1、1第五節 孤立奇點一、孤立奇點的概念二、函數在無窮遠點的性態三、小結與思考2一、孤立奇點的概念定義 如果函數在 不解析, 但在的某一去心鄰域內處處解析, 則稱為的孤立奇點.例是函數的孤立奇點.注意: 孤立奇點一定是奇點, 但奇點不一定是孤立奇點.3例1 指出函數在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內, 的奇點存在, 函數的奇點為總有不是孤立奇點.所以4孤立奇點的分類依據在其孤立奇點的去心鄰域內的洛朗級數的情況分為三類:1可去奇點1可去奇點; 2極點; 3本性奇點.如果洛朗級數中不含 的負冪項, 那末孤立奇點 稱為 的可去奇點.1) 定義5 2) 可去奇點的判定(1) 由定義判斷:的洛朗

2、級數無負在如果冪項則為的可去奇點.(2) 判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.6定理設函數 f (z) 在 0 |zz0| (0 +)內解析，則 z0為 f (z) 的可去奇點的充分必要條件是存在且有限.(4.16)證必要性設 z0為f (z)的可去奇點，從而在0 |zz0| 內有因為上式右端冪級數的和函數g(z)在|zz0| 內解析，特別在 z = z0 處連續，當 z z0 時，記f (z) = g (z), 則7充分性設在0 |zz0| 內 f (z) 的洛朗展式為則存在正數 M 和 ( ) 使得0 |zz0| 時，|f (z)| M.所以8令 0得c-n= 0, (n =1,

3、2, ),z0 是f (z) 的可去奇點.9例2 為的哪種孤立奇點.解 所以為的可去奇點.無負冪項另解 的可去奇點.為102. 極點 且級極點.那末孤立奇點稱為函數的1) 定義 如果洛朗級數中只有有限多個的負冪項, 112)極點的判定方法的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點 的某去心鄰域內其中 在 的鄰域內解析, 且 (1) 由定義判別(2) 由定義的等價形式判別(3) 利用極限判斷 .12定理4.17 設函數 f (z) 在 0 |zz0| 內解析, 則z0為 f (z) 的 m 級極點的充分必要條件是 f (z) 在 0 |zz0| 內可表示為的形式，其中 (z) 在z0解析，且 (z

4、0) 0.證必要性設f (z) 在0 |zz0| 內解析, z0為f (z) 的m級極點，那么在0|zz0| 內，f (z)有洛朗展式13這里c-m 0.于是其中 (z) 是在 z0附近 的冪級數，收斂半徑仍為.故在 z0 解析，且 (z0) 0.充分性設把 (z) 在z= z0 的鄰域內展開成冪級數，則14于是 z0為f (z) 的 m 級極點.定理4.18 z = z0為函數f (z)的 m 級極點的充分必要條件是 在 z0 解析且以z0為m 級零點.定理4.19設 z0 為函數f (z)的孤立奇點，則 z0為 f (z)的極點的充分必要條件是15課堂練習求的奇點,如果是極點,指出它的級數

5、.答案16本性奇點3.如果洛朗級數中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,例如，含有無窮多個z的負冪項 特點: 在本性奇點的鄰域內不存在且不為17例3z = 0 是的孤立奇點.這三個函數在 z = 0的去心鄰域的洛朗展式分別為所以 z = 0 分別為的可去奇點，一級極點和本性奇點.18例4 函數有些什么奇點, 如果是極點, 指出它的級.解 函數的奇點是使的點,這些奇點是是孤立奇點.的一級極點.即19解 解析且所以不是二級極點, 而是一級極點.例5 問是的二級極點嗎?注意: 不能以函數的表面形式作出結論 .20綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數特點存在且為有限值不存在

6、且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關于的最高冪為21二、函數在無窮遠點的性態1. 定義如果函數在無窮遠點的去心鄰域內解析, 則稱點為的孤立奇點.Rxyo22令變換規定此變換將:映射為擴充 z 平面擴充 t 平面映射為映射為映射為23結論: 在去心鄰域內對函數的研究在去心鄰域內對函數的研究因為 在去心鄰域內是解析的,所以是的孤立奇點.規定: m級極點或本性奇點 .的可去奇點、m級極點或本性奇點,如果 t=0 是是的可去奇點、 那末就稱點24因為 在去心鄰域內是解析的,t = 0 是它的一個孤立奇點，因而所以251)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項;

7、那末是的1)可去奇點 ;2) m 級極點;3)本性奇點 .判別法1 (利用洛朗級數的特點)2.判別方法:在內的洛朗級數中:如果26判別法2 : (利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值 ; 2)無窮大; 3)不存在且不為無窮大 ;那末是的1)可去奇點 ;2)極點 ;3)本性奇點 .27例6在圓環域內的洛朗展開式為:不含正冪項所以是的可去奇點 .(2)函數含有正冪項且 z 為最高正冪項, 所以是的 1級極點.z=是下列函數的那種類型奇點？(1)(2)(1)(3)28(3)函數的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.課堂練習的奇點及其類型.說出函數答案29例7 函數在擴充復平面內有些什么類型的奇點? 如果是極點, 指出它的級.解 函數除點外, 所以這些點都是的一級零點,故這些點中除1, 1, 2外, 都是的三級極點.內解析 .在30所以那末是的可去奇點. 因為不是的孤立奇點.所以因為31例8判斷 z = 是下列函數的什么類型奇點，對于極點，指出它們的級.解(1) 由于在的鄰域內的洛朗級數為所以 z = 為 f (z) 的可去奇點.32(2) 由于cos z 在 的鄰域的洛朗級數就是它在z = 0處的泰勒級數從而所以