1、15.2.5 正態分布一般正態分布用記號 X N (,2 ) 表示其中,為均值, 為2 方差特別, 稱 N(0,1) 為標準正態分布.性質:設 X N (, 2 )則Z X N0(,1)Z 值的含義要能深入理解。的“標準 分”，身高、體重的 Z 值代表在整個分布中的位置。2馬逢時6.2.1 統計補充：導出分布及其應用1. 導出分布的定義（見藍81 92）卡方、T分布及F分布2. 思考題：1）Z為標準正態分布，則Z2的分布為2）T為 t(n)分布，則T2的分布為3）F為 F(n,m)分布，則1/F 的分布為4）F 分布表可用，求 F0.025 (9, 7) 的值5）設 已（未）知，求 的95%置

2、信區間。6）設 已知，求 2 的95%置信區間。1馬逢時2累積分布函數概念概念：Cumulative Function F(x) ：當 x 給定后，F(x)代表 x 左方面積, 即隨量X小于 x 的概率。（顯然，隨x的增大，F(x)也增大；直到x無限增大, F(x)最后達到1）F(x)代表這塊面積xX4馬逢時一般正態分布與標準正態分布y 如果有 Y N ( ,2 ) ，令 z 則 z N (0,1)y z 3馬逢時對應Z值的理解生在期末實際成績為72分，但折某高校算為z值時得到 z = -2。這說明什么？ z值有什么用？因為 z = -2，說明大約只有2.28%的學生成績比他低。此學生成績在班

3、內比較差。z值作為描述其在分布中的位置非常有用。某位滿歲嬰兒，其身高z值為 . ，體重z值為0.7。這是什么意思？說明此嬰兒發育狀況如何？大約有90%的同齡嬰兒比他矮，大約有76%的同齡嬰兒比他輕。他的總發育狀況很好，但仍不夠均衡，在偏高的嬰兒中他仍有些偏瘦。馬逢時63分位數(le)概念當 p 給定后，XP代表 左方面積為p時, 橫坐標 的位置。顯然，隨p的增大， XP 也增大；直到隨p增大到1， XP 也增大至于無限。對于年分布，如果右側概率為 1/T，則其分位數稱為T年一遇值。例如， X0.99 為百年一遇值； X0.95 為廿年一遇值； X0.90 為十年一遇值。p代表這塊面積XxP5馬

4、逢時4列聯表與Simpson悖論經卡方檢驗，車間 B 優于車間 A。對兩種產品分別進行卡方檢驗，車間 A 都優于車間 B 兩種產品不良率不同，不能用求和方法處理。8馬逢時5.2.7統計量與抽樣分布設Xi N (, ), i 1,., n.2 2則X N (, n )可以化為Z X N ( 0 ,1)n還有,X T s t(n 1)n這里, t (n) 是度為n 的 student T-分布. T分布與標準正態分布形狀相同，只是更分散。7馬逢時6.4.3 Simpson悖論原例按按人分類，不論是白人或，黑判比都高于白人。不區分刑比率高于則總的數據卻是：白人。被判死為白人時判比率高，而白人白人的比

5、率高：132/（132+9）=0.93610馬逢時56.4.3 Simpson悖論原例Simpson悖論（此例僅為數學悖論而非統計悖論）Florida州1976-1977年被判情況結論：白人被判比率高于9馬逢時66.4.3列聯表的統計分析再仔細分析更進 步數據5 個學院的報名及錄取狀況數據文件：學生錄取.MTW這屬于 3維列聯表。學院是最外“層”。 結論：各學院男女錄取比率均無顯著差異。12馬逢時6.4.3列聯表的統計分析M大學錄取結果全校總和的比較用列聯表檢驗，男生錄取率顯著高于此結論對嗎?11馬逢時錄取人數未錄取人數報名人數錄取率男生73392616590.441842898514130.

6、302976.4.3列聯表的統計分析按學院列出報名人數及錄取率如下：“ 總錄取率低”的原因是男 報名人數的分布不同：男生在錄取率高的學院考生比率高； 在錄取率高的學院考生比率很低。14馬逢時6.4.3列聯表的統計分析將學院作為外層，各學院男錄取比率均無顯著差異。13馬逢時8殘差方法為了進行殘差，要以下殘差圖：殘差和試驗順序（時間序列）殘差和響應（ y ）若有“喇叭口”要考慮對Y做變換%Boxcoxregres Y C1-Cp殘差的正態分位圖殘差和輸入因子（Xs）若有彎曲要考慮增加X的高階項16馬逢時6.5.7 Mood 中位數檢驗原理：先求出全部數據的中位數M，再在各樣本內對于“比M大”、“比

7、M小”的數據個數，列聯表。例題：Casting.mtw 對A-E共6個車間輪箍斷裂強度比較中位數檢驗相當于符號 檢驗，數據量要求要大，但穩健性好；Kruskal-Wallis 檢驗相當于符號秩檢驗，數據量可以很小，但穩健性差。15馬逢時9殘差的常見處理11. 殘差和響應圖中若有“喇叭口”要考慮對Y做變換例:Reg_氨損失量%boxcoxregres C6 C2-C5（首列為全1，列號不必須連續）在=1處蘭線位于紅虛線上方，則需要對Y做變換圖中可看出，當=0.5時蘭線有極小值，故對Y做變換Y*=Y0.5可以使殘差圖消除喇叭口。18馬逢時殘差圖例:Reg_氨損失量17馬逢時的常見處理2殘差殘差對于

8、值也發現有彎曲但更重殘差對于預測值也發現有彎曲，則要考慮增加X的高階項。也有彎曲馬逢時2010殘差的常見處理22. 殘差和自變量圖中若有彎曲，則要考慮增加X的高階項。例：原木體積的估算（數據文件：Reg原木體積）自變量系數 系數標準誤TP 方差膨脹因子常量 -4.45980.4151 -10.74 0.000C3.21180.128325.04 0.000 1.041H0.248440.052774.71 0.000 1.041S = 0.417781 R-Sq = 96.4% R-Sq（調整） = 96.1%方差分析來源度SSMSFP回歸2126.550 63.275 362.52 0.00

9、0殘差誤差274.713 0.175合計29 131.26319馬逢時11殘差的常見處理2解決辦法：增加 C2 項（記為CC）行否？發現有問題。將自變量 x 與所有其它自變量作回歸，設決定系數為 R2ii若 R2 接近于1，則說明 xi 有依賴于其它自變量的線性關系，i此方程應修改。為度量這種依賴性，引入方差膨脹因子VIF =1此數值肯定大于1，它越大則說明線性i-2依賴關系嚴重（即存在共線性）。i應增加輸出“方差膨脹因子”，本例中 VIF 最大者遠超過10 。若VIF 回歸 二進制Logistic回歸”進入。使用“響應”/“頻率”格式：“響應”填寫“”；“頻率”填寫“人數”；“模型”填寫“

10、”及“”婚況”；因子填寫“婚況”。打開“ ”，選存“事件概率”。得到Logistic回歸，且是分4組給出的結果。分4組給出在不同段上的概率。29馬逢時2 二值邏輯回歸應用例3有配偶概率, 喪偶概率, 離婚概率, 未婚概率 的時間序列圖1412108642012345678910指數馬逢時3216數據變量有配偶概率喪偶概率離婚概率未婚概率2 二值邏輯回歸應用例3Logistic 回歸方程：11.9594 有配偶p 11.51603 喪偶ln 0.12416 1 p 11.84606 離婚 10.82948 未婚系數為正，表明隨增長，率在上升。每增加1歲， ln p將增加0.124，也即優勢比（死

11、1 p0 12416亡率與存活率的比值）將增加 e 1.1322倍。有配偶率最低；離婚者喪偶者率次之；喪偶者率較高；未婚者率最高。31馬逢時3 名義值的Logistic回歸響應變量取值只”或“否”，稱為名義值的Logistic回歸分析，仍借助于二值Logistic回歸分析。離散變量取名義值的情形（品牌有A、B、C、D共 4種；車間中有A、B、C共3種車床等等）。與響應變量有關的自變量：可以是離散變量,也可以是連續變量，要建立回歸方程。主要的工具就應該是二進制Logistic回歸分析：從離散的響應變量的多個取值中，選出一個作為“參考值”。其余者輪流與之配對，采用二進制Logistic回歸方法來分

12、析。原來如果取K個名義值，可以用K-1對二進制Logistic回歸方法來解決全部問題。33馬逢時3 名義值邏輯回歸例3。分析汽車銷售問題。了他銷售的303輛汽車的各項狀況：包括汽車銷售商、狀況、購車者國別、汽車尺寸、汽車車型，數據文件為：TBL_汽車銷售MTW響應變量為汽車車型（汽車尺寸）。它們與（連續變量）、國別的定量關系從指令“統計 回歸 名義Logistic回歸”進入。使用“響應”/“頻率”格式：“響應”填寫“”；“頻率”填寫“人數”；“模型”填寫“”及“”婚況”；因子填寫“婚況”。打開“ “事件概率”。”，選存得到Logistic回歸，且是分4組給出的結果。34馬逢時17187.5.4

13、 響應曲面設計練習例2。提高彈力的響應曲面設計。1）對于成分A、成分B、溫度3因子進行23 3試驗，數據文件為 DOE彈力. mtw。分析結果及殘差圖都顯示出現彎曲。要進行RSM。 2）安排CCC設計，共需20點，（含6個軸向點，及再補3個中心點）；在原試驗結果基礎上，再安排 9點，但擔心試驗條件的變化，將這些試驗劃歸另一個區組 。數據文件為DOE彈力RSM. Mtw3）分析要y點：1. 分析時區組作為因子，區組響應顯著；2 .對于 的殘差圖呈現“喇叭”狀，提示要對Y做變換；3 .指令確認取=-0.5可使方差達到齊性；4 .對Y進行變化，重新計算，確認結果正常。找到最優設置。5 .對于最優設置

14、進行預報時，先要在分析時刪去區組作為因子，然后才能給出預報6 .考慮和不考慮區組的預報誤差懸殊，對于兩區組差異顯著的原因要進行分析。36馬逢時4 有序值邏輯回歸離散變量取有序值的情形，例如空氣污染等級分為I、 II、III、IV共4個級別，這里IV級污染最重，III級次之，II級更好些，I 級最好，他們之間可以排出順序 來。這就提供了比前兩種情況的信息。工具仍為二進制Logistic回歸分析。I II III | VI;I II | III VI; I | II III VI 共比3次一般，序觀測值分為K級，比較共K-1對。蠑螈的分為3級：1級是小于10天；2級是介于10天至30天；3級是31

15、天以上。比兩次： I | II III； I II | III；回歸系數是0.1199。毒性水平每增加1級，會變為原來的exp(0.1199)= 1.127倍，即出現1級的可能性與出現2、3級的優勢比增加大約12.7%。35馬逢時常規控制圖的計算與分析例1 數據：BS鋼筋.MTW （I MR）例2 數據：SPC瓷磚.MTW（Xbar-R）或先求日均值再（I-MR）相差不大。例3 數據：SPC_直徑.MTW例4 數據：SPC _二極管不合格品率.MTW （2題）例5 數據：SPC _缺陷率.MTW （2題）例6 數據：SPCBarR.MTW例7 數據：SPC-EWMA.MTW例8 數據：SPC

16、_過程指標.MTW馬逢時38197.5.5 響應曲面設計練習例2。雙響應變量的響應曲面設計。對于框架的 3 個幾何尺寸因子A、B、C 進行RSM 試驗，指標Y為框架下端的下沉量，對于每個設置重復試驗 3 次。希望Y的平均值越小越好且希望波動達到最小。數據文件為DOERSM2. mtw。根據3次重復試驗結果，對于各設置條件下的Ybar及S分別進行響應曲面分析。全部正常且有意義；歸納出全部項皆應包含在模型內。對于各設置條件下的Ybar及S分別使用等值線進行最優設置估計。對于各設置條件下的Ybar及S聯合使用“響應曲面優化器”以求得最佳點（要給出最優化出發點的粗略估計）。對于最優設置條件下的Ybar

17、及S給出。如果要求下沉量目標為 9 mm且希望波動達到最小，如何解？37馬逢時20EWMA控制圖如果取 0.2 則可以有：Zt 0.2xt 0.16xt 1 0.0128xt 2 0.01024xt 3 .可見，值越小時，光滑效果越好；值越大時，保真效果越好。通常取=0.2，或更小些，可以調整試算。還可以選用移動平均控制圖，其效果與EWMA類似。統計控制圖時間控制圖移動平均40馬逢時統計控制圖時間控制圖EWMA4. 特殊控制圖指數移動平均（EWMA）控制圖當過程均值有微小系統漂移時，常規控制圖反應遲鈍將當前數據及歷史數據進行平均則可以看出可能存在的漂移趨勢。指數權公式：記 xt 為當前的觀測值

18、，Zt 是新統計量。遞推上去，可以得到： Zt xt (1 )Zt 1Zt xt (1 )xt 1 (1 )Zt 2 xt (1 )039馬逢時211)非獨立數據的控制圖數據不獨立時畫控制圖：控制限不正確；異常點不正常地增多。獨立性的檢驗：I）游程檢驗 II）自相關函數檢驗，皆不超界 III）偏自相關函數檢驗，皆不超界非獨立數據的分析屬于時間序列分析的范疇，這里可以擬合ARIMA模型，殘差即可。42馬逢時5. 非標準情況下的控制圖標準情況的3項假定及待解決的問題1.所有數據觀測值及T值 A.不驗證上述條件直接畫是相互獨立的，控制圖的；2.過程中只有單一B. 如何檢驗上述條件；波動源隨機誤差。3

19、.T值大致呈正態分布。 C.出現上述問題時的對策；41馬逢時223)非正態控制圖畫法.使用Box-Cox變換法確定使之變為正態的Lambda值。將變換后的數據y*求出。 使用Option可以省略此步對y*求出UCL*及LCL*將UCL*及LCL*反變換為UCL及LCL將UCL及LCL標在原數據圖上使用分位數方法。用%UCLC data 求出百分位數，再標在圖中。44馬逢時2）非單一變異源的控制圖A. 帶子組數據的Xbar-R圖的兩種畫法：I） 直接畫Xbar-R圖，II）先求小組均值再畫X-MR圖當數據只有單一變異源時，二者相差不大。當數據含有多變異源時，二者相差很大。B. 畫多變異圖(S-Q

20、uality Tools-Multi Vari Chart)或用ANOVA計算出方差分量（隨機誤差應占90%以上），以判定變異源是否單一。C. 分別對Xbar，MR及R（或S）三者各自畫控制圖。統計控制圖子組的變量控制圖 I-MR-R/S（組間/組內）43馬逢時二項分布下的業績指數計算過程能力指數的計算主要目的之一是為了得出水平并估計出產品的不良率值。對于二項分布，其本身已知不良率（通常指短期），為此只需求出 Z 值（短期），反查附錄表2；并求出長期能力指數將Z值加1.5即可。例。 已知生產線上的二極管的不良率求 短（長）期Z 值。45馬逢時23泊松分布下的業績指數計算泊松分布的過程能力指數計

21、算只要給定DPU即可DPU DU直通率Y eDPU缺陷率p=1-eDPUZ =-1(Y )FTFT例：的20個中平均有8個瑕疵點，求ZDPU 8 0.4直通率Y eDPU e04 0.6720FT缺陷率p=1-eDPU 1 0.67 0.33從數值上看，當DPU小于1時，缺陷率 p 的數值要比DPU還要稍小些。這是因為，瑕疵點不會恰巧每個零件上恰好一個，因此缺陷率 p （上例中為0.33）比DPU（=0.4）稍小。46馬逢時不良率Z值（短期）Z值（長期）0.012.433.930.0013.094.590.00013.725.2210 ppm4.265.763.4 ppm4.506.007.4

22、.3FFD試驗的分析例1.降低微型變壓器耗電量問題.影響變壓器耗電量至少有4個因子要考慮：A繞線速度、B矽鋼厚度、C漆包厚度和D密封劑量。可以認為AD間無交互作用。 安排 12次試驗的。數據文件為：DOE_變壓器（部分）.MTW。分析方法與全因子完全一樣，但要注意，表面上AD顯著，其實 AD與BC是混雜的，根據背景資料，可以斷定是BC顯著。（如果無背景資料則無法判斷，必須增加試驗才能予以區分。例2.提高離合器問題.影響離合器至少有4個因子：A彈簧長、B桿徑、C槽徑和D潤滑油粘度。可以認為AD間無交互作用。 安排12次試驗的。數據文件為：DOE離合器.MTW。同樣，表面上AD顯著，其實是BC顯著

23、。給出最佳設置及。馬逢時48247.4.2FFD試驗的計劃例3 。A-F 6個主因子，和 AB, BC, CE, DF 各二階交互效應，下列哪個生成元是可行的？1）E=ABC，F=ABD ;2）E=ACD，F=BCD ;3）E=BCD，F=ABC ;4）E=ABD，F=ABC ;計算方法：將條件轉化為“排除條件”：ABCE；ABDF；BCDF；CEDF EABC； FABD； FACD； EFCD這并不能得到明確結果。用淘汰法，容易看出1）及2）不可行。 4）使得EF=CD，也不可行；3）EF=AD可行綜合上述結果：正確為 3）。47馬逢時7.5.1響應曲面設計中的中心點（續）等精度(unif

24、orm Proci) 可保證試驗中心點處的方差與 距中心距離處的相同。V y10V y距中心的距離是有一個中心點的可旋轉的 CCD 設計方差。馬逢時50257.4.4 帶區組的因子設計及分析例3.電焊機工藝條件的改進問題.影響焊接強度至少有4個因子要考慮：A溫度、B速度、C壓力和D合金量。但試驗時只要10套模具可以使用。 安排帶4次中心點的全因子試驗。如何安排。數據文件為：DOE焊接.MTW。分析方法與全因子完全一樣，但要注意：1）分析時先要將“區組”當作一個因子（若不顯著則可刪除）2）分析因子顯著性時，要將“區組”當作一個因子（以提高分析精度）；3）預報時則要另求一次方程，“區組”當作一個因

25、子。4）區組效應顯著時必須增加分析區組效應的次原因，以便消除區組效應。無法消除區組效應時，要對預報對象所在區組狀況給出判定。49馬逢時267.5.5 響應曲面設計練習例1。提高彈力的響應曲面設計。1）對于成分A、成分B、溫度3因子進行 23 3試驗，數據文件為 DOE彈力. mtw。分析結果及殘差圖都顯示出現彎曲。要進行RSM。 2）安排CCC設計，共需20點，（含6個軸向點，及再補3個中心點）；在原試驗結果基礎上，再安排 9點，但擔心試驗條件的變化，將這些試驗劃歸另一個區組 。數據文件為DOE彈力RSM. Mtw 3）分析要點：1. 分析時區組作為因子，區組響應顯著；2 .對于 y 的殘差圖呈現“喇叭”狀，提示要對Y做變換；3 .指令確認取=-0.5可使方差達到齊性；4 .對Y進行變化，重新計算，確認結果正常。找到最優設置。5 .對于最優設置進行預報時，先要在分析時刪去區組作為因子，然后才能給出預報6 .考慮和不考慮區組的預報誤差懸殊，對于兩區組差異顯著的原因要進行分析。52馬逢時7.5.1響應曲面設計中的中心點（續）適當增加中心點的數量，設計中心的 Vy 可一直降低到與編碼的距中心距離的 Vy 相同為止。 此特性稱為等精度。V y01距中心的距離Vy 是中心點數量達到等精度的可旋轉的CCD設計的方差。51馬逢時277.5.5 響應曲面設計練習當重要度為（1，1）時