1、WORD格式1/5利用韋達定理求一元二次方程的根一、關于韋達定理的性質21.韋達定理：假設一元二次方程axbxc0的兩根分別為x1、x2，則有x1x2b，x1x2aca.bb24ac2.推導：（法一）根據一元二次方程的求根公式x2abbbb24ac24ac不妨假設x1，x22a2a不難得出x1x2bca，x1x2a.（法二）若一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則方程可以寫成以下形式a(xx1)(xx2)0(a0)（雙根式）2按照x的次數降冪排列，得axa(x1x2)xax1x202bxc0，得對比一元二次方程的一般式axba(x1x2)，cax1x2，bcx1x2a，x1x2a.2pxq0的

2、形式3.推論：（一）當二次項系數為1時，即一元二次方程滿足x假設方程的兩根分別為x1、x2，則有x1x2p，x1x2q.（二）已知一元二次方程兩根分別為x1、x2，則方程可以寫成以下形式2(x1x2)xx1x20.x4.實質：韋達定理告訴了我們一元二次方程的根與系數的關系.二、利用韋達定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x222x60的根.很明顯，根據我們所學習慣，首選方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x32)(x2)0，解得，x132，x22.當然，利用十字相乘法很難湊數時，我們就會選用求根公式法.（法二）a1，b22，c6，b24ac82432，2bb4ac2242x2222，

3、2a于是有x132，x22.結合以上兩種方法，我們發現，十字相乘法計算速度快，但是湊數的過程十分靈活，若每一個系數都是整數，且滿足x2(x1x2)xx1x20形式的方程可以很快算出來，但如果系數是分數、根式我們發現利用這種方法解方程是十分困難的，而且這種方法并不是對一切一元二次方程都適用.而利用求根公式解一元二次方程時，雖然是一種萬能的方法，但有時會給我們帶來無比的計算量.那有什么方法既可以減少計算量，使運算變得簡單快捷，同時又可以用來解一切的一元二次方程呢？接下來，我們看以下解法.2（法三）已知方程x22x60，根據韋達定理有x1x222，x1x26.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數

4、a（假定為正數），使得x12a，x22a，（滿足條件x1x222）且(2a)(2a)6.（滿足條件x1x26）22于是有2a6，則a8，因此a22x122232，x22222.上述解法中a取正取負并不影響計算的最終結果，為了方便，習慣上可以假定a為正數.觀察以上解法，我們可以發現，這種解法并不像十字相乘法需要有湊數的靈感，也不像求根公式法會帶來無比的計算量，反而還結合兩者的優點，計算快捷且萬能通用.當然我們也可以看以下例子.例1：解方程x26x250，根據韋達定理有x1x26，x1x225.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數a（假定為正數），使得x13a，x23a，（滿足條件x1x26）

5、且(3a)(3a)25.（滿足條件x1x225）22于是有9a25，則a34，因此a34x1334，x2334.例2：解方程x224x630，根據韋達定理有x1x224，x1x263.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數a（假定為正數），使得x112a，x212a，（滿足條件x1x224）且(12a)(12a)63.（滿足條件x1x263）于是有144a263，則a2207，因此a207x112207，x212207.例3：解方程x214x480，根據韋達定理有x1x214，x1x248.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數a（假定為正數），使得x17a，x27a，（滿足條件x1x21

6、4）且(7a)(7a)48.（滿足條件x1x248）于是有49a248，則a21，因此a1x1718，x2716.例4：解方程x218x400，根據韋達定理有x1x218，x1x240.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數a（假定為正數），使得x19a，x29a，（滿足條件x1x218）且(9a)(9a)40（滿足條件x1x240）于是有81a240，則a241，因此a41x1941，x2941.通過以上4個例子，我們可以熟悉，若二次項系數為1時，利用韋達定理解一元二次方程的流程.實際上當一元二次方程二次項系數不為1時，我們也可以離此流程解一元二次方程.如例5：解方程2x29x50，9（法一）根據韋達定理有x1x21x22，x52.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實數a（假定為正數），使得x1994a，x4a，（滿足條件x1x2292）99且(a)(a)44552.（滿足條件x1x2）22.（滿足條件x1x2）于是有8116a225121，則a，因此a22216114x19114412，x2911445.（法二）a2，b9，c5，2b4ac814012