1、1、一半圓均勻帶電，電荷線密度為0，試求該半圓圓心處的場(chǎng)強(qiáng)。解：我們采用微元法，如圖所示，設(shè)半圓半徑為，微元所對(duì)圓心角為點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為，在而則根據(jù)對(duì)稱性， 半圓上各個(gè)微元在點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的y 軸方向分量互相抵消。點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為各個(gè)在 x 軸上分量的和也可表為2、證明：在靜電場(chǎng)中沒有電荷分布的地方，如果電場(chǎng)線相互平行，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小必處處相等。解：電場(chǎng)線的性質(zhì)都可由高斯定理和安培環(huán)路定理推出，故此處，可考慮用這兩個(gè)定理。先證明同一場(chǎng)線上不同地方的場(chǎng)強(qiáng)相同。如圖（ a），取一圓柱面形高斯面，其軸與平行，長，截面積足夠小，則可認(rèn)為因空間無電荷，由高斯定理上各點(diǎn)電場(chǎng)相同。得其中，分別為圓柱兩端面上的場(chǎng)強(qiáng)。再證明不同

2、電場(chǎng)線上的場(chǎng)強(qiáng)相同。如圖（ b），取安培環(huán)路為。、均垂直于電力線，且、的長度足夠小，則可認(rèn)為、段上的場(chǎng)強(qiáng)為定值，分別為，。由安培環(huán)路定理得綜上，即可得題中所述場(chǎng)確定為勻強(qiáng)場(chǎng)。注意， 若場(chǎng)區(qū)有電荷存在，則即使電場(chǎng)線平行，也不會(huì)為勻強(qiáng)場(chǎng)。 電場(chǎng)線可在電荷處中斷。如圖（ c）。3、在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，放入一個(gè)半徑為的接地導(dǎo)體球，從到導(dǎo)體球球心的距離為，求導(dǎo)體球?qū)Φ淖饔昧Α＝猓喝鐖D所示，根據(jù)對(duì)稱性，肯定在或其延長線上，設(shè)到的距離為，對(duì)導(dǎo)體球表面上任意一點(diǎn)A而言，它的電勢(shì)應(yīng)該由和的電勢(shì)疊加而成，由因?yàn)閷?dǎo)體接地，所以有設(shè)為原點(diǎn)，為軸， A 點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有因?yàn)?A 點(diǎn)位于球心在原點(diǎn)的球面上，、的一次項(xiàng)及常數(shù)

3、項(xiàng)都應(yīng)該是零，于是有可解得和而“電像”和感應(yīng)電荷是等效的。這樣，就可以很容易地用庫侖定律求得感應(yīng)電荷對(duì)作用力（即導(dǎo)體球?qū)Φ淖饔昧Γ┑拇笮榉较蛑赶蚍较颉?、半徑分別為和的兩個(gè)同心半球面相對(duì)放置，如圖所示。兩個(gè)半球面均勻帶電，電荷面密度分別為和。求大半球面的直徑AOB上電勢(shì)的分布。解：半徑為的均勻帶電球殼內(nèi)部電勢(shì)為，外部電勢(shì)為。這道題目要解決兩個(gè)問題：（ 1）半球殼的電勢(shì)是多少？（2）兩個(gè)半球殼的電勢(shì)如何疊加？完整的半徑為的球殼在AOB上產(chǎn)生的電勢(shì)為鑒于對(duì)稱性，半個(gè)球面對(duì)的貢獻(xiàn)必為1/2 ，因此，它在AOB上產(chǎn)生的電勢(shì)應(yīng)為完整的半徑為的球殼在AOB上離距離小于的范圍內(nèi)（即圖中的COD段）的電勢(shì)為

4、在 AOB上，離的距離大于的范圍內(nèi)的電勢(shì)為半球的貢獻(xiàn)同樣必為和的 1/2 。最后 AOB上電勢(shì)的分布應(yīng)為5、一平行板電容器，電容=300pF，極板接在一個(gè)電源的正極，接在另一電源的負(fù)極，兩電源的電動(dòng)勢(shì)均為150V，另外一極均接地。取一厚金屬板B，其面積與、相同，厚度為電容器兩極板間距離的三分之一，插入電容器兩極板的正中央，如圖所示。（ 1）取一電動(dòng)勢(shì)為50V 的電源，負(fù)極接地，正極與金屬板B 連通。問此時(shí)由電源輸送到B的總電荷量是多少？（ 2）在上述情況下，左右平移金屬板B，改變它在電容器兩極板間的位置，直至B 上電荷量為零。固定B 板位置，然后切斷所有的電源，再將 B 板從電容器中慢慢抽出，

5、求此時(shí)電容器兩極板之間的電壓。3）求抽出 B 板過程中外力所做的功。解：（ 1）金屬板 B 插入電容器后，和B 的左表面形成電容器，和 B 的右表面形成電容器。由于這兩個(gè)電容器極板的正對(duì)面積與原來電容器相同，極間距離是原來電容器的三分之一，所以、的電容量是原來電容器的3倍。即接入后，的電壓(V)板上的電荷量的電壓(V)板上的電荷量接入前， B 上凈電荷為零，因此，輸給 B 的電荷量為(C)（ 2）如果移動(dòng)B 的位置，使和面上的電荷量分別為和，B 上的凈電荷就為零了。設(shè)此時(shí)由構(gòu)成的電容器為，由構(gòu)成的電容器為，則有即和并不會(huì)因B 板移動(dòng)位置而變化。設(shè)此時(shí)、的距離為，、的距離為，則又因?yàn)樗裕藭r(shí)、

6、板所帶電荷量分別為切斷所有電源后，、上電荷量不變，抽出B 板后，由、構(gòu)成的電容器上電壓為V）（ 3）B 板抽出前的總能量板抽出后電容器的能量抽出 B 板的過程中外力做的功6、右圖是一個(gè)滴水起電機(jī)的原理圖，是帶小孔的水槽，水槽中裝有食鹽水。食鹽水與電極間的電壓為，每滴食鹽水的質(zhì)量為。盤狀電極位于的下方，相距高度為，、之間的電容為。當(dāng)水滴流經(jīng)的狹窄通道時(shí)，與也形成一個(gè)電容器，電容量為，。充電到，使小水滴帶上正電，然后離開的狹窄通道滴下。水滴下落的頻率很低，、之間不會(huì)同時(shí)有兩滴水存在。已知開始時(shí)不帶電，上由滴水引起的水位變化可以忽略。試求：（ 1）電極可達(dá)到的最高電勢(shì)；（ 2）水滴臨到達(dá)之前的速度與

7、該水滴之前落下的水滴滴數(shù)之間的關(guān)系。解：（ 1）水滴電荷量設(shè)當(dāng)達(dá)到時(shí)，水滴受力平衡，即當(dāng)水滴下落過程中，消耗的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)換的觀點(diǎn)是很容易理解的。（ 2）個(gè)水滴落下后，的電勢(shì)便為越大，所能達(dá)到的電勢(shì)越高，這根據(jù)能量此時(shí)第個(gè)水滴受的電場(chǎng)力設(shè)第個(gè)水滴的加速度為其速度為7、如圖所示， A、 B 是兩塊水平放置的互相平行的帶電金屬板，其間的電場(chǎng)可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)， 假設(shè)有一帶負(fù)電的微粒在點(diǎn)處沿與水平成角方向射出，并從此時(shí)刻開始計(jì)時(shí)。已知在時(shí)，微粒到達(dá)其軌跡最高點(diǎn)，在時(shí)，微粒的動(dòng)能為750eV；在以上運(yùn)動(dòng)過程中，微粒一直處于勻強(qiáng)電場(chǎng)內(nèi)，且未與A、 B 相碰，求微粒的初動(dòng)能。解：設(shè)微粒的質(zhì)量為，在點(diǎn)時(shí)的初速度為

8、，則初動(dòng)能為由于微粒所受的重力和電場(chǎng)力均為恒力，微粒的軌跡為拋物線，如右圖所示。 在沿水平方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)，分速度為，且保持不變。豎直方向的速度分量的變化是豎直方向上的合力作用的結(jié)果，設(shè)微粒在豎直方向上所受合力為，根據(jù)動(dòng)量定理，從到有從到有解兩式可得在點(diǎn)微粒的動(dòng)能為由題設(shè)條件知eV）（ eV）8、極板相同的兩個(gè)平板空氣電容器充以同樣的電荷量，第一個(gè)電容器兩極板間的距離是第二個(gè)電容器的兩倍。 如果將第二個(gè)電容器插在第一個(gè)電容器兩極板的中央， 并使所有極板都互相平行。問：系統(tǒng)的靜電場(chǎng)如何變化？解：因?yàn)閮蓚€(gè)電容器都是帶電的，兩極板電荷有正、負(fù)之分， 所以必須討論兩種不同插入方法的不同情況。（

9、1）兩電容器原本帶異種電荷的極板相對(duì)。根據(jù)電荷守恒和導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)必為零兩個(gè)原則，插入到第一個(gè)電容器內(nèi)部后，第二個(gè)電容器兩板上的電荷必然都分布在兩板外側(cè)，如圖（ a）所示，否則無法使四塊導(dǎo)體板內(nèi)部分場(chǎng)強(qiáng)都為零。這樣就構(gòu)成了兩個(gè)新的電容器，每個(gè)電容器電荷量和原來相同。因?yàn)殡娙萜鞯哪芰繛樗栽O(shè)原來第二個(gè)電容器兩極間距離為，則原本兩電容器的能量分別為現(xiàn)在兩個(gè)電容器的能量都是因此即這種情況電場(chǎng)能減少到原來的三分之一。2）兩電容器原來帶同種電荷的極板相對(duì)。為了解決這個(gè)問題，我們須補(bǔ)充一些知識(shí)。一個(gè)無限大帶電體表面附近某位置的電場(chǎng)強(qiáng)度和該表面的電荷面密度成正比，和該位置離表面的距離無關(guān)。一個(gè)電容器兩極板內(nèi)表

10、面的電荷面密度必須相同。以上兩個(gè)結(jié)論根據(jù)靜電場(chǎng)中的高斯定理都可推出。引用以上兩個(gè)結(jié)論，再結(jié)合電荷守恒和導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)必為零，即可知道第（2）種情況的電荷分布情況肯定如圖（b）所示。此時(shí)靜電場(chǎng)的能量是三個(gè)電容器的能量之和。因此即這種情況電場(chǎng)能增加到原來的倍。9、如圖所示， 在真空中有4 個(gè)半徑為的不帶電的相同導(dǎo)體球，球心分別位于邊長為（）的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上。首先，讓球1 帶電量為（），然后，取一細(xì)金屬絲，其一端固定于球1上，另一端分別依次與球 2、3、 4、大地接觸，每次接觸時(shí)間都足以使它們達(dá)到靜電平衡。 設(shè)分布在細(xì)金屬絲上的電荷可以忽略不計(jì)。試求流入大地的電量的表達(dá)式。解：當(dāng)球1 和球 2 接

11、通后，用和分別表示 1、 2兩球所帶的電荷量，可得球 1 和球 3 接通后，由于兩球相對(duì)球2 處于對(duì)稱位置，它們的電荷量和也應(yīng)相等，可得球 1 和球 4 接通后， 它們的電勢(shì)和應(yīng)該相等， 它們的電勢(shì)都是由4 個(gè)小球的電勢(shì)疊加而成以上各式中利用了的條件，將、的電荷量代入上邊兩式，并且有，可解得利用的條件，略去二階小量，上式可寫成最后將球1 和球 4 斷開并把球1 接地。設(shè)接地后球1 所帶電荷量為，此時(shí)球1 的電勢(shì)肯定為零。解得此時(shí)球 1 帶負(fù)電，故流入大地之電荷量為10、在真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷和，相距為，試求：（ 1）的中垂面上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，設(shè)場(chǎng)點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為；（ 2）的延長線上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)

12、，設(shè)場(chǎng)點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為；（ 3）空間任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，設(shè)該點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為，與之間的夾角為（設(shè)）。解：（ 1）中垂面上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。中垂面上一點(diǎn)到的距離均為，在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為但、方向不同，在如圖（a）所取的坐標(biāo)中，由對(duì)稱性可知，、在軸上的分量大小相等、方向相反。、在軸上的分量大小相等、方向相同，所以故點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)的絕對(duì)值為方向沿著軸的方向。當(dāng)時(shí)，和組成一個(gè)系統(tǒng)，成為電偶極子。（ 2）的延長線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，到中點(diǎn)的距離為，點(diǎn)到的距離分別為，故在的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為方向?yàn)橄蛴遥蜃螅钥倛?chǎng)強(qiáng)大小為方向向右，如圖（b）。當(dāng)時(shí)，（ 3）如圖（ c）所示，可認(rèn)為C點(diǎn)有兩個(gè)電荷，和，則空間的電場(chǎng)可視為由兩個(gè)

13、電偶極子產(chǎn)生。由 Bq處與C處產(chǎn)生，由A處與C處產(chǎn)生。故11、已知使一原來不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電荷量為的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電荷量。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開后，都給大球補(bǔ)充電荷，使其帶電荷量恢復(fù)到原來的值。求小球可能獲得的最大電荷量。解：方法（ 1）：小球與大球每次接觸后，兩球所帶電荷量的比值為一恒量，其數(shù)值可由第一次接觸后兩球的電荷量求出，即設(shè)、和、分別為1、2次接觸后小球和大球所帶的電荷量，則有由此得第 次接觸后，兩球所帶電荷量之比當(dāng)時(shí)，得出方法（ 2）：由于兩球經(jīng)過多次接觸后，小球的電荷量趨近于最大值，而大球的電荷量趨近于，由于每次接觸后兩球電荷量比值是相同的，故

14、有由此可得12、電荷均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為，CD通過半球面頂點(diǎn)C 與球心的軸線，如圖所示。、為 CD軸線上在點(diǎn)兩側(cè)、 離點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)。 已知點(diǎn)的電勢(shì)為，試求點(diǎn)的電勢(shì)。解：利用割補(bǔ)法，設(shè)想右半球也是均勻帶電的，帶電荷量也是，與左半球組成一個(gè)完整的均勻帶電球面，當(dāng)靜電平衡時(shí)， 均勻帶電球殼內(nèi)部各處的電勢(shì)相等。由此再利用電勢(shì)的疊加原理即可確定。將帶電的半球面ACB增補(bǔ)為一個(gè)完整的、均勻的帶電球面后，由對(duì)稱性可知， 右半球在點(diǎn)的電勢(shì)等于左半球在的電勢(shì)。即所以而正是兩個(gè)半球同時(shí)存在時(shí)點(diǎn)的電勢(shì)。均勻帶電球殼內(nèi)部各處的電勢(shì)相等，其大小等于，為靜電力恒量，所以有由、兩式得、圖（）中 a 為

15、一固定放置的半徑為R的均勻帶電球體，O為其球心。已知取無限遠(yuǎn)處13a的電勢(shì)為零時(shí)，球表面處的電勢(shì)為U1000V 。在離球心 O 很遠(yuǎn)的 O 點(diǎn)附近有一質(zhì)子b ，它以 Ek2000eV 的動(dòng)能沿與 O O 平行的方向射a向 a 。以 l 表示 b 與 O O 線之間的垂足距離，要使b lO質(zhì)子 b 能夠與帶電球體 a 的表面相碰，試求l 的最OR大值。把質(zhì)子換成電子，再求l的最大值。圖（ a）解：令 m 表示質(zhì)子的重量， v0 和 v 分別表示質(zhì)子的初速度和達(dá)到 a 球球面處的速度，e 表示電荷，由能量守恒可知1 mv021 mv2eU22因?yàn)?a 不動(dòng)，可取其球心 O 為原點(diǎn)。由于質(zhì)子所受的a

16、 球?qū)λ撵o電庫侖力總是通過a球的球心，所以此力對(duì)原點(diǎn)的力矩始終為零，質(zhì)子對(duì)O 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。所求 l 的最大值對(duì)應(yīng)于質(zhì)子到達(dá) a 球表面處時(shí)， 其速度方向剛好與該處b球面相切，如圖（ b）所示。以 lmax 表示 l 的最大值，Ol max由角動(dòng)量守恒有ORmv0lmaxmvR圖（ b）由式、可得lmax1eURbmv02 2l m axO代入數(shù)據(jù)，可得O2R圖（ c）lmaxR2若把質(zhì)子換成電子，則如圖（c）所示，此時(shí)式中e改為e 。同理可求得lmax6 R214、考慮一個(gè)原子序數(shù)為Z 的經(jīng)典原子模型，忽略電子間相互作用。設(shè)原子中某一電子 e1 在離核 r0 處作平面勻速圓周運(yùn)動(dòng)。突然，

17、由于某個(gè)過程，外面的另一個(gè)電子被俘獲進(jìn)原子核， 假定這俘獲過程進(jìn)行得如此之快，以至電子 e1 的速度未受任何影響，且仍然留在原子系統(tǒng)中。試把描述電子e1 在這種情況下運(yùn)動(dòng)的量（能量、軌道參數(shù)、周期）都用r0 、電子質(zhì)量 m 、電子電荷絕對(duì)值e、原子序數(shù)Z 表達(dá)出來，并與原來的運(yùn)動(dòng)作比較。解：電子繞核運(yùn)動(dòng)的向心力由庫侖吸引力提供，即kZe2mv02（ 1）r02r0故原子核未俘獲電子以前，軌道電子的速度v0 和動(dòng)能 F0 可分別寫為v0kZe2， EK1 mv02kZe2（ 2）mr022r0軌道電子的靜電勢(shì)能為EPkZe2（ 3）U (r )r0軌道電子總能量UEKkZe2（ 4）EP02r0

18、電子軌道運(yùn)動(dòng)周期為T02 r02 r03 2m（ 5）v0kZe2設(shè)軌道電子運(yùn)動(dòng)到 A 點(diǎn)時(shí)，原子核恰好俘獲另一電子，現(xiàn)討論軌道電子以后的運(yùn)動(dòng)情況。由于軌道電子運(yùn)動(dòng)速度vA 不變（即 vAv0 ），其動(dòng)能不變，即EKEK（ 6）其中 EK 由（ 2）式表示。但原子核電荷變?yōu)?(Z1)e ，故電勢(shì)能為EPk (Z 1)e2（7）r0利用（ 6）、（ 7）式可知總能量UEKk(Z2)e2U（8）EP2r0因?yàn)殡娮尤员辉雍耸`而不能運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，故U 0。由（ 8）式知 Z3，而俘獲后電子速度未變，維持圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力未變，但庫侖引力的大小卻變?yōu)閗 ( Z1)e2 r02 。由（ 1）式知靜電

19、力不能提供足夠的向心力，電子將偏離圓軌道，它離原子核距離將越來越大， 但它與原子核之間作用力仍滿足平方反比律，這與行星繞恒星運(yùn)動(dòng)的情況很類似，故電子的軌道應(yīng)為橢圓，且A 點(diǎn)應(yīng)是橢圓軌道的近日點(diǎn)（因?yàn)殡娮釉贏 點(diǎn)時(shí)的速度垂直于 A 點(diǎn)與原子核所在處的連線，且 A 點(diǎn)是離原子核距離最近的點(diǎn)） 。設(shè)其遠(yuǎn)日點(diǎn)為B ，B 與核的距離為 rB ，電子在 B 點(diǎn)的速度為 vB ，則根據(jù)開普勒第二定律行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，以太陽為中心的矢徑在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，利用（2）式可知1 rBvB1 r0 v01kZe2r0（ 9）222m由能量守恒知，電子在B 點(diǎn)時(shí)總能量應(yīng)等于（8）式，即1mvB2k(Z1)e2k(Z

20、2)e2（10）2rB2r0（注意：這里 EP的表示中 r0 已改為 rB ）（ 9）、（ 10）式聯(lián)立可解得rBZr0（11）Z2rBr0（ 12）因?yàn)?Z (Z 2) r0 r0 ，故（ 11）式表示的是遠(yuǎn)日點(diǎn)的矢徑大小， （12）式表示的是近日點(diǎn)的矢徑大小。因A 點(diǎn)離核距離為r0 ，則 A 點(diǎn)就是近日點(diǎn)，這與前面的假設(shè)是一致的。下面求軌道參數(shù)：設(shè) a 、b 、c 分別為此橢圓軌道的半長軸、半短軸和半焦距 （顯然原子核所在處為焦點(diǎn)），則r0aZr0ac（13）c ，2Z由此求得Z1Z1r0（ 14）ar0 ， bZr0 ， cZZ222因橢圓面積 Sab ，而（ 9）式已表示了橢圓運(yùn)動(dòng)的面

21、積速度，故電子運(yùn)動(dòng)的周期ab2 (Z1)3 2mT1(Z 2)3 2r0ke2（15）2 v0 r0將（ 15）式與（ 5）式作比較，由于T T2(Z1)r 3 2m2 r3 2m0(Z2)3 20ke20kZe2Z (Z1)21T0( Z2)3而由（ 8）式知 Z3，故 Z(Z1)21，說明 T T0。( Z2)315、（第 26 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽題）惰性氣體分子為單原子分子，在自由原子情形下，其電子電荷分布是球?qū)ΨQ的。負(fù)電荷中心與原子核重合。但如兩個(gè)原子接近，則彼此能因靜電作用產(chǎn)生極化（正負(fù)電荷中心不重合），從而導(dǎo)致有相互作用力，這稱為范德瓦爾斯相互作用。下面我們采用一種簡(jiǎn)化模型來

22、研究此問題。x當(dāng)負(fù)電中心與原子核不重合時(shí)，若以x 表示負(fù)電中心相對(duì)正電荷（原子核）的位移，當(dāng)x 為正時(shí)，負(fù)電中心在正電荷的右側(cè)，當(dāng)x 為負(fù)時(shí)，負(fù)圖 1電中心在正電荷的左側(cè)，如圖1所示。這時(shí)，原子核的正電荷對(duì)荷外負(fù)電荷的作用力f 相當(dāng)于一個(gè)勁度系數(shù)為k 的彈簧的彈性力，即 f=kx，力的方向x1x2指向原子核， 核外負(fù)電荷的質(zhì)量全部集中在負(fù)電中心， 此原R子可用一彈簧振子來模擬。圖 2今有兩個(gè)相同的惰性氣體原子，它們的原子核固定，相距為R，原子核正電荷的電荷量為 q，核外負(fù)電荷的質(zhì)量為m。因原子間的靜電相互作用，負(fù)電中心相對(duì)各自原子核的位移分別為 x1 和 x2 ，且 |x1|和 |x2|都遠(yuǎn)小

23、于 R，如圖 2所示。此時(shí)每個(gè)原子的負(fù)電荷除受到自己核的正電荷作用外，還受到另一原子的正、負(fù)電荷的作用。眾所周知，孤立諧振子的能量E=mv2/2+kx2/2 是守恒的，式中 v 為質(zhì)量 m 的振子運(yùn)動(dòng)的速度，x 為振子相對(duì)平衡位置的位移。量子力學(xué)證明， 在絕對(duì)零度時(shí)， 諧振子的能量為h/2，稱為零點(diǎn)振動(dòng)能，h / 2，h 為普朗克常量，k / m 為振子的固有角頻率。試計(jì)算在絕對(duì)零度時(shí)上述兩個(gè)有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子構(gòu)成的體系的能量，與兩個(gè)相距足夠遠(yuǎn)的 （可視為孤立的、沒有范德瓦爾斯相互作用的）惰性氣體原子的能量差，并從結(jié)果判定范德瓦爾斯相互作用是吸引還是排斥。可利用當(dāng) |x|1 時(shí)

24、的近似式 (1+ x)1/2 1+x/2-x2/8，(1+ x)-11-x+x2。解： 兩個(gè)相距R 的惰性氣體原子組成體系的能量包括以下幾部分：每個(gè)原子的負(fù)電中心振動(dòng)的動(dòng)能， 每個(gè)原子的負(fù)電中心因受各自原子核“彈性力 ”作用的彈性勢(shì)能， 一個(gè)原子的正、負(fù)電荷與另一原子的正、負(fù)電荷的靜電相互作用能.以 v1 和 v2 分別表示兩個(gè)原子的負(fù)電中心振動(dòng)速度，x1 和 x2 分別表示兩個(gè)原子的負(fù)電中心相對(duì)各自原子核的位移，則體系的能量E1 mv121 mv221 kx121 kx22U，(1)2222(1)式中 U 為靜電相互作用能UkCq211x211，(2)R R x1R x1R x2kC 為 靜

25、 電 力 常 量 因 R x1x2R 1x1x2， Rx1 R 1x1，RRR x2 R 1x2，利用 11xx2 ，可將 (2)式化為Rx1U2kCq2 x1 x2，(3)R3因此體系總能量可近似表為12 1212122kCq2 x1 x2E2 mv1 2kx12mv22kx2R3.(4)2222注意到 a2b2abab和2abab2ab，可將 (4) 式改寫為2E1mu121k2kCq2y121mu 221k2kCq2y22 .(5)22R322R3式中，u1v1v 22 ，(6)u2v1v 22 ，(7)y1x1x22 ，(8)y2x1x22 (9)式表明體系的能量相當(dāng)于兩個(gè)獨(dú)立諧振子的

26、能量和，而這兩個(gè)振子的固有角頻率分別為k2kCq2 R3(10)1，mk2kC q2 R3(11)2.m在絕對(duì)零度，零點(diǎn)能為E012 ，(12)12兩個(gè)孤立惰性氣體原子在絕對(duì)零度的能量分別表示為E10 和 E20 ，有E1010 ，(13)E202式中k(14)0m為孤立振子的固有角頻率 由此得絕對(duì)零度時(shí)， 所考察的兩個(gè)惰性氣體原子組成的體系的能量與兩個(gè)孤立惰性氣體原子能量和的差為E E0 E10 E20 (15)利用 1 x1 22 8，可得1 x 2 xEkC2 q46 (16)32 12R2 km0 ，表明范德瓦爾斯相互作用為相互吸引16、（第23 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題）如圖所示

27、，電荷量為 q1的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O 處，電荷量為q2 的正點(diǎn)電荷固定在x 軸上，兩電荷相距l(xiāng) 。已知 q22q1 。q1q2（）求在 x 軸上場(chǎng)強(qiáng)Oxl為零的 P 點(diǎn)的坐標(biāo)。（）若把一電荷量為 q0的點(diǎn)電荷放在 P 點(diǎn)，試討論它的穩(wěn)定性 （只考慮 q0 被限制在沿x 軸運(yùn)動(dòng)和被限制在沿垂直于解：（）通過對(duì)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)方向的分析，場(chǎng)q1強(qiáng)為零的P 點(diǎn)只可能O位于兩點(diǎn)電荷之間。設(shè)x 軸方向運(yùn)動(dòng)這兩種情況）。Pq2x0l x0 xP 點(diǎn)的坐標(biāo)為x0，則有q1kq2（ 1）k 22x0(l x0 )已知q22q1（ 2）由（ 1）、（ 2）兩式解得x0(21)l（ 3）（）先考察點(diǎn)電荷q0 被限

28、制在沿x 軸運(yùn)動(dòng)的情況。q1、 q2 兩點(diǎn)電荷在P 點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小分別為Ek q1E20kq210 x02(lx0 )2且有E10E20二者方向相反。點(diǎn)電荷q0 在 P 點(diǎn)受到的合力為零，故P 點(diǎn)是 q0 的平衡位置。在x軸上 P 點(diǎn)右側(cè)xx0 x處，1、q2 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小分別為qE1kq1E10方向沿 x 軸正方向x) 2( x0E2kq2x) 2E20方向沿x 軸負(fù)方向x0(l由于 E2E1，xx0 x處合場(chǎng)強(qiáng)沿x 軸的負(fù)方向， 即指向 P 點(diǎn)。在 x 軸上 P點(diǎn)左側(cè) xxx 處 q1、 q2的場(chǎng)強(qiáng)的大小分別為0E1kq1E10方向沿x 軸正方向x) 2( x0E2kq2x) 2

29、E20方向沿x 軸負(fù)方向x0(l由于E2E1， xxx處合場(chǎng)強(qiáng)的方向沿x 軸的正方向，即指向P 點(diǎn)。0由以上的討論可知，在x 軸上，在 P點(diǎn)的兩側(cè)，點(diǎn)電荷q1 和 q2 產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)的方向都指向P 點(diǎn)，帶正電的點(diǎn)電荷在P 點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都指向P 點(diǎn)，所以當(dāng) q00 時(shí)， P 點(diǎn)是 q0 的穩(wěn)定平衡位置。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在P 點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都背離P點(diǎn)，所以當(dāng) q0 0時(shí)， P 點(diǎn)是 q0的不穩(wěn)定平衡位置。再考慮 q0被限制在沿垂直于x 軸的方向運(yùn)動(dòng)的情況。 沿垂直于 x軸的方向， 在 P點(diǎn)兩側(cè)附近，點(diǎn)電荷q1 和 q2產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)沿垂直x 軸分量的方向都背離P 點(diǎn)，因而帶正電的

30、點(diǎn)電荷在P 點(diǎn)附近受到沿垂直x 軸的的分量的電場(chǎng)力都背離P 點(diǎn)，所以，當(dāng)q0 0時(shí)， P 點(diǎn)是 q0 的不穩(wěn)定平衡位置。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在P 點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都指向 P點(diǎn)，所以當(dāng) q00時(shí)， P 點(diǎn)是 q0的穩(wěn)定平衡位置。17、（第 23 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題） 串列靜電加速器是加速質(zhì)子、重離子進(jìn)行核物理基礎(chǔ)研究以及核技術(shù)應(yīng)用研究的設(shè)備，右圖是其構(gòu)造示意圖。S 是產(chǎn)生負(fù)離子的裝置， 稱為離子源； 中間部分 N 為充有氮?dú)獾墓艿溃?通過高壓裝置H 使其對(duì)地有5.00106 V的高壓。現(xiàn)將氫氣通人離子源S，S 的作用是使氫分子變?yōu)闅湓樱⑹箽湓诱掣缴弦粋€(gè)電子，成為帶有一個(gè)電子電量的氫負(fù)

31、離子。氫負(fù)離子（其初速度為0)在靜電場(chǎng)的作用下，形成高速運(yùn)動(dòng)的氫負(fù)離子束流，氫負(fù)離子束射入管道N 后將與氮?dú)夥肿影l(fā)生相互作用，這種作用可使大部分的氫負(fù)離子失去粘附在它們上面的多余的電子而成為氫原子，又可能進(jìn)一步剝離掉氫原子的電子使它成為質(zhì)子。已知氮?dú)馀c帶電粒子的相互作用不會(huì)改變粒子的速度。質(zhì)子在電場(chǎng)的作用下由N 飛向串列靜電加速器的終端靶子T 。試在考慮相對(duì)論效應(yīng)的情況下，求質(zhì)子到達(dá)T 時(shí)的速度 v 。電子電荷量 q 1.60 1019C，質(zhì)子的靜止質(zhì)量m0 1.673 10 27kg。解：帶電粒子在靜電場(chǎng)內(nèi)從S到 T 的運(yùn)動(dòng)過程中， 經(jīng)歷了從 S到 N 和從 N 到 T 的兩次加速，粒子帶的

32、電荷量q 的大小均為 1.6010 19 C ，若以 U 表示 N 與地之間的電壓，則粒子從電場(chǎng)獲得的能量E2qU(1)質(zhì)子到達(dá) T 處時(shí)的質(zhì)量mm0(2)21 v c式中 v 為質(zhì)子到達(dá) T 時(shí)的速度質(zhì)子在S 處的能量為 m0 c2 ，到達(dá) T 處時(shí)具有的能量為mc 2 ，電子的質(zhì)量與質(zhì)子的質(zhì)量相比可忽略不計(jì)，根據(jù)能量守恒有mc2Em0c 2（ 3）由（ 1）、（ 2）、（3）式得12qU212m0 c1v c代入數(shù)據(jù)解得v4.34107 m/s（4）18、（第 22 屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題試題）三個(gè)電容器分別有不同的電容值C1、C2、 C3 現(xiàn)把這三個(gè)電容器組成圖示的(a)、(b) 、

33、(c)、 (d) 四種混聯(lián)電路，試論證：是否可以通過適當(dāng)選擇C1、C2、 C3 的數(shù)值，使其中某兩種混聯(lián)電路A、 B 間的等效電容相等AAAAC1C1C1C2 C1C3C3C2C2C3BBC3C2BB(a)(b)(c)(d)解：由電容 C 、 C 組成的串聯(lián)電路的等效電容C CC串CC由電容 C 、 C 組成的并聯(lián)電路的等效電容C并CC利用此二公式可求得圖示的4 個(gè)混聯(lián)電路 A、 B 間的等效電容Ca、 Cb、 Cc、Cd 分別為CaC1C2CC1C2C1C3C2C3C3（ ）C1C23C1C21CbC1C3C1C2C1C3C2C3C2（ 2）C1C2C1C3C3CcC1C2 C3C1C3C2

34、C3C3（ 3）C1C2C3C1C 2C3CdC1C3 C2C1C2C2C3C2（ 4）C1C3C2C1C2C3由（ 1）、（ 3）式可知CaCc（5）由（ 2）、（ 4）式可知CbCd（ 6）由（ 1）、（ 2）式可知CaCb（ 7）由（ 3）、（ 4）式可知Cc Cd（ 8）若 CaCd ，由（ 1）、（ 4）式可得C122C1C2C1C3C2 C30因?yàn)?C1 、 C2 和 C3 均大于 0，上式不可能成立，因此Ca Cd（ 9）若 CbCc ，由（ 2）、（ 3）式可得C122C1C3C1C2C2C30因?yàn)?C1 、 C2 和 C3 均大于 0，上式不可能成立，因此Cb Cc(10)綜

35、合以上分析，可知這四個(gè)混聯(lián)電路的等效電容沒有一對(duì)是相等的19、（第二十屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題）圖（ a）中 A 和 B 是真空中的兩塊面積很大的平行金屬板、加上周期為T 的交流電壓，在兩板間產(chǎn)生交變的勻強(qiáng)電場(chǎng)己知B 板電勢(shì)為零， A 板電勢(shì) UA 隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖（b）所示，其中 UA 的最大值為的 U 0，最小值為一 2U0在圖（ a）中，虛線MN 表示與 A、 B 扳平行等距的一個(gè)較小的面，此面到A和 B 的距離皆為 l在此面所在處，不斷地產(chǎn)生電量為q、質(zhì)量為 m 的帶負(fù)電的微粒，各個(gè)時(shí)刻產(chǎn)生帶電微粒的機(jī)會(huì)均等這種微粒產(chǎn)生后， 從靜止出發(fā)在電場(chǎng)力的作用下運(yùn)動(dòng)設(shè)微粒一旦碰到金屬板，

36、 它就附在板上不再運(yùn)動(dòng)， 且其電量同時(shí)消失， 不影響 A、B 板的電壓 己知上述的 T、 U0、 l ， q 和 m 等各量的值正好滿足等式l 23 U 0 q2T16 2m2若在交流電壓變化的每個(gè)周期T 內(nèi)，平均產(chǎn)主320 個(gè)上述微粒，試論證在t 0 到 t T2 這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)主的微粒中，有多少微粒可到達(dá)A 板（不計(jì)重力，不考慮微粒之間的相互作用）。圖（ a）圖（ b）解：在電壓為 U 0 時(shí)，微粒所受電場(chǎng)力為U 0 q / 2l，此時(shí)微粒的加速度為a0U 0 q / 2lm 。將此式代入題中所給的等式，可將該等式變?yōu)?l3aT（ 1）1602現(xiàn)在分析從 0 到 T / 2 時(shí)間內(nèi)，何時(shí)產(chǎn)生

37、的微粒在電場(chǎng)力的作用下能到達(dá)A 板，然后計(jì)算這些微粒的數(shù)目。在 t 0 時(shí)產(chǎn)生的微粒，將以加速度 a0向 A 板運(yùn)動(dòng)，經(jīng) T / 2 后，移動(dòng)的距離x 與式（ 1）相比，可知12xa0Tl（2）22即 t 0 時(shí)產(chǎn)生的微粒，在不到T / 2 時(shí)就可以到達(dá) A 板。在 U A U 0 的情況下，設(shè)剛能到達(dá) A 板的微粒是產(chǎn)生在tt1 時(shí)刻，則此微粒必然是先被電壓U 0 加速一段時(shí)間t1 ，然后再被電壓 2U 0 減速一段時(shí)間，到A 板時(shí)剛好速度為零。用d1 和 d 2 分別表示此兩段時(shí)間內(nèi)的位移， v1 表示微粒在t1 內(nèi)的末速，也等于后一段時(shí)間的初速，由勻變速運(yùn)動(dòng)公式應(yīng)有d11 a0 ( t1

38、 )2（ 3）20 v122( 2a0 ) d2（4）又因v1a0 t1 ，（5）d1d2l ，（ 6）t1t1T（7），2由式（ 3）到式（ 7）及式（ 1），可解得t1T，（ 8）2這就是說，在 U AU 0 的情況下，從 t 0 到 t T / 4 這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒都可到達(dá)A板（確切地說，應(yīng)當(dāng)是tT /4）。為了討論在 T / 4 t t / 2這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒的運(yùn)動(dòng)情況，先設(shè)想有一靜止粒子在A板附近，在 U A2U 0 電場(chǎng)作用下，由A 板向 B 板運(yùn)動(dòng)，若到達(dá)B 板經(jīng)歷的時(shí)間為，則有2l1(2 a0 )22根據(jù)式（ 1）可求得31 T24由此可知，凡位于 MN 到 A 板這一區(qū)域中的靜止微粒，如果它受U2U 0 的電場(chǎng)作用時(shí)間大于，則這些微粒都將到達(dá)B