1、人教版版高中數學選修2-3 第一章計數原理1.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理（第一課時）北京市中醫附中 高二（ 2）班 人教 A 版選修教材 于洋 2013.4.2 在學習數學 3的古典概型時，需要對基本事件空間中的基本事件和某一事件所包含的基本事件進行計數。細心的同學會發現，那里涉及的計數幾乎都可以用列舉法數出教材內容分析 基本事件的數目來完成。隨著學習的不斷深入，問題變得越來越復雜了，有時列舉法數數就行不通了，“ 加法原理與乘法原理” 是在人們大量的實踐經驗的基礎上歸納抽象出來的基本規律，具有廣泛的應用性，是培養學生數學應用意識和實踐能力的良好素材。同時，也是推導排列數、組合數計算

2、公式的理論依據。正確使用 2 個基本原理的前提是使學生分清楚他們的使用條件：分類用加法原理、分步用乘法原理。本節課教學內容是分類加法計數原理與分步乘法計數原理,是人教 A 版數學選修2-3 第一章第一節內容.這兩個原理是本章的重點基礎知識,一方面它為后面學習排列、組合、隨機變量的概率等內容提供了思想和理論依據,是學習排列組合的基礎;這 2 個原理也是幫助學生發展思維能力，培養學生周密思考、細心分析的良好習慣的好素材。所教班級是理科班，學生相對來說思維較活躍，課堂氛圍好學生跟老師積極思考問 題 學生情況分析 1、知識與技能：通過實例理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理；教學目標 會利用兩個原理

3、分析和解決一些簡單的應用問題。2、過程與方法： 通過實例培養學生的歸納概括能力。3、情感、 態度與價值觀： 引導學生形成 的學習方式。“ 自主學習” 與“ 合作學習” 等良好教學重點 教學難點教學方式 輔助工具分類計數原理 ( 加法原理 ) 與分步計數原理 ( 乘法原理 ) 分類計數原理 ( 加法原理 ) 與分步計數原理 ( 乘法原理 ) 的準確理解教師適時引導和學生自主探究發現相結合ppt 教 學 過 程（1）由數字 1,2,3 可以組成多少個無重復數字的兩位整數？引入新課（2）由數字 1,2,3 ，4,5,6,7,8，9 可以組成多少個無重復數字的兩創設情境，引入這節課所要研究的位整數？（

4、3）由數字1,2,3，4,5,6,7,8，9 可以組成多少個無重復數字的三問題 . 位整數？四位等等 再如 從我們班上推選出兩名同學擔任正副班長，有多少種不同的選 法？把我們的同學排成一排，共有多少種不同的排法？本章我們將要學習計數原理在種類較多很難列舉的計數算法 這節課，我們從具體例子出發來學習這兩個原理 .問題 1：從北京到上海，可以乘火車，也可以乘汽車 , 也可以乘飛機。一天中，火車有3 班，汽車有 2 班，飛機 4 班，那么一天中，乘坐這些交通工具從北京到上海共有多少種不 由特例到定義同的走法？的設計思路讓學類比探究，問題剖析問題 1飛機生理解加法原理要完成什么事情北京到上海的概念，體

5、現了一般存在于特殊形成方法之中的辯證法思完成這個事情有幾類方案3 類火車 汽車想，便于讓學生理解概念。每類方案能否獨立完成這 件事情能種師生互動： 由老師提問學生回答的方式進行。每類方案中分別有幾種不 同的方法3 種 2 種 4在本知識點中學生可能對“ 一件完成這件事情共有多少種 不同的方法3+2+4=9 事” 的概念的理解不是很好，在學生回答完后，第一類方法 , 乘火車，有 _ 種方法 ; 老師應該進行點撥。第二類方法 , 乘汽車，有 _ 種方法 ; 第三類方法 , 乘飛機，有 _ 種方法 ; 從北京到上海共有_ 種方法設問 2：每類方法中的每種一方法有什么特征？用任何一類方法都能直接完成這

6、件事你能總結出這類問題的一般解決規律嗎？如果完成一件事有三類不同方案，在第1 類方案中有m 種不引導學生歸納、抽象得到兩個原理，由淺入深、由易到 難、由特殊到一般，幫助學生完成思維 的提升 . 同的方法，在第2 類方案中有m 種不同的方法，在第3 類方案中有m 種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？這個問題再添一類城際快軌有4 列如果完成一件事情有n 類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應當如何計數呢？分類加法計數原理一般歸納：完成一件事情，有n 類辦法，在第1 類辦法中有m 種不同的方法，在第2 類辦法中有m 種不同的方法 在第n 類辦法中有m 種不同的方法 . 那么完

7、成這件事共有Nm 1m 2mn種不同的方法 . 理解分類加法計數原理：注意 . （1）n 類辦法之間是互斥的、獨立的，都能完成這件事，且各類方法數相加，所以分類計數原理又稱加法原理；（2）每類辦法中的每種方法也都能獨立完成這件事 問題 2：從北京到上海，要從北京選乘火車到南京，于次日從南京乘汽車到上海。一天中，火車早中晚各有3 班，汽車早晚有2 班。那么兩天中，從北京到上海共有多少種不同的走法？所有走法 火車 1汽車 1 火車 1汽車 2 火車 2汽車 1 火車 2汽車 2 火車 3汽車 1 火車 3汽車 2 問題剖析要完成什么事情完成這個事情有幾步每步方案能否獨立完成這 件事情每步方案中分別

8、有幾種不 同的方法 完成這件事情共有多少種 不同的方法問題 1北京到上海2 步火車 汽車不能 3 種 2 種 3 2=6 這個問題與前一個問題有什么區別？從北京到上海須經 步驟_南京 _ 再由 _南京 _到上海有 _個第一步 , 由北京去南京有 _種方法 第二步 , 由南京去上海有 _種方法 , 設問 2：上述每步的每種方法能否單獨實現從北京經南京到達 上海的目的 ? 歸納總結分步乘法計數原理如果完成一件事需要分成三個步驟，在第 1 步方案中有 m 種不同的方法，在第 2 步方案中有 m 種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？N m 1 m 2 .從北京到上海， 要從北京選乘火車到

9、南京，于次日從南京乘汽車到武漢。再于次日從武漢乘飛機到上海。一天中，火車早中晚各有 3 班，汽車早晚有 2 班。飛機有 4 班，那么三天中，從北京到上海共有多少種不同的走法？3 2 4 24歸納一般情況特例應用，細化操作分步乘法計數原理完成一件事，需要分成n 個步驟。做第 1 步有m 種不同的方法，做第 2 步有m 種不同的方法， ，做第 n 步有m 種不同的方法，則完成這件事共有Nm 1m 2. m n種不同的方法（1）分步計數原理與“ 分步” 有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟完成了，這件事才算完成；（2）分步時首先要根據問題的特點確定一個分步的標準；3 若完成某件事情需 n 步, 每一

10、步的任何一種方法只能完成這件事的一部分且必須依次完成這 n 個步驟后 , 這件事情才算完成分類計數原理與分步計數原理有什么不同？相同點： 分類計數原理與分步計數原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數的問題。不同點：分類計數原理與“ 分類” 有關，各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數原理與“ 分步” 有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成分類加法計數原理 分步乘法計數原理相同點 用來計算“ 完成一件事” 的方法種數分類完成 類類相加 分步完成 步步相乘不同點 每類方案中的每一種方法 每步 _依次完成才算完成這件都能 _獨立完成這件事每步中的每一種方

11、法 不能獨立完成這件事）注意點類類獨立不重不漏步步相依步驟完整兩個原理應用（12）在由電鍵組A 與 B 所組成的并聯電路中，如圖，要接通電源，使電燈發光的方法有多少種？分析：共有 2+3=5 種方法（22）在由電鍵組A、B 組成的串聯電路中，如圖，要接通電源，使電燈發光的方法有幾種？分析 : 2 3 = 6 種不同的方法例 1： 高二（ 2）班共有男生 出學生代表參加學生會。25 人、女生 4 人，從高二 2 班選（1) 若學校分配給該班（2）若學校分配給該班1 名代表，有多少種不同的選法？2 名代表，且男女生代表各1 名，有多少種不同的選法？（1）分兩類進行選取第 1 類：從 25 名男生中

12、選取 1 名，有 25 種選法；第 2 類：從 4 名女生中選取 1 名，有 4 種選法；根據分類加法原理 共 25+4=29 種選法（2）分兩步進行選取 第一步：從 25 名男生中選取 1 名，有 25 種選法；第二步：從 4 名女生中選取 1 名，有 4 種選法；根據分步乘法原理 25*4=100 變式：高二 2 班有學生 30 人，從咱班選出正副班長 2 人有多少種不同的選法？例 2. 書架的第 1 層放有 4 本不同的數學書，第的語文書，第3 層放 2 本不同的英語書.2 層放有 3 本不同從書架上任取 1 本書，有多少種不同的取法？從書架的第 1、2、 3 層各取 1 本書，有多少種

13、不同的取法？【分析】要完成的事是“ 取一本書” ，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數原理 . 要完成的事是“ 從書架的第1、2、3 層中各取一本書” ，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第 1、2、3 層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應用分步計 數原理 . 解： (1) 從書架上任取從第 1 層取 1 本數學書，有1 本書，有 3 類方法：第 1 類方法是4 種方法；第 2 類方法是從第 2 層取1 本語文書，有 3 種方法；第 3 類方法是從第 3 層取 1 本英語書，有 2 種方法根據分類加法計數原理，不同取法的種數是N m

14、 1 m 2 m =4+3+2=9; ( 2 ）從書架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成 3個步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計算機書，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取 1 本文藝書，有 3 種方法；第 3 步從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法根據分步乘法計數原理，不同取法的種數是Nm 1m 2m =4 3 2=24 . 例題 3：有 1、2、3、4、5 五個數字（1）可以組成多少個無重復數字的兩位數？（2）可以組成多少個允許有重復數字的兩位數？N=5 4 2=40 （個）（1）分析： 1、完成的這件事是什么？2、如何完成這件事？（配百位數、配十位

15、數、配個位數）3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）4、運用哪個計數原理？5、進行計算。十 個N=4 2=8 （個）N=4 1+4 1=8 （個）變式 1：(1) 由數字 l ，2，3，4，5 可以組成多少個允許有重復數字的三位數？(2) 由數字 l ，2，3，4， 5 可以組成多少個不允許有重復數字的三位 數？變式 2：由數字 1,2,3 ，4,5,6,7,8，9 可以組成多少個無重復數字的 三位整數？練習練習： 1 學校食堂備有5 種素菜、 3 種葷菜、 2 種湯菜。檢驗學習效果（1）若你只吃一樣菜，你有多少種選擇？檢測（2）若要配成一葷一素一湯的套餐，可以配制出多少種不同的品種？2

16、要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2 幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？檢測1、現有高一年級的學生3 名，高二年級的學生5 名，高三年級的學生 4 名。（1）從中任選 1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？（2）從 3 個年級的學生中各選 不同的選法？備案：1 人參加接待外賓的活動有多少種1 書架的第 1 層放有 4 本不同的數學書，第 2 層放有 3 本不同的語文書，第 3 層放 2 本不同的英語書 . 從書架取 有多少種不同的取法？2 本不同學科的書2. 有 1、2、3、4、5 五個數字可以組成多少個無重復數字的兩位 偶數？課堂小結課堂小結師生共同完成1. 本節課學習了哪些主要內容？對本節課的回顧， 最2. 你如何來判別使用哪個計數原理？后由教師歸納總結共同點：都是有關“ 完成一件事情” 的所有不同方法的種數出本節課所學習的問題。數學知識和數學思主要不同點：想 .分類加法計數原理分步乘法計數原理完成一件事有n 類不同的方案； 完成一件事要n 個不同的步驟；各類方案相互獨立；各個步驟相互聯系；每一類方案都能直接完成該事件。每一個步驟都不能直接完成該事件， 只有完成每個步驟，才能完成這件事。布置作業1 要從甲、乙、丙3名工人中選