1、3.2 協整與誤差修正模型一、長期均衡與協整分析二、協整檢驗EG檢驗三、協整檢驗JJ檢驗四、誤差修正模型1一、長期均衡與協整分析Equilibrium and Cointegration21、問題的提出經典回歸模型（classical regression model）是建立在平穩數據變量基礎上的，對于非平穩變量，不能使用經典回歸模型，否則會出現虛假回歸等諸多問題。由于許多經濟變量是非平穩的，這就給經典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩定關系，即它們之間是協整的（cointegration)，則是可以使用經典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均

2、GDP變量的例子, 從經濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，它們之間有著長期的穩定關系，即它們之間是協整的。3 經濟理論指出，某些經濟變量間確實存在著長期均衡關系，這種均衡關系意味著經濟系統不存在破壞均衡的內在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以使其重新回到均衡狀態。 假設X與Y間的長期“均衡關系由式描述 2、長期均衡該均衡關系意味著:給定X的一個值，Y相應的均衡值也隨之確定為0+1X。 4在t-1期末，存在下述三種情形之一：Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ；Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在時期t，假設X有一個變化

3、量Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關系，即上述第一種情況，則Y的相應變化量為:vt=t-t-1 5如果t-1期末，發生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則t期末Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化大一些；反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，則t期末Y的變化往往會小于第一種情形下的Yt ?？梢?，如果Yt=0+1Xt+t正確地提示了X與Y間的長期穩定的“均衡關系，則意味著Y對其均衡點的偏離從本質上說是“臨時性的。一個重要的假設就是:隨機擾動項t必須是平穩序列。如果t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。6式

4、Yt=0+1Xt+t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibrium error），它是變量X與Y的一個線性組合： 如果X與Y間的長期均衡關系正確，該式表述的非均衡誤差應是一平穩時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 非穩定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩的。稱變量X與Y是協整的（cointegrated）。73、協整如果序列X1t,X2t,Xkt都是d階單整，存在向量=(1,2,k)，使得Zt=XT I(d-b)， 其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，則認為序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)階協整，記為XtCI(d,b)，為協整向量（c

5、ointegrated vector）。如果兩個變量都是單整變量，只有當它們的單整階數相同時，才可能協整；如果它們的單整階數不相同，就不可能協整。8 3個以上的變量，如果具有不同的單整階數，有可能經過線性組合構成低階單整變量。9（d,d）階協整是一類非常重要的協整關系，它的經濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規律，但是如果它們是（d,d）階協整的，則它們之間存在著一個長期穩定的比例關系。例如，中國CPC和GDPPC，它們各自都是2階單整，如果它們是(2,2)階協整，說明它們之間存在著一個長期穩定的比例關系，從計量經濟學模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數模型是合理的。 盡管兩

6、個時間序列是非平穩的，也可以用經典的回歸分析方法建立回歸模型。10 從這里，我們已經初步認識到：檢驗變量之間的協整關系，在建立計量經濟學模型中是非常重要的。 而且，從變量之間是否具有協整關系出發選擇模型的變量，其數據基礎是牢固的，其統計性質是優良的。11二、協整檢驗EG檢驗12 1、兩變量的Engle-Granger檢驗 為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。 第一步，用OLS方法估計方程 Yt=0+1Xt+t并計算非均衡誤差，得到： 稱為協整回歸(cointegrating)或靜態回歸(static regression)。

7、 13非均衡誤差的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協整回歸計算出的誤差項，而非真正的非均衡誤差。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假設的時機比實際情形大。于是對et平穩性檢驗的DF與ADF臨界值應該比正常的DF與ADF臨界值還要小。14MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協整檢驗的臨界值。 15 例9.3.1 檢驗中國居民人均消費水平CPC與人均國內生產總值GDPPC的協整關系。 CPC與GDPPC都是I(2)序列，它們的回歸式 R2=0.9981 對該式計算的殘差序列作ADF檢驗，適當

8、檢驗模型為： （-4.47） (3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒絕存在單位根的假設，殘差項是平穩的。因此中國居民人均消費水平與人均GDP是(2,2)階協整的，說明了該兩變量間存在長期穩定的“均衡關系。 162、多變量協整關系的檢驗擴展的E-G檢驗 多變量協整關系的檢驗要比雙變量復雜一些，主要在于協整變量間可能存在多種穩定的線性組合。 假設有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關系：非均衡誤差項t應是I(0)序列： 17 然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關系： 則非均衡誤差項v1t、v2t

9、一定是穩定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩定的。例如 由于vt象t一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此vt 式也成為該四變量的另一穩定線性組合。 （1, -0,-1,-2,-3）是對應于t 式的協整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是對應于vt式的協整向量。 一定是I(0)序列。18檢驗程序：對于多變量的協整檢驗過程，根本與雙變量情形相同，即需檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩定的線性組合。在檢驗是否存在穩定的線性組合時，需通過設置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩。如果不平穩，則需更換被解釋變量，進行同樣的OLS估

10、計及相應的殘差項檢驗。當所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩的殘差項序列，則認為這些變量間不存在（d,d）階協整。19 檢驗殘差項是否平穩的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數的影響。 MacKinnon(1991)通過模擬試驗得到的不同變量協整檢驗的臨界值。20三、協整檢驗JJ檢驗(教材6.4.3)21 JJ檢驗的原理 Johansen于1988年，以及與Juselius一起于1990年提出了一種用向量自回歸模型進行檢驗的方法，通常稱為Johansen檢驗，或JJ檢驗，是一種進行多重I(1)序列協整檢驗的較好方法。 22

11、沒有移動平均項的向量自回歸模型表示為： 差分Yt為M個I(1)過程構成的向量 I(0)過程I(0)過程只有產生協整，才能保證新生誤差是平穩過程 23將y的協整問題轉變為討論矩陣的性質問題2425 于是，將yt中的協整檢驗變成對矩陣的分析問題。這就是JJ檢驗的根本原理。 26 JJ檢驗的預備工作 第一步：用OLS分別估計下式中的每一個方程，計算殘差，得到殘差矩陣S0，為一個(MT)階矩陣。 27第一步：用OLS分別估計下式中的每一個方程，計算殘差，得到殘差矩陣S1，也為一個(MT)階矩陣。 28第三步：構造上述殘差矩陣的積矩陣： 29第四步：計算有序特征值和特征向量。 30第五步：設定似然函數。

12、 31 JJ檢驗之一特征值軌跡檢驗 服從Johansen分布。被稱為特征值軌跡統計量。 32333435 ，一直檢驗下去，直到出現第一個不顯著的(Mr)為止，說明存在r個協整向量。這r個協整向量就是對應于最大的r個特征值的經過正規化的特征向量。 36 JJ檢驗之一最大特征值檢驗 該統計量被稱為最大特征值統計量。于是該檢驗被稱為最大特征值檢驗。 373839由 Johansen和Juselius于1990年計算得到 Johansen分布臨界值表。 404142JJ檢驗實例GDP、CONSR、CONSP、INV取對數后為I(1)序列。即lnGDP、lnCONSR、lnCONSP、lnINV。對它們

13、之間的協整關系進行檢驗。43兩種方法的結論是一致的。44如何處理高階單整序列？從理論上講。JJ 檢驗只適用于多個1階單整序列。多個同階高階單整序列，差分為1階后再檢驗，顯然是可行的。但是意義發生變化。沒有看到關于高階多重協整檢驗的文獻，難度太大。能否先檢驗，然后建立均衡方程，通過對誤差項的單位根檢驗以判斷發生何種協整？未見經典。45如何選擇截距和時間趨勢項？分別考慮CE和VAR中是否有截距和時間趨勢項作為假設顯著性檢驗重新檢驗對協整關系檢驗結果無顯著影響（檢驗統計量發生變化，但臨界值同時發生變化）46如何在多個協整關系中作出選擇？一般選擇對應于最大特征值的第1個協整關系從應用的目的出發選擇47

14、四、誤差修正模型Error Correction Model, ECM481、一般差分模型的問題對于非穩定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩定序列，然后才可建立經典的回歸分析模型。模型只表達了X與Y間的短期關系，而沒有揭示它們間的長期關系。關于變量水平值的重要信息將被忽略。誤差項t不存在序列相關， t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關的。492、誤差修正模型是一種具有特定形式的計量經濟學模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。由于現實經濟中很少處在均衡點上，假設具有（1, 1）階分布滯后形式 50Y的變化決定于X的

15、變化以及前一時期的非均衡程度。一階誤差修正模型(first-order error correction model)的形式：若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負，使得Yt減少；若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解0+1X ，ecm為負，則(-ecm)為正，使得Yt增大。表達了長期非均衡誤差對短期變化的控制。51復雜的ECM形式，例如：52誤差修正模型的優點：如： a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而防止了虛假回歸問題； b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題； c）誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被無視； d）由

16、于誤差修正項本身的平穩性，使得該模型可以用經典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選取；等等。533、誤差修正模型的建立Granger 表述定理（Granger representaion theorem） Engle 與 Granger 1987年提出 如果變量X與Y是協整的，則它們間的短期非均衡關系總能由一個誤差修正模型表述。模型中沒有明確指出Y與X的滯后項數，可以是多階滯后；由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中允許采用X的非滯后差分項Xt 。54建立誤差修正模型，需要： 首先對變量進行協整分析，以發現變量之間的協整關系，即長期均衡關系，并以這種關系

17、構成誤差修正項。 然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。55Engle-Granger兩步法 第一步，進行協整回歸（OLS法），檢驗變量間的協整關系，估計協整向量（長期均衡關系參數）； 第二步，若協整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項參加到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應參數。 需要注意的是：在進行變量間的協整檢驗時，如有必要可在協整回歸式中參加趨勢項，這時，對殘差項的穩定性檢驗就無須再設趨勢項。 另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項序列是否存在自相關性來判斷，如果存在自相關，則應參加變量差分的

18、滯后項。56用翻開誤差修正項括號的方法直接估計誤差修正模型。 一般不采用。57 經濟理論指出，居民消費支出是其實際收入的函數。 以中國國民核算中的居民消費支出經過居民消費價格指數縮減得到中國居民實際消費支出時間序列（C）； 以支出法GDP對居民消費價格指數縮減近似地代表國民收入時間序列(GDP)。 時間段為19782000（表9.3.3） 例9.3.2 中國居民消費的誤差修正模型 58 （1）對數據lnC與lnGDP進行單整檢驗 容易驗證lnC與lnGDP是一階單整的，它們適合的檢驗模型如下： (3.81)（-4.01） （2.66） （2.26） （2.54） LM(1)=0.38 LM(2

19、)=0.67 LM(3)=2.34 LM(4)=2.46 59 首先，建立lnC與lnGDP的回歸模型（2）檢驗lnC與lnGDP的協整性，并建立長期均衡關系 （0.30） (57.48) R2=0.994 DW=0.744 發現有殘關項有較強的一階自相關性?？紤]參加適當的滯后項，得lnC與lnGDP的分布滯后模型 (1.63) (6.62） （4.92） （-2.17） R2=0.994 DW=1.92 LM(1)=0.00 LM(2)=2.31自相關性消除，因此可初步認為是lnC與lnGDP的長期穩定關系。 60 殘差項的穩定性檢驗： （-4.32） R2=0.994 DW=2.01 LM(1)=0.04 LM(2)=1.34 t=-4.32-3.64=ADF0.05 說明lnC與lnGDP是（1，1）階協整的，下式即為它們長期穩定的均衡關系: 61以穩定的時間序列（3）建立誤差修正模型 做為誤差修正項，可建立如下誤差修正模型: （6.96） (2.96) (-1.91) (-3.15) R2=0.994 DW=2.06 LM(1)=0.70 LM(2)=2.04由式 可