1、數值分析： 研究各類數學問題求解的數值計算及相關理論分析。 隨著計算機的產生和發(fā)展，數值分析越來越多地研究如何借助于計算機求解相關問題。計算方法： 隨著計算機產生和發(fā)展而建立的一個重要數學分支，是研究建立計算機解決各種數學問題的數值計算及相關理論分析。第一章 緒論1.1數值分析(計算方法)介紹：(Numerical Analysis)(Computational Method)主要內容：（1）數值計算：非線性方程求根，（非）線性方程組求解，插值，逼近（最小二乘擬合），數值微分（積分），常微分方程，矩陣特征值求解，偏微分方程數值解,（2）理論分析：誤差分析，計算過程的收斂性、穩(wěn)定性（數學角度上）

2、，算法的計算時間復雜度，存儲容量大小（計算機角度上） 特點 :具有數學的抽象性和邏輯嚴密性又具有廣泛的應用性和高度的技術性（與計算機結合密切的一門課程）使用計算機進行數值問題求解是主要研究對象。如何學習這門課？這門課的學習意義，數值計算的重要性;如何上這門課（教材）, 學習方法;上課形式（授課、上機、大型實驗）;成績評定（平時、實驗、期中、期末）.1.2誤差基本概念1.2.1誤差定義及來源真實值與觀察、測量或計算的值之間存在差異，其差稱為誤差。結合實際問題求解，誤差來源可分為：(1). 模型誤差（實際問題數學問題）， 如抽象化、忽略次要因素等.(2). 觀測誤差（數學問題中的數據初始值觀察 測

3、量時產生）(Error)(3). 截斷誤差（計算過程中存在的一些無限計算），如無窮級數求和（無限次有限次： ，(4). 舍入誤差（計算結果中存在數據無限位，如Pi，無理數有理數，） 整個誤差來源可做圖表示: 總結：誤差是不可避免的，應盡量減少誤差，提高精度（如選擇好的計算方法）1.2.2絕對誤差和絕對誤差限 定義：設 為準確值， 是近似值 , 為絕對誤差分析：e可正可負（并不因為是絕對誤差，就以為是正值)e值實際上無法知道, 不知道， 但能知道誤差的某個范圍（即誤差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情況下誤差不超過 0.5mm. 定義：若 ，則 稱為絕對誤差限， 為正數，有:1.2.3相對誤差和相

4、對誤差限為什么引入？因為用厘米刻度的尺子測量1米長和10米長的物體，其絕對誤差限都為0.5，但測量精度分別為1/100和1/1000，所以為了較好反應測量精確度，引入相對誤差。定義： 為準確值， 為近似值，則分析： (1). 可正可負 (2). (3). 無法知道，因為 不知道， 也可表示為 和 之間關系為： （可作為習題）因為 無法求出，所以通常考慮相對誤差限若 或則稱 為相對誤差限。1.2.4 有效數字當 有很多位數表示時，可按四舍五入取前幾位。定義：如果近似值 的誤差限是其末位上的半個單位，且該位直到 的第一個非零數字共有n位，則 有n位有效數字。具體計算：對 ，從左往右數，從第一個非零

5、數字開始，直到最右面的數共有n個，且其誤差限為末位的 個單位，則有效數字為n。 有效數字的位數確定.例：數0.00234711，取五位有效數字，例： =1.732050808若 =1.7321，但若 =1.7320，誤差限為則有5位有效數字，因為誤差限則只有4位有效數字，因為誤差限為0.0023471，1.2.5誤差傳播影響計算過程中（如四則運算）的初始數據誤差會導致函數值誤差.泰勒級數展開分析誤差傳播.設 為準確值，準確值為為近似值，近似值為先考慮絕對誤差：令利用二元函數一階泰勒展開公式采用二元函數所以：再考慮相對誤差：根據以上兩公式，可得到兩數相加、減、乘、除的誤差傳播： （避免絕對值很大

6、的數為乘數） （避免 為很小的數為除數） （避免兩相近數相減運算)1.3 機器數系. (略.主要防止計算機處理過程中的數字溢出和含入誤差) 這里，主要介紹計算機中浮點數的表示形式及表示范圍（4個參數）：其中， =0.a1a2a3at 稱為尾數-1,1, 中的正負號用一位數字區(qū)分；為基數，如取2、10、8、16；p為階數，有上限U和下限L, 由計算機存儲字節(jié)長度決定。 1.4 誤差危害的防止（1）使用數值穩(wěn)定的計算公式數值穩(wěn)定是指計算過程中舍入誤差對計算影響不大的算法，若第n+1步的誤差en+1 與第n步的誤差en滿足，則稱該計算公式是絕對穩(wěn)定的例：建立積分In= （n=0,1.,20）遞推關系

7、式，并分析誤差傳播影響。解： In+5In-1= I0=ln6-ln5 遞推式： 在計算I0時，設近似值為I0為 可設 e0=I0-In- =即初始誤差對第n步的影響是擴大5n倍，誤差范圍變大，不穩(wěn)定. 對可改用另一種計算過程：（ 可通過積分第一中值定理算出）則 ，誤差范圍逐步減少。即若函數f(x)連續(xù), g(x)在區(qū)間a,b上不變號且可積, 則有設（2）避免兩相近數相減 例. 計算設和有六位有效數字,即x1=44.7325 x2=44.7102x1-x2=44.7325-44.7102（可以根據需要取任意位有效數字,這里取6位）方法1：直接相減：方法2:分子有理化：=0.0223 （事實上只

8、有2位有效數字）也可進行理論分析，這里考慮絕對誤差：第一種方法只有2位有效數字理論上分析, 可以有6位有效數字(分子為常數2,分母為x1+x2兩變量之和)（3）避免絕對值大的數作乘數， 同樣，避免x2為很小的數作除數， （4）防止大數吃小數： （計算機硬件發(fā)展，浮點數表示位數增加，此問題已很少出現） 主要原因是計算機運算處理時，需對階處理（即取較大的階值運算,較小數的尾數則會變的很小,計算機浮點數表示不出來）, 會出現: 大數+小數=大數求和時，可先按絕對值從小到大排序，先對小數運算，再對大數運算。(5)簡化計算步驟，減少計算次數例：計算方法1：直接計算30次乘法方法2：（這里4次乘法）（4次

9、乘法）共8次乘法空間上:需存儲x,x2,x4,x8,x16, 方法1只需要存儲x.例：計算常規(guī)方法：乘法： 加法：Horner方法（秦九韶方法）: 需n次乘法，n次加法空間上:除了an和x, 多存儲一個變量用來保存ai-1x+ai第2章 方程求根(Non-linear equation)2.1問題提出對方程 ，若存在 ，使得 ， 則稱 為 的根，或稱為零點。當為多項式形式時，即則 稱為代數方程。若可寫成形式,為的m重根，或稱m重零點。則代數方程 的公式解（當次數 時有）令 ，原方程又可寫為：對三次方程（卡當公式）：此類方程有公式解： 其中,（有可能出現復數根）對四次方程，可找相關文獻。對高次方程，使用數值方法求解，即在滿足一定精度的前提下，求根的近似值。具體步驟：找到根的隔離區(qū)間當 在 內連續(xù)，且則 內有解； 當 在 內嚴格單調，則 內