1、第 頁絕密啟用前 2013年江蘇省高考壓軸卷數學試題第卷（必做題，共160分）一填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1已知集合若,則為_.2.若命題“”是真命題，則實數的取值范圍是（3，+）（，1） 3. 在棱長為2的正方體中，點為底面的中心，在正方體內隨機取一點，則點到點的距離大于1的概率為 . 4. 若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則的值為 6 5. 已知，,則=_.6已知實數滿足不等式組，則的最小值為 .7. 按下圖甲是某市有關部門根據對當地干部的月收入情況調查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖甲中從左向右第一組的頻數為4000. 在樣本中記月收入在，,的人數依次為、圖乙

2、是統計圖甲中月工資收入在一定范圍內的人數的算法流程圖，則樣本的容量 10000 ；圖乙輸出的 6000 （用數字作答）8.已知直線、，平面、,給出下列命題:若，且，則 若，且，則若，且，則 若，且，則其中正確的命題的個數為 _1_.9.若函數則f（x）的單調遞增區間是.10. 如圖2所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”， 它們是由整數的倒數組成的，第行有個數且兩端的數均為，每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，如，則第10行第4個數（從左往右數）為 11設函數的圖象在x=1處的切線為l，則圓上的點到直線l的最短距離為 .C y x OAB（第12題） 12如圖，在平面直角坐標系xOy中， 點A

3、為橢圓E： （）的左頂點， B，C在橢圓E上，若四邊形OABC為平行四邊形，且OAB30，則橢圓E的離心率等于 .13.當時，恒成立，則實數的取值范圍是_14. 已知正項等比數列滿足，若存在兩項使得，則的最小值是 二、解答題：本大題共6小題，共90分.15.（本小題滿分14分）已知復數,且（1）若且，求的值；（2）設，已知當時，試求的值解：（1） 若則得 或或（2）當時， AEDBCG.16如圖，已知空間四邊形中，是的中點求證：（1）平面CDE；（2）平面平面 （3）若G為的重心,試在線段AE上確定一點F, 使得GF/平面CDE證明：（1）同理，又 平面5分（2）由（1）有平面又AB平面， 平

4、面平面9分（3）連接AG并延長交CD于H，連接EH，則，在AE上取點F使得，則GFEH，易知GF平面CDE14分17（本小題滿分14分） ABCDMOPQF如圖所示，某市政府決定在以政府大樓為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設扇形的半徑 ，與之間的夾角為.（1）將圖書館底面矩形的面積表示成的函數.（2）求當為何值時，矩形的面積有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)解（）由題意可知，點M為的中點，所以.設OM于BC的交點為F，則，. 所以

5、 ，. （）因為，則.所以當 ，即 時，S有最大值. .故當時，矩形ABCD的面積S有最大值.18. (本小題滿分16分) 已知、分別是直線和上的兩個動點，線段的長為，是的中點（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點任意作直線（與軸不垂直），設與（1）中軌跡交于兩點，與軸交于點若，證明：為定值 解：（1）設， 是線段的中點， 2分分別是直線和上的點，和 4分又， 5分，動點的軌跡的方程為 8分（2）依題意，直線的斜率存在，故可設直線的方程為 設、，則兩點坐標滿足方程組消去并整理，得， 10分， 12分，即與軸不垂直，同理 14分將代入上式可得 16分19設數列的通項是關于x的不等式 的解集中整數的

6、個數.（1）求并且證明是等差數列；（2）設m、k、pN*，m+p=2k，求證：；（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由解：（1）不等式即解得：，其中整數有2n-1個由通項公式可得：，所以數列是等差數列（2）由（1）知， Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2由 w=0，即 （3）結論成立，證明如下：設等差數列an的首項為a1，公差為d，則， ，把代入上式化簡得=0， Sm+Sp2Sk又=， 故原不等式得證20（本題滿分16分）設函數 （1）試判斷當的大小關系； （2）求證：； （3）設、是函數的圖象上的兩點，且，證明：（1

7、）解：設則由， 時，取得最小值為， 即5分（2）證明：由（1）知令則10分（3）證明：，于是，以下證明等價于。令，則，在上，所以當即從而，得到證明。對于同理可證。所以另法：（3）證明：，于是，以下證明。只要證：，即證：設：， ， 上為減函數， ， ，即。同理可證：，所以第卷（附加題，共40分）21. B（選修：矩陣與變換） 已知M=，試計算解：矩陣M的特征多次式為，對應的特征向量分別為和，而，所以C（選修：坐標系與參數方程）在極坐標系下，已知圓和直線。 （1）求圓和直線的直角坐標方程； （2）當時，求直線與圓公共點的極坐標。解：（1）圓，即，圓的直角坐標方程為：，即，直線，即則直線的直角坐標方程為：，即。 （2）由得， 故直線與圓公共點的一個極坐標為。22.（本小題滿分10分）某大樓共5層，4個人從第一層上電梯，假設每個人都等可能地在每一層下電梯，并且他們下電梯與否相互獨立. 又知電梯只在有人下時才停止.（） 求某乘客在第層下電梯的概率 ；（）求電梯在第2層停下的概率；（）求電梯停下的次數的數學期望.解：（）； （） （）可取1、2、3、4四種值； ；故的分別列如下表：123423.（本小題滿分10分）設數列n滿足1，n1n21，()當(,2)時，求證：M；()當(0,時，求證：M；()當(,)時，判斷元素與集合M的關