1、機械控制工程基礎第六章 系統的校正設計第一節(jié) 概述第二節(jié) 串聯校正第三節(jié) PID校正第四節(jié) 反饋校正第五節(jié) 系統校正設計的MATLAB實現校正的實質： 在實際過程中，既要理論指導，也要重視實踐經驗，往往還要配合許多局部和整體的試驗。所謂校正，就是在系統中加入一些其參數可以根據需要而改變的附加機構或裝置，使系統整個特性發(fā)生變化，從而滿足給定的各項性能指標。1、用附加裝置重新改變系統零極點在s面的分布，使分布滿足要求2、加入裝置就是加入零極點，系統的根軌跡發(fā)生變化。3、零極點變化，系統的頻率特性發(fā)生變化。附加裝置稱為校正裝置，通常用GC(s)表示。一、校正的概念校正的實質：二、校正方式校正方式串聯

2、校正反饋校正校正裝置校正裝置前饋校正干擾補償校正按校正裝置的連接方式分(b)對擾動的補償(a)前饋校正第二節(jié) 串聯校正圖中，Gc(s)表示了串聯校正裝置的傳遞函數， G(s)表示系統不變部分的傳遞函數。工程上常用的串聯校正有超前校正 ，滯后校正 ，滯后-超前校正一、相位超前校正相位超前校正的傳遞函數為上式所對應的bode圖如下：由圖可見，超前校正的主要特點是提供正的相移，故稱相位超前校正。這一最大值主要發(fā)生在對數頻率特性曲線的幾何中心處，對應的角頻率：UiUo相位超前主要是發(fā)生在而且超前角最大值為例6-1 單位反饋系統的開環(huán)傳函為若要使系統在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差ess=0.05，相位裕度不

3、小于50，幅值裕度Kg（dB）不小于10 dB，試設計系統的校正裝置。解 該系統為I型系統。1）根據穩(wěn)態(tài)誤差要求，確定開環(huán)增益=0.05得K=10當K=10時，系統滿足精度要求，其開環(huán)傳函為2）繪制校正前的Bode圖由Bode圖可知，相位裕度=17，幅值裕度為，所以系統穩(wěn)定。但未達到50，不滿足要求。3）增加相位超前校正裝置，最大超前角為m= 2- 1+（510）=384）系數為5）校正后的剪切頻率c26）確定校正裝置的傳函，由于可得轉折頻率為為補償校正造成的增益損失，將放大器的增益提高1/0.24=4.17倍，此時校正裝置的傳函為作用：例、設單位負反饋系統原來的開環(huán)漸進幅頻特性曲線和相頻特性

4、曲線如下圖曲線L1、1所示。它可以看作是根據給定穩(wěn)態(tài)精度的要求，而選取的放大系數K所繪制的。由圖可以看出，在20lg|G(j)|0范圍內， G(j) 對-線有一次負穿越，原系統不穩(wěn)定。這說明根據穩(wěn)態(tài)精度要求所選取的K值會使系統的穩(wěn)定性破壞，為了解決這一矛盾，給系統串入超前校正。為使校正環(huán)節(jié)的正相移補償在原系統的中頻段，因此校正環(huán)節(jié)的轉折頻率1/aT 及1/T，原則上應分別設在原截止頻率c1的兩側。校正后系統的開環(huán)對數頻率特性曲線如圖中L2、2所示。由于校正環(huán)節(jié)的幅頻特性有一段正斜率，故使校正后的漸近幅頻特性的中頻段斜率變?yōu)?20dB/dec，而且截止頻率增大到c2；對照相頻曲線來看，由于校正環(huán)

5、節(jié)正相移的作用，使c2附近的相頻曲線明顯上移。因此經校正后系統不僅穩(wěn)定，而且還具有一定的穩(wěn)定裕度，有效的改善了原系統的穩(wěn)定性，并且可以使快速性有所提高。作用：正相移和正幅值斜率改善了中頻段的斜率，增大了穩(wěn)定裕量，從而提高了快速性，改善了平穩(wěn)性。缺點：使系統高頻段的幅頻特性上移了20lgadB，這會削弱系統抗高頻干擾的能力，因此在高頻干擾比較嚴重的情況下，一般不用超前校正。假設該網絡信號源的阻抗很小，可以忽略不計，而輸出負載的阻抗為無窮大，則其傳遞函數為無源超前網絡時間常數時間常數分度系數注：j采用無源超前網絡進行串聯校正時，整個系統的開環(huán)增益要下降因此需要提高放大器增益加以補償倍帶有附加放大器

6、的無源超前校正網絡此時的傳遞函數超前網絡的零極點分布故超前網絡的負實零點總是位于負實極點之右，兩者之間的距離由常數 決定。可知改變和T(即電路的參數超前網絡的零極點可在s平面的負實軸任意移動。由于)的數值， 對應式 得顯然，超前網絡對頻率在 之間的輸入信號有明顯的微分作用，在該頻率范圍內輸出信號相角比輸入信號相角超前，超前網絡的名稱由此而得。20dB/dec最大超前角頻率求導并令其為零故在最大超前角頻率處具有最大超前角m正好處于頻率與的幾何中心的幾何中心為即幾何中心為畫出對數頻率特性如圖所示二、滯后校正滯后校正的傳遞函數為上式所對應的波特圖如下：設單位負反饋系統原來的開環(huán)漸進幅頻特性曲線和相頻

7、特性曲線如上圖曲線L1、1所示。它可以看作是根據給定穩(wěn)態(tài)精度的要求，而確定的放大系數K所繪制的。由圖可以看出，20lg|G(j)|在中頻段截止頻率c1附近為-60dB/dec 顧系統動態(tài)響應的平穩(wěn)性很差或不穩(wěn)定，對照相頻曲線可知，系統處于臨界穩(wěn)定情況。將系統串入滯后校正環(huán)節(jié)，并將滯后校正環(huán)節(jié)的轉折頻率1/T，1/bT設置在遠離c1的地方。這時校正后系統的開環(huán)對數頻率特性如上圖L2、2所示。由于校正環(huán)節(jié)的相位滯后主要發(fā)生在低頻段，故對中頻段的相位特性曲線幾乎無影響。因此校正的作用，使c減小了，從而增大了穩(wěn)定裕度，保證了穩(wěn)定性和振蕩性的改善，因此可以認為，滯后校正是以犧牲快速性來換取穩(wěn)定性和改善振

8、蕩性。同時由于校正后系統高頻衰減了20lgbdB，因此校正后的系統具有較好的抑制高頻干擾的能力。如前所述，系統的穩(wěn)態(tài)精度取決于K、V。滯后校正沒有起到直接提高穩(wěn)態(tài)精度的作用，而是由于它的加入，使得系統可能在較大的放大系數時，不至于發(fā)生振蕩性過大或不穩(wěn)的現象，穩(wěn)態(tài)精度的提高仍然是通過增大K的手段來實現的。設單位負反饋系統未校正時的對數頻率特性如圖中曲線L1、1所示，校正網絡Gc(s)對應的幅頻特性如圖中曲線L2所示。 Gc(s) G(s)對應的對數頻率特性為曲線L3、3。由圖可見，加入Gc(s) 后并未改變低頻段的斜率與高度，這說明穩(wěn)態(tài)精度并未由于Gc(s) 的加入，使得T-1幅頻特性事先均有衰

9、減，這樣提供了通過增加開環(huán)放大系數，提高低頻區(qū)幅頻特性高度的可能性。增大放大系數，即將曲線L3上移，可得曲線L4 。曲線L4與L1相比，低頻區(qū)的高度變高，而中頻區(qū)、高頻區(qū)不變。即穩(wěn)態(tài)精度提高的同時基本上保持了其他性能不變。通常式 可通過下面的無源網絡來實現2.無源滯后網絡如果信號源的內部阻抗為零，負載阻抗為無窮大，則滯后網絡的傳遞函數為時間常數分度系數無源滯后網絡三、滯后超前校正綜合超前、滯后校正的利弊，為了全面提高系統的動態(tài)品質，使系統穩(wěn)態(tài)精度、快速性和振蕩性均有所改善，可同時采用超前與滯后校正，并配合增益的合理調整。鑒于超前校正的轉折頻率應選在系統的中頻段，而滯后校正的轉折頻率應選在低頻段

10、，因此可知滯后超前串聯校正的傳遞函數的一般形式應為：上式可由下圖所示無源網絡來實現。無源滯后-超前網絡傳遞函數為上式前一部分為相位超前校正。后一部分為滯后校正。GC(S)對應的波特圖所下圖所示。由圖中可以明顯看出，在不同的頻段呈現的滯后、超前校正作用第三節(jié) PID校正(a) PD控制器（1）比例-微分（PD）控制規(guī)律PD控制規(guī)律中的微分控制規(guī)律能反映輸入信號的變化趨勢，產生有效的早期修正信號相當于超前校正，以增加系統的阻尼程度，從而改善系統的穩(wěn)定性。在串聯校正時，可使系統增加一個 的開環(huán)零點，使系統的相角裕度提高，因此有助于系統動態(tài)性能的改善。在工業(yè)自動化設備中，也經常采用電動或氣動單元構成的

11、組合型校正裝置，由比例單元（P），kp，微分（D）單元，kds及積分（I）單元(Tis)-1可組成PD、PI、及PID三種校正器。（2）比例-積分（PI）控制規(guī)律具有積分比例-積分控制規(guī)律的控制器，稱為PI控制器。-)(sR)(sE)(sM)(sC1sT K i p+PI控制器相應于滯后校正（3）比例（PID）控制規(guī)律具有比例-積分-微分控制規(guī)律的控制器，稱為PID控制器。-)(sR)(sE)(sM)(sCPID控制器增加一個極點，提高型別，穩(wěn)態(tài)性能1兩個負實零點，動態(tài)性能比PI更具優(yōu)越性2I積分發(fā)生在低頻段，穩(wěn)態(tài)性能(提高)D微分發(fā)生在高頻段，動態(tài)性能(改善)3兩個零點一個極點其作用相應于滯

12、后超前校正串聯校正的理論設計方法串聯校正的理論設計方法有頻率域方法和根軌跡法。下面以串聯超前校正與串聯滯后校正為例，介紹這兩種方法的原則步驟。一、串聯校正的頻率域方法頻率域設計的基礎是開環(huán)對數頻率特性曲線與閉環(huán)系統的品質的關系。在設計時依據的指標是V、K、c、h等。因此在應用時首先需要把對閉環(huán)系統提出的性能指標，通過轉換關系式，近似的用開環(huán)頻域指標表示。校正設計的任務：選擇合適的校正裝置的傳遞函數Gc(s)，使得Gc(s) G(s)在所要求的增益下的波特圖變成期望的形狀，從而保證閉環(huán)系統具有所要求的動態(tài)品質。舉例說明超前校正和滯后校正的情況例：系統的結構圖如下)(sR)(sC)(sG)(sE)

13、(sG c-要求設計Gc(s)和調整k，使得系統在r(t)=t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.01，且相位裕度 450，截止頻率c 40 。解： Gc(s)的設計和k的調整步驟如下：根據穩(wěn)態(tài)誤差要求k。未加校正時，系統r(t)=t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，可由終值定理求出。因此要求ess0.01，則k 100，取定k=100 。根據取定得k值，做出未校正系統的開環(huán)漸近對數幅頻特性和相頻特性曲線，如圖中曲線L1、1所示。c=31， =1800+(-900-arctan3.1)=17.90無論c與均未滿足要求選取校正環(huán)節(jié)。由于滿足穩(wěn)態(tài)要求時， c與均比期望值小，因此要求加入的Gc(s) ，能使校正后的系統截止頻

14、率和相穩(wěn)定裕度同時增大，為此選取超前校正。確定校正環(huán)節(jié)的Gc(s)參數。a、T待定， a、T確定的原則是：最大相位超前角m發(fā)生在新的截止頻率c處，這里c 40。因此應有m= c40校驗校正后的結果，加入Gc(s) 后的開環(huán)傳遞函數為可選c =44，可得=44時，L1上的幅頻為-6dB，因此校正環(huán)節(jié)提供了的6dB增益。對應的波特圖中的曲線L2、2校正后的=1800+(-900-arctan4.4)+370=49.80滿足要求上例中，如果沒有截止頻率c 的要求 只是要求ess和 也可以選取滯后校正，具體做法如下。根據穩(wěn)態(tài)誤差的要求調整k，選取k=100 根據取定得k值，做出未校正系統的開環(huán)漸近對數

15、幅頻特性和相頻特性曲線，如圖中曲線L1、1所示。選取校正環(huán)節(jié)。由于滿足穩(wěn)態(tài)要求時， 相穩(wěn)定裕度不符合要求，選取相位滯后校正確定校正環(huán)節(jié)的Gc(s)參數。b、T待定，又于滯后校正參數的選擇原則是：他的兩個轉折頻率都應當在低頻區(qū)，因而Gc(s)的相位滯后對中頻區(qū)的影響較小。所以可由幅頻特性曲線L1和相頻特性曲線1共同來選擇校正后截止頻率c。由于相頻曲線1在=8時離-1800線的距離為510，故可初步選定 c=8。在c=8處，幅頻特性曲線L1的高度為22dB，要求加入校正后幅頻特性為零分貝。根據圖應有：為了使滯后校正部分的相位滯后特性對c=8處影響不大，所以校正環(huán)節(jié)的轉折頻率(bT)-1應設置在遠離

16、c的低頻區(qū)，工程上常取在遠離c十倍頻程的地方，即：(bT)-1=0.1 c將b、c帶入上式，可得T=15.625,由此可得校正的傳遞函數對應的波特圖中的曲線L2、2校正后的=1800+(-900+arctan10-arctan0.8-arctan125) =46.10滿足要求二、串聯校正的根軌跡方法根軌跡設計的基礎是閉環(huán)零、極點與系統品質之間的關系，為了簡便起見，閉環(huán)的品質通常是通過閉環(huán)主導極點來反映的。因此在設計開始需要把對閉環(huán)性能指標的要求，通過轉換關系式，近似地用閉環(huán)主導極點在復平面上的位置來表示。閉環(huán)設計的主要任務是：選擇合適的校正裝置的傳遞函數Gc(s)，使得由Gc(s) G(s)所

17、得的閉環(huán)根軌跡，在要求的增益下的主導極點，與期望的主導極點一致，從而保證閉環(huán)系統具有要求的動態(tài)性能指標。下面舉例說明超前校正和滯后校正的情況。例：設系統的結構圖如下所示)(sR)(sC)(sG)(sE)(sG c-圖中k*=2k。要求設計串聯超前校正環(huán)節(jié)Gc(s)，使得系統階躍響應滿足以下要求，超調量0.16，調節(jié)時間ts2s。解：作出未加校正時系統的根軌跡圖，如下：xx0-2p1從左圖中的原點o，作600的阻尼線，它和未加校正的閉環(huán)根軌跡交于A點AA點的位置是-1+由二階系統時域指標的估算公式可知，這時不符合題意要求這說明單純通過增益k的調整，不能同時滿足、ts的要求。需加入校正環(huán)節(jié)的零、極

18、點，以改變閉環(huán)根軌跡的走向，經過以上分析，原系統主要是快速性達不到要求，故可選取超前校正，做法如下：選取期望的閉環(huán)主導極點在保證的要求下，在上圖中取點B，B點的位置為-2+B驗算表明B點所對應的=4，因而ts可為1.75s，符合題意要求，故B點可作為期望的主導極點。注意B點的選擇不是唯一的。計算主導極點處的相角差額如果不加入校正，B點不在原來系統的根軌跡上，因為它不滿足根軌跡的相角條件。事實上，由原來系統的極點-2、0向B點所引向量與實軸的夾角，分別為900和1200，因此B點的相角與奇數倍的1800相差300，這個差角稱為B點的相角差額。要使B點位于校正后的根軌跡上，就要求加入的校正環(huán)節(jié)的零

19、點和極點能在B處補上300的差額。xx0-2p1AB1200選取超前校正的參數a、T系統串聯入超前校正，就增加了系統的開環(huán)零點-(aT)-1和極點-T-1，它們在復平面上的位置分別用字母Z、P表示。Z、P的選取必須在B點處補上上述300的相角差額，即滿足BZO- BPO=300滿足上式的Z、P可以有無窮多種取法。介紹一種使a取最小的法則，如圖所示，由B點作平行于實軸的直線BLL作OBL的等分線BE,在E點的兩側取Z、P，使得PBE= ZBE=150EZPX300滿足BZO- BPO=300的要求，并且可使OP/OZ=a最小，即在給出300差額的所有a中，這時a最小。根據上面使a取最小的法則，可

20、求出OP=5.3,OZ=2.85,所以a=1.86，T=0.189。這樣Gc(s)為調整開環(huán)增益為了使校正后閉環(huán)主導極點位于B點，應當適當選取開環(huán)增益。校正后B點處的根軌跡增益K*B應滿足模值條件式中BP1為B到-2點的距離。將BZ=3.57,BP=4.78,BO=4,BP1=2代入上式，可求出K*B =18.55，而K*B與開環(huán)增益的關系為為了使校正后的主導極點位于B，開環(huán)增益K應取作出校正后閉環(huán)系統的根軌跡圖校正后系統的開環(huán)傳遞函數為上述設計中，根據a取最小的法則來選取a、T，這樣做得好處是，如果采取無源網絡來實現Gc(s)時，因為a比較小，附加的增益補償比較容易實現。但是a、T一旦確定，

21、B點處對應的開環(huán)增益就確定了。如果B點的開環(huán)增益有確定的要求，那么就不可根據上述原則來選取a、T。因為校正后的根軌跡增益K*B與開環(huán)增益的關系仍為這時可用試探法來選取a、T首先選取Z，根據300相角差額的要求可得P點，從而BZ,BP,OZ,OP均可確定，由 可求出a和K*B，代入可計算出k驗證k是否滿足穩(wěn)態(tài)要求。這樣的做法往往要多次反復試湊才能得到合適的a、T串聯滯后校正的根軌跡方法串聯滯后校正參數的選取原則：使它的兩個轉折頻率位于低頻區(qū)。若從零、極點的角度來看，引入滯后校正就是使開環(huán)增加了一對零、極點，它們是位于s平面原點附近的一對偶極子且極點比零點更加接近原點。例：結構圖如下)(sR)(sC)(sE-)(sG c要求設計滯后校正Gc(s)和調整開環(huán)增益，使系統在使得系統在r(t)=t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差erss0.25，且階躍響應的超調量%20%解：作出未加校正時系統的根軌跡，如下圖所示。3.46xxx-2-6cDj要求超調量小于20%，可取系統的阻尼比=0.5。由原點作600的阻尼線，與根軌跡交于B點，B點在復平面上的位置為-0.75+0.75 j,600B=0.5故B點對應的K值為B點處的根軌跡增益為 根據系統穩(wěn)態(tài)要求選取開環(huán)增益。由終值定理可求出等速輸入下的穩(wěn)