1、2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1集合中含有的元素個數為（ ）A4B6C8D122已知復數是正實數，則實數的值為( )ABCD3如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內一點，則三棱錐的正視圖與側

2、視圖的面積之和為（ ）A2B3C4D54函數（， ， ）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（ ）A2，0B2， C2， D2， 5已知函數.設，若對任意不相等的正數，恒有，則實數a的取值范圍是（ ）ABCD6盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為( )ABCD7若函數在處有極值，則在區間上的最大值為（ ）AB2C1D38若是定義域為的奇函數，且，則A的值域為B為周期函數，且6為其一個周期C的圖像關于對稱D函數的零點有無窮多個9運行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（ ）ABCD10已知為虛數單

3、位，實數滿足，則 ( )A1BCD11已知實數，函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）ABCD12已知命題，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13一次考試后，某班全班50個人數學成績的平均分為正數，若把當成一個同學的分數，與原來的50個分數一起，算出這51個分數的平均值為，則_14已知函數，若函數有個不同的零點，則的取值范圍是_15已知函數圖象上一點處的切線方程為，則_16已知兩個單位向量滿足，則向量與的夾角為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）等比數列中，()求的通項公式；()

4、記為的前項和若，求18（12分）設函數.（1）時，求的單調區間；（2）當時，設的最小值為，若恒成立，求實數t的取值范圍.19（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足，寬度為圓為江中的一個半徑為的小島，小鎮位于岸線上，且滿足岸線，現計劃建造一條自小鎮經小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側），為保護小島，段設計成與圓相切設 （1）試將通道的長表示成的函數，并指出定義域；（2）若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？20（12分）已知函數，若存在實數使成立，求實數的取值范圍.21（12分）已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的

5、直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.22（10分）設函數.（1）若恒成立，求整數的最大值；（2）求證：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B2C【解析】將復數化成標準形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因為為正實數，所以且，

6、解得.故選：C【點睛】本題考查復數的基本定義，屬基礎題.3A【解析】根據幾何體分析正視圖和側視圖的形狀，結合題干中的數據可計算出結果.【詳解】由三視圖的性質和定義知，三棱錐的正視圖與側視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側視圖的面積之和為，故選：A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側視圖的面積和，解答的關鍵就是分析出正視圖和側視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.4D【解析】由題意結合函數的圖象，求出周期，根據周期公式求出，求出，根據函數的圖象過點，求出，即可求得答案【詳解】由函數圖象可知：，函數的圖象過點，則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運用，在解答此類題目時

7、一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數的周期、最值，代入已知點坐標求出結果5D【解析】求解的導函數，研究其單調性，對任意不相等的正數，構造新函數，討論其單調性即可求解.【詳解】的定義域為，當時，故在單調遞減；不妨設，而，知在單調遞減，從而對任意、，恒有，即，令，則，原不等式等價于在單調遞減，即，從而，因為，所以實數a的取值范圍是故選：D.【點睛】此題考查含參函數研究單調性問題，根據參數范圍化簡后構造新函數轉換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.6C【解析】先計算出總的基本事件的個數，再計算出兩張都沒獲獎的個數，根據古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關系，即可求解.【詳解】從5

8、張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系，意在考查數學建模、數學計算能力，屬于基礎題.7B【解析】根據極值點處的導數為零先求出的值，然后再按照求函數在連續的閉區間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，經檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，由于，所以在區間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導數極值的性質以及利用導數求函數在連續的閉區間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題8D【解析】運用函數的奇偶性定義，周期性定義，根據表達式判斷即可.【詳解】是

9、定義域為的奇函數，則，又，即是以4為周期的函數，所以函數的零點有無窮多個；因為，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數的性質，主要是抽象函數的性質，運用數學式子判斷得出結論是關鍵.9C【解析】模擬執行程序框圖，即可容易求得結果.【詳解】運行該程序：第一次，；第二次，；第三次，；第九十八次，；第九十九次，此時要輸出的值為99.此時.故選：C.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎題.10D【解析】 ，則 故選D.11D【解析】根據題意，對于函數分2段分析：當，由指數函數的性質分析可得

10、，當，由導數與函數單調性的關系可得，在上恒成立，變形可得，再結合函數的單調性，分析可得，聯立三個式子，分析可得答案.【詳解】解：根據題意，函數在上單調遞增，當，若為增函數，則，當，若為增函數，必有在上恒成立，變形可得：，又由，可得在上單調遞減，則，若在上恒成立，則有，若函數在上單調遞增，左邊一段函數的最大值不能大于右邊一段函數的最小值，則需有，聯立可得：.故選：D.【點睛】本題考查函數單調性的性質以及應用，注意分段函數單調性的性質.12D【解析】求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即: ，是的必要不充分條件，解得實數的取值范圍為故選：【點睛】

11、本題考查根據充分、必要條件求參數范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間關系列出關于參數的不等式(組)求解(2)求解參數的取值范圍時， 一定要注意區間端點值的檢驗二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】根據均值的定義計算【詳解】由題意，故答案為：1【點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎題14【解析】作出函數的圖象及直線，如下圖所示，因為函數有個不同的零點，所以由圖象可知，所以151【解析】求出導函數，由切線方程得切線斜率和切點坐標，從而可求得【詳解】由題意，函數圖象在點處的切線方程為，解得，故答案為：1【

12、點睛】本題考查導數的幾何意義，求出導函數是解題基礎，16【解析】由得，即得解.【詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數量積的計算和夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 ()或()12【解析】（1）先設數列的公比為，根據題中條件求出公比，即可得出通項公式；（2）根據（1）的結果，由等比數列的求和公式，即可求出結果.【詳解】（1）設數列的公比為，或.（2）時，解得；時，無正整數解；綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數列，熟記等比數列的通項公式與求和公式即可，屬于基礎

13、題型.18（1）的增區間為，減區間為；（2）.【解析】（1）求出函數的導數，由于參數的范圍對導數的符號有影響，對參數分類，再研究函數的單調區間；（2）由（1）的結論，求出的表達式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數的取值范圍的左端點【詳解】解：（1）解：， 當時，解得的增區間為，解得的減區間為. （2）解：若，由得，由得，所以函數的減區間為，增區間為；， 因為，所以，令，則恒成立，由于，當時，故函數在上是減函數，所以成立； 當時，若則，故函數在上是增函數，即對時，與題意不符；綜上，為所求【點睛】本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，求解本題關鍵是根據導數研究出函數的單調性，由最值的定義得

14、出函數的最值，本題中第一小題是求出函數的單調區間，第二小題是一個求函數的最值的問題，此類題運算量較大，轉化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認真仔細19（1），定義域是（2）百萬【解析】（1）以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，設，利用直線與圓相切得到，再代入這一關系中，即可得答案；（2）利用導數求函數的最小值，即可得答案；【詳解】以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標系 設，則，因為，所以直線的方程為，即，因為圓與相切，所以，即，從而得，在直線的方程中，令，得，所以，所以當時，設銳角滿足，則，所以關于的函數是，定義域是（2）要使建造此通道費用最少，只要通道的長度即最小令

15、，得，設銳角，滿足，得列表：0減極小值增所以時，所以建造此通道的最少費用至少為百萬元【點睛】本題考查三角函數模型的實際應用、利用導數求函數的最小值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.20【解析】試題分析：先將問題“ 存在實數使成立”轉化為“求函數的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析：存在實數使成立，等價于的最大值大于，因為，由柯西不等式：，所以，當且僅當時取“”，故常數的取值范圍是考點：柯西不等式即運用和轉化與化歸的數學思想的運用.21（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】（1）寫出，根據，斜率乘積為-1，建立等量關系求解離心率；（2）寫出直線AB的方程，根據韋達定理求出點B的坐標，計算出弦長，根據垂直關系同理可得，利用等式即可得解.【詳解】（1）由題可得，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.點為橢圓的右頂點時，的坐標為，即，化簡得：，即，解得或（舍去），所以；（2）橢圓的方程為，由（1）可得，聯立得：，設B的橫坐標，根據韋達定理，即，所以，同理可得若存在使得成立，則，化簡得：，此方程無解，所以不存在使得成立.【點睛】此題考查求橢圓離心率，根據直線與橢圓的位置關系解決弦長問題，關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋達定理在解決解析幾何問題中的應用.22（1）整數的最大值為