1、數學分析課程教學改革的研究與實踐課題研究總結報告數學科學學院 黃強聯數學分析是連接初等數學與高等數學的橋梁,是數學專業最重要的專業基礎課之一.數學分析在數學專業中的地位是由其本身豐富的內容,嚴密完整的體系以及對后繼課程的深刻影響所決定的,它是進一步學習復變函數論、常微分方程、微分幾何、概率論、實變函數與泛函分析等后繼課程的階梯. 分析功底是否扎實,對學生學習這些專業課有舉足輕重的影響.用著名數學家Kolmogorov的話來說, 學習數學分析就是培養三個方面的能力: 邏輯推理能力、幾何直觀能力和計算能力. 使學生正確理解和掌握數學分析的基本概念和基本論證方法,系統掌握數學分析的基本理論,獲得熟練

2、的運算技能和嚴格的邏輯思維能力,分析解決問題的能力是我們教授數學分析課程的基本目的.自立項以來,我們積極推行教學改革,根據我校學生實際,不斷調整和改進教學方法,不僅著重努力培養學生的邏輯推理能力、幾何直觀能力和計算能力,還注重灌輸學生學習如何“學習”,培養學生的自我學習能力,即如何發現問題、分析問題、解決問題的學習能力.經過項目組兩年的努力,完成了課題預定的研究目標. 兩年來,我們編寫數學分析講義2冊,數學分析選講講義1冊,發表教學論文4篇,項目主持人黃強聯獲揚州大學2008-2009年度最受學生歡迎的任課教師和2009年數學科學學院青年教師課堂講課比賽二等獎,并主講揚州大學研究性教學觀摩課一

3、次(數學分析選講);項目組成員周玲2009年獲江蘇省高校數學基礎課青年教師授課競賽三等獎,揚州大學青年教師課堂講課比賽一等獎和數學科學學院青年教師課堂講課比賽一等獎.在項目的具體研究實踐中,我們的主要做法有:一、以學生為本,積極進行教學改革 我校的數學分析課程早在1993年就已成為江蘇省第一批一類優秀課程. 因此,我們是在一個高起點進行再建設,同時也對我們的工作有更高的要求.近幾年來, 隨著高校教學改革的深入,本課程建設也面臨著一些新情況,主要體現在以下幾個方面: 1. 根據學校對課程設置改革的統一部署,2002年本課程從多年來一直沿用的四學期設置改為三學期,總教學課時從原來每節課50分鐘的3

4、42課時,減少為每節課45分鐘的288課時,課時實際減少24%.而專業基礎課的特點決定了其教學內容不允許相應地減少; 2. 高校招生規模的不斷擴大,直接影響到我院的生源質量,入學學生的結構發生了很大的變化,學生的專業基礎,學習能力、學習習慣等不如以前,同屆學生之間差距也很大; 3. 中學數學教學的改革直接影響到我們的教學.這幾年高中數學的教學內容一直處于發展變化之中,每年的教學要求也不盡相同,江蘇省內和省外學生的基礎也不一樣.這些都對我們的教學工作產生一定的沖擊.針對這些新情況,新問題,我們共同研究,改革教學方法,保證教學質量.我們主要做了以下幾方面的工作:1. 修訂教學大綱和課程標準. 根據

5、新的課程設置,課時標準和教材要求, 總結歷年的教學經驗,調查了解國內外院校同類課程的發展與現狀 結合我校學生的現狀,重新制定了一個緊密聯系實際,切實可行,有效的教學大綱,并參照國外最新教材,制定相應的課程標準(教學要求).本著有利于學生科學發展的精神, 根據學生未來發展的需要,實行分層次教學,將教學內容分為四個層次: A本課程最基本的內容，包括教學重點，要求學生深刻理解、熟練掌握；B本課程的基本內容，要求學生理解和掌握；C本課程的一般內容,包括后續課程中會進一步學習的內容,要求學生了解；D選學內容，供優秀的學生選讀.學生可根據以后的發展方向(基礎數學, 應用數學或者中學數學教育,信息與計算科學

6、)選擇相應的學習內容.經過多年的教學實踐，我們整體上將數學分析的教學內容分為四個模塊：A分析引論. 數學分析的理論基礎是實數的連續性,研究的對象是函數（主要是連續函數）,主要工具是極限,基本問題是無窮小運算.這些思想貫穿課程始終,是數學分析的門檻和難點,難教難學.我們認為這部分內容是基礎、是鋪墊,旨在引導學生入門,具體教學方案分兩步：第一步先讓學生初步掌握極限的概念、極限的運算、理解無窮小和無窮大的定義;第二步再應用極限理論推導出實數連續性的六條等價命題及閉區間上連續函數的四條主要性質（有界性、最值性、介值性和一致連續性）. B-微分學.包括一元函數微分學與多元函數微分學，使學生認識到導數是無

7、窮小運算（除法）的結果.一元函數微分學的內容是:導數的定義及計算，微分中值定理，微分學的應用等.多元微分學除與一元函數的類似內容外，還有方向導數與梯度，隱函數定理，參變量積分所確定函數的微分法.這部分內容涉及概念、理論、計算和應用,是本課程的重點部分,需要深入理解和熟練掌握.C積分學.包括不定積分與定積分,重積分,參變量積分,曲線與曲面積分.這部分內容要求學生掌握各種積分的概念及其計算,理解定積分的存在性定理,并了解各種積分之間的聯系,能應用積分解決某些實際問題.D無窮級數與反常積分.我們以無窮級數為主線,講述數項級數的概念、斂散性判別法、函數項級數的一致收斂的概念及其判別法、冪級數求和、函數

8、展開成冪級數、傅立葉級數的概念及其收斂定理,重點是數項級數的收斂性,冪級數及函數項級數的一致收斂性.關于反常積分，特別是含參量反常積分,其理論及方法與函數項級數平行. 2不斷按照學生情況改革教學方法.多年來,我們已經在期的教學中形成了“踏實精細、首尾相顧、前后呼應、類比拓展、學以致用”的教學風格，按照“提出問題建立模型探索解法形成定義、定理結果應用定理拓廣”組織理論教學。在教學過程中，我們的主要原則: 注重實際應用背景知識及幾何直觀的解釋，強調講清楚概念與方法的來源，不同概念間的內在聯系以及所講內容在整個體系中的作用與地位，使抽象概念的引入具體生動，克服學生在數學上認知與理解的困難；采取探究式

9、教學法，加強邏輯思維能力的培養與訓練，啟發學生的創造性思維；適當開展討論式教學，訓練學生由“學”到“教”的思維模式，培養學生創造性學習及獨立鉆研的能力，培養學生講課及語言表達的能力；采取一題多解、舉一反三的教學方法，強化習題練習，引導學生攻克學習難關和培養靈活運用的能力；在教學中結合具體教學內容適當介紹具體文獻, 充分指導學生課后閱讀文獻資料，提高學生學習興趣, 同時給學有余力的同學布置一些具有探索性的數學問題. 近年來，針對課時減少、學生情況變化等實際情況, 我們在教學方法方面采取了下列措施：(1) 精選講授內容和例題，不斷更新和調整教學內容(基本做到每上一輪課就調整和改寫教案一次,如改進一

10、些定理命題的證明講法和調整或補充一些新的例題(最近的一些考研題). 在教學時間內平均每周至少安排一次習題課并加強對習題課的設計；根據新的課程標準, 試行課內分層次教學，即以前作為普遍要求的部分內容仍在課內講授，但由學生根據自己情況決定取舍, 這些內容不列入考核；考核要求從強調理論轉為注重知識運用能力. 然而我們在教學中注意到很多學生在課堂上“記”和“聽”不能做到有機結合, 甚至有些同學上課只注重記筆記而完全忽略了聽課,課后又不能及時復習, 因而學習非常吃力,也不能達到預期的學習效果.另一方面,數學分析課程教學需要擴充許多教材之外的內容和例題,學生根據教材預習也不能做到和課堂講授的內容一致. 為

11、了方便同學課前預習、課堂聽課和課后復習，特別是節省課堂上“記”的時間,我們編寫數學分析講義(目前已完成上冊和中冊,下冊在編寫中)等學習輔導材料. 經過我院08級和09級學生的使用,應該說效果還是很明顯的,數學分析整體成績,無論是均分和及格率較往屆學生都有顯著的提高. (2) 充分利用網絡教學平臺,加強對學生學習的指導和督促. 我們一方面將數學分析發展史和數學分析中某些概念的來源(某些故事),某些數學家的軼事收集掛在網上,提高學生學習興趣, 也將國內外一些數學分析經典教材介紹和特點也發在網上,這樣學生可以根據自己的實際情況來選擇參考資料;另一方面將基本題目(包含概念題,計算題和證明題等), 以及

12、一些難度較大的題目和國內一些高校考研題分類發布在教學平臺上,要求有興趣的同學自己完成,可以不定期交給我們批改,或者我們隔一段時間將答案和解題思路也發布在網上,這樣可以進一步指導學生的課后學習,也可以解決學生學習中遇到的困難; 結合學院實行的導師制,充分發揮導師和班主任的作用,加強對學生平時學習的管理和檢查. (3) 課外每周安排一次輔導課.為彌補教學課時的不足,我們充分利用輔導課時間,一方面給學生答疑解惑,對平時作業中普遍出現的問題集中解答,另一方面把一些較高要求的教學內容安排在輔導課上講授,以滿足部分優秀學生的求知需要.(4) 加強學生自我檢測. 我們組織建設了有45套試卷的試題庫(配具體解

13、題過程的答案), 供學生課后自我檢測和復習,堅持為學有余力和準備考研的學生開設選修課數學分析選講.為幫助考研學生復習,編寫了講義數學分析選講習題集-數學分析基本概念題與考研真題集錦,將數學分析基本理論(主要包括一元微積分和級數理論)劃歸為五十個問題, 這些問題基本覆蓋了數學分析的所有重要內容,它們有些并沒有準確答案,或者說答案并不唯一,這需要我們學生自己課后思考和歸納總結;其次我們選擇了四百多道涉及數學分析基本概念和基本方法的論述題,這些題目難度基本不大,學生可課后考慮或查閱資料自行解答,熟練掌握和深刻理解這些概念題對學生理解數學分析基本理論知識和進一步學習數學分析及相關后續課程都至關重要;

14、最后我們在第三章中精選了有代表意義的研究生入學考試數學分析試題 (主要包括一元微積分和級數理論,也涉及一些多元微積分的內容),我們期望能做到如果學生能獨立完成講義上的題目,那么考數學類的研究生考數學分析就不會有問題.事實上,近幾年我院都有學生考取浙江大學等國內著名高校的數學類研究生.(5) 加強對學生課外學習的指導,培養學生創造性學習和獨立鉆研的能力.結合我們自己的科研體會,組織學生開展某些課題的研究,指導學生學術論文的寫作,為高年級學生做數學分析考研報告,為考研學生作考前輔導等.最后特別想指出的是在我們編寫的三本講義中,講義中的許多例題、習題和思考題選自國內一些重點高校近年的考研題, 應該來

15、說還是有一定難度的.同時所有定理和例題習題都沒有給出解答(部分有一定的提示),這樣做的目的就是期望培養學生自主學習的能力,在預習復習時能做到獨立思考,特別是對預習時不會的內容課堂上要重點注意老師的分析過程,爭取學會如何分析問題,而不完全是怎樣解決問題. 在學習過程中要特別注意思考如何分析問題,多問問自己為什么要這樣分析問題,思考自己和老師分析問題的不同之處.我們還在講義中加了若干注記和思考題,這些注記和思考題對學生正確理解掌握數學分析基本知識和理論特別重要.二、著力自身科研教學素質數學是一門抽象的學科，數學的美體現在簡潔、優美、完備等方面，大學一年級學生開始數學分析課程的學習，也是從形象思維到

16、抽象思維的開始，這一過程對學生是一種挑戰，也是一個質的轉變。對教師而言，同樣是一個富有挑戰性的考驗,如何將一些抽象的公式和概念以最簡潔、形象的形式展示給學生，如何表達數學的優美,這不僅需要教師對課程的深刻理解,而且需要教師具備相當深厚的數學修養和表達能力，這樣才能使學生愉快、輕松地接受新的思維方法和新的知識,更重要的是讓他們從中得到了快樂和興趣,為今后進一步從事數學的學習和研究打下了堅實的基礎.幾十年來,從原揚州師范學院數學系到今天的揚州大學數學科學學院,一直非常重視對數學分析課程的建設，逐漸形成了較為成熟的教學理念和傳統,培養和造就了一大批優秀的人才，這些傳統可以主要概括為：長期堅持以傳、幫

17、、帶的形式，打造和建設一支“高水平、高職稱、高學歷”的師資隊伍,“傳幫帶”已經成為數學分析課程建設的重要組成部分,這一過程不僅體現了老教師的對年輕教師的幫助和關懷，而且為課程建設的隊伍不斷更新提供新鮮的血液和活力.近年來，隨著課程建設的進一步完善，我們已經逐步形成了一支以教授、博士生導師為骨干,有年輕博士、副教授為主體的課程師資隊伍.本項目組主要由這支教學隊伍中的年輕骨干教師組成,我們始終認為教學和科研是密不可分,相輔相成的. 教學是科研的動力,也是一種內功.科研需要大量的基礎知識，“懂了”與“會用”并不是一回事,只有會用才能給學生講得透徹.要搞科研需要更新知識，接受新的思想，而教學也需要與時

18、俱進，兩者相互促進，不僅有利于自身素質的提高,也有利于學生接受新的事物.科研是一種探索性和創造性的工作，可以將大量科研成果通過教師的轉換變成學生的知識,讓學生領略最新的數學成果.兩年來,我們先后主持1項國家自然科學青年基金,1項江蘇省自然科學基金,2項江蘇省政府留學基金,3項江蘇省高校自然科學基金和多項揚州大學自然科學基金,發表論文30多篇，其中SCI收錄10余篇，先后多人被評為江蘇省優秀青年骨干教師和揚州大學優秀骨干教師.在教學上,我們經常進行教學交流,討論教學方法，相互學習,不斷提高教學水平.項目組成員先后獲得揚州大學課堂教學質量獎3次.兩年來,我們發表教學論文4篇,其中國家核心期刊2篇.

19、項目主持人黃強聯獲揚州大學2008-2009年度最受學生歡迎的任課教師和2009年數學科學學院青年教師課堂講課比賽二等獎,并主講揚州大學研究性教學觀摩課一次(數學分析選講);項目組成員周玲2009年獲江蘇省高校數學基礎課青年教師授課競賽三等獎,揚州大學青年教師課堂講課比賽一等獎和數學科學學院青年教師課堂講課比賽一等獎.三、積極進行網絡課程建設信息技術與課程的整合是現代課程發展的必然趨勢，也是我們在課程建設中所面臨的新問題.我們認為網絡是對課堂教學的有益補充,應該為學生自主學習提供平臺.自2003年起,我們就為網絡課程的建設準備相關材料,由于本課程的數學公式多,在具體操作方面遇到不少困難.(現在

20、主要采取組織一些本方向的研究生集中打或者掃描的辦法,如數學分析選講課程的作業通過掃描在網上布置). 經過近兩年的努力，網絡課程已初步成形。 我們在網站建設方法做了以下工作 ;在網站上提供課程簡介, 教學大綱與課程標準, 教師隊伍;2. 將電子講稿分章節和學期掛在網上,提供部分教學課件供學生自學;提供習題及其解答,制作自測題和試題庫,并提供答案;提供國內一些著名高校近幾年的考研試卷,并盡可能的提供答案或解題思路;精心介紹了一些國內外數學分析經典教材和教學參考資料,掛在網上或提供鏈接;3. 充分發揮網絡的優勢,吸收已有的優秀資源,達到資源共享.通過上網搜索,我們發現全國有許多學校的數學專業都在建設數學分析精品課程,而其中中山大學、華東師范大學等四所高校的數學分析已經是國家級的精品課程，這就為我們提供了豐富的教學資源. 我們已經從