圖4(c)。圖7(a) 尖端(jindun)溫度場隨到角端距離的變化圖7(b) 尖端(jindun)溫度場隨著半頂角的變化圖7(c) 尖端(jindun)溫度場溫度分布圖根據圖7(a)可知：隨著到尖端的距離的增大，溫度的變化趨于平穩，即溫度分布相對均勻，也就是說，在尖端附近，溫度的變化比較劇烈，溫度分布不均勻。根據圖7(b)可知：隨著尖端角度的增大，曲率減小，溫度的變化趨于平穩，即溫度分布相對均勻，也就是說，在尖端角度越小時，曲率越大，溫度的變化比較劇烈，溫度分布不均勻。綜上可知，距離尖端越近，角度越小即曲率越大時，溫度分布越不均勻，反之，距離尖端較遠，

17、角度越大即曲率越小時，溫度分布越均勻，如圖7(c)所示。因此可以得知：由矩形到圓形過渡的圖形中，圓形的曲率最小，所以圓形烤盤邊緣平均熱量分布最均勻，與理論推導結果一致。4.3 輻射傳熱模型驗證結果為了驗證尖端熱效應模型的合理性和正確性，用常規的輻射傳熱模型來考慮平均(pngjn)熱量分布問題。電烤箱的工作原理是由于電烤箱的電阻元件發熱以輻射熱的方式給電烤箱內的物體加熱。由輻射熱的傳熱量(rling)公式11其中(qzhng):為輻射傳熱量，為輻射傳熱系數，為溫度差，為傳熱方向上的導熱面積。我們可以看出電烤箱內物體所吸收的熱量與傳熱接觸面積有關，且當傳熱接觸面積增大時，烤盤的吸熱量也會增大。當烤

18、盤形狀從矩形到圓形變化，在烤盤面積一定的情況下，,，。所以對于矩形烤盤和圓形烤盤，烤盤高度相同，矩形的吸熱量大于圓形烤盤的吸熱量（）所以在相同時間內（將面包烤熟），矩形烤盤內部溫度較高，在邊緣和邊角處容易烤焦。所得結論能夠解釋問題中的現象，同時與尖端熱效應模型結論一致，說明上述將溫度場類比于電場，并設計的尖端熱效應模型是可行的。5 基于烤盤數量與熱量分布的雙目標規劃模型在選擇烤盤形狀時要考慮兩方面因素：圖形密鋪效果和烤盤邊緣熱量分布。當選取與烤箱邊長比一致的矩形烤盤時，存在烤盤完全密鋪烤箱的情況，能夠充分利用烤箱空間。這樣，在面積A相等的情況下，烤盤為矩形時，箱內所能容納的烤盤數量最多。但是，

19、由尖端熱效應模型可知，烤盤邊角越尖，曲率越小，即角度越小，其溫度梯度變化越大，溫度分布越不均勻。同時由于邊角處溫度場疊加，使得溫度升高，導致邊角處食物越容易變焦。圖8矩形熱量分布圖由尖端熱模型求解結果分析，圓形的曲率最大，溫度梯度變化平穩，溫度分布均勻，所以圓形烤盤邊緣熱量分布最均勻，食物不易烤糊。從這個角度考慮，選擇圓形烤盤。然而，圓形的密鋪效果相對來說比較差，烤盤之間縫隙大，造成烤箱空間的浪費。圖9圓形熱量(rling)分布圖顯然，綜合考慮時，矩形(jxng)和圓形都不是最佳的選擇。5.1 雙目標規劃(guhu)模型在考慮烤箱的外觀的美觀性的前提下，依據黃金分割理論，假定烤箱的寬長比為定值

20、，即使有變化也變化不大，也就是不會出現狹長形狀的烤箱這種情況。根據題意要求，建立雙目標規劃的埃奇沃思模型12，構造關于烤盤個數、平均熱量分布函數兩個目標因素的效用函數的方程為：其中：式中，為效用函數，為權重，為烤盤單元數量，為平均熱量分布函數，為正多邊形的邊數。埃奇沃思框圖如下：圖10 埃奇沃思盒圖其中為烤箱內烤盤單元的最大數量、為平均熱量分布。紅色的曲線為烤箱內烤盤單元的最大數量，其原點在左下角。說明忽略熱量分布的情況下，烤盤邊數越少，越趨近于矩形，烤箱內所能容納的烤盤數越多，也就是效應越大，無差異曲線離原點越遠效應越大；藍色的曲線為平均熱量分布，其原點在右上角，說明在不考慮烤盤數量的前提下

21、，隨著邊數越來越多，熱量分布越來越均勻，效應越大。在圖10中找到一點，使得烤盤數量的效應和烤盤邊緣熱量分布的效應綜合達到最大，即圖中的點。顯然(xinrn)可見，當時，為烤盤數量(shling)最多的密鋪模型(mxng)，其結果為正方形密鋪；當時，為平均熱量分布函數最大的尖端熱效應模型，其結果為圓形（正多邊形，其中）。因此考慮當需要烤盤數量相對較多，但平均熱量分布也相對較大的情況下，去權重為。則令帶入公式可得解之得即選擇正六邊形的烤盤能同時滿足數量最多，受熱最均勻。5.2 蛛網模型由于在烘烤過程中，如果烤盤為矩形，熱量主要集中在四個角，成品的角處會易焦。在圓形烤盤內，熱量平均分布在外部邊緣，最

22、后的成品邊緣不會烤焦。由問題一、二分析可知，烤盤的形狀應該為正多邊形，并且隨著邊數的增加，會使烤盤浪費的空隙增大，烤箱容納的烤盤數會減小。由此我們建立了蛛網模型13-14，令表示烤盤為正多邊形的邊數，表示烤箱容納效用（烤箱容納效用即為使用者對烤箱容納烤盤數的滿意度）根據文獻15得到烤箱容納效用與烤盤邊數的關系式： （1）其中，當時，此時的多邊形為圓。以表示烤盤的平均熱量分布效用，即使用者對蛋糕質量的滿意程度，根據文獻15得到烤盤的平均熱量分布效用與烤盤邊數的關系為： （2）用matlab做函數（1）、（2）的圖像為：圖11 烤箱容納(rngn)效用函數和平均熱量分布效用函數對應(duyng)的

23、程序為：x=5:0.0001:7;g=-x.*x+10*x-22;h=x.*sin(x-5).*sin(x-5)-5* sin(x-5).*sin(x-5);plot(x,g)hold onplot(x,h)從圖像顯示隨著角數的增加(zngji)，烤箱容納效用是減少的，烤箱的平均熱量分布效用是增加的。當烤箱容納效用增加時，烤箱的平均熱量分布效用減??；當烤箱的平均熱量分布效用增加時，烤箱容納效用減小，此模型即為蛛網模型。由蛛網模型定理可知，函數與的交點即是系統穩定點，即。由于為正多邊形的邊數，則為所求結果，說明正六多邊形比較滿足問題3的要求,但此時仍存在著尖端熱效應所造成的溫度集中現象，我們可將

24、正六邊形邊角弧度化，這樣就大大減弱了由于邊角溫度集中而造成的燒焦現象。由此，我們給出了在權重不同，即顧客對烤出的蛋糕要求不同時，選擇烤盤形狀的流程圖，如下圖所示：In p是否P是否在00.3P是否在0.40.6P是否在0.71輸出圓形輸出正六邊形形輸出矩形是是否圖12 選擇烤盤形狀流程圖 觀察上圖，根據不同P值對應的不同結果，我們給出如下建議：當對蛋糕數量要求較高時，選擇矩形烤盤；當質量成為第一(dy)考慮要素時，選擇圓形烤盤，如一些品牌蛋糕店；當對兩者沒有特殊要求時，或希望兩者綜合考慮效果最好時，選擇正六邊形烤盤。六、模型(mxng)評價與改進(gijn)評價：本文通過分析得知，溫度場和電場

25、有許多相似的性質，把溫度場類比于電場，建立尖端熱效應模型，此模型想法獨特，通過類比對尖端熱效應進行深一步的理解和探討，同時本模型也為溫度場中尖端熱效應問題的研究開拓了一個新方向，避開了在求解二維、三維導熱微分方程中遇到的困難。并且又利用輻射傳熱傳熱量的計算公式進行推導，進一步驗證了模型的準確性。在設計方案使滿足烤盤數較多和烤盤平均熱量分布較大時，我們聯想到了生活中的蜂窩形狀（正六邊形），利用自然現象，解決實際問題，更貼近生活，有實用價值。在模型的建立與求解過程中,我們假定烤箱的寬長比為定值,而實際情況下,烤箱的寬長比在一個范圍內波動,因此模型求解結果存在一定誤差。七、參考文獻1 Charles

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