1、2022/7/10設隨機變量X的分布函數為F(x),如果存在一個定義在(，+)上非負可積函數f(x)，使得對任何實數x，恒有 則稱X為連續型隨機變量, 稱函數f(x)為隨機變量X的概率密度函數(或分布密度函數),簡稱概率密度.第五節 連續型隨機變量及其概率密度函數1定義2022/7/10(1) 對一切x(，+), f(x)0，(2)反之,任何一個具有性質(1)和(2)的實數域上的可積函數f(x)，可成為某個連續型隨機變量的概率密度函數.2 概率密度函數f(x)的性質2022/7/103定理 設X為連續型隨機變量, 分布函數為F(x),概率密度為f(x),則有是連續函數; (2) 若f(x)在x

2、0點連續，則F(x)在x0點可導,且若f(x)是分段連續函數，只有有限個不連續點，則2022/7/10連續型隨機變量取任何特定值的概率都是0。連續型隨機變量在任一區間上取值的概率：此區間上概率密度函數曲線下方的曲邊梯形的面積。 2022/7/10例1 設隨機變量X的分布函數為 求X的概率密度函數 f(x).2022/7/10例2 設隨機變量X的概率密度為 求：(1) ; (2) X的分布函數 . 解：2022/7/10當x-1時,1 -11f (t)02022/7/10當-1x0時,1 -11f (t)02022/7/101 -11f (t)0當0 x1時，于是，X的分布函數為2022/7/1

3、0第六節 常用的連續型隨機變量分布一 、均勻分布二、 指數分布三、威布爾(Weibull)分布四、分布五、正態分布2022/7/10如果連續型隨機變量X，它的概率密度函數為：一 均勻分布則稱X在區間a，b上服從均勻分布。它的分布函數為記做XUa,bab1/(b-a)2022/7/10例1 設隨機變量 ，試求方程 有實根的概率.解： 的概率密度為A=方程 有實根 2022/7/10則X稱服從參數為的指數分布,計為 Xe()二 指數分布若隨機變量X的概率密度為(其中0為常數)f(x)2022/7/10 若X服從參數為的指數分布， 則它的分布函數為：F(x)2022/7/10服從指數分布的實際例子:

4、 指數分布在實際中有重要應用, 它可以作為各種“壽命”的近似分布.例如, 無線電元件的壽命; 動物的壽命; 電話的通話時間; 隨機服務系統中的服務時間等都可以近似地用指數分布來描述. 在可靠性理論與工程中占有特別重要的地位.2022/7/10例1: 設某人打一次電話所用的時間X服從參數為1/10(單位:分)的指數分布，當你走近電話室需要打電話，某人恰好在你面前開始打電話。求以下幾個事件的概率： (1)你需要等待10分鐘以上；(2)你需要等待1020分鐘.解： 用X表示某人的通話時間，也就是你的等待時間，則X的概率密度:2022/7/10 此結果也可由F(x)求出.故所求的概率分別為:2022/

5、7/10事實上，令概率積分五、正態分布則I2 =2022/7/10 積分2022/7/10定義 若X為連續型隨機變量，且其概率密度為 其中- + , 0均為常數, 那么稱X為服從參數為,的正態分布。記作:2022/7/10(c) 曲線在x=+及x=處有拐點.正態分布的概率密度曲線具有如下性質：(a)曲線關于直線x=對稱; (-, 嚴增， ,+ ) 嚴減 當x=時,f(x)達到最大值(b) 所以曲線以x軸為漸近線；2022/7/101 參數=0,=1的正態分布，即N(0,1)， 稱為標準正態分布， 其概率密度和分布函數分別用(x) 和(x)表示，即有六、標準正態分布2022/7/10的性質: 即

6、(x)在區間(-，+)上嚴格單調遞增.2.3. (x) 可查表2022/7/10 4 一般正態分布N(,2)與標準正態分布N(0,1)的關系2022/7/10 例1 設隨機變量(1)求 (2)求a ,使解 (1) 2022/7/10(2) 查表得2022/7/102022/7/1034. 已知隨機變量,且求解：2022/7/104 標準正態分布N(0,1)的分位點 稱z為標準正態分布的分位點(或分位數), 簡稱分位點。定義 設X是一個標準正態隨機變量， 給定(01),若存在唯一z,使得分位點的性質: (01)2022/7/10例6 設隨機變量 ,試用分位點表示常數 解(1)2022/7/10

7、(2) 例7 某汽車設計手冊中指出,人的身高服從正態分 布 根據各個國家的統計資料,可得各個國家、各 民族的和. 對于中國人, 試問:公共汽車的車門至少需要多高, 才能使上下車時需要低頭的人不超過0.5？(單位:米)2022/7/10解 設公共汽車的車門高為h米, X表示乘客的身高,則 XN(1.75,0.052)A=乘客上下車時需要低頭=Xh,2022/7/10 P(A)= PXh 0.005 即 PX h 0.995,故h1.8790米,所以車門高度取1.9米即可.查標準正態分布表得2022/7/10例5 某儀器上裝有4只獨立工作的同類元件. 已知每只元件的壽命(以小時計) XN(5000

8、,2), 當工作的元件不少于2只時,該儀器能正常工作. 求該儀器能正常工作5000小時以上的概率. 解：設Ai=第i只元件能工作5000小時以上, i=1,2,3,4A1,A2,A3,A4相互獨立則儀器能正常工作5000小時以上=Y2,設能工作5000小時以上的元件數目為Y, YB(4,p)2022/7/102022/7/1030. 設測量到某一目標的距離時產生的隨機誤差 X(m) 具有概率密度求在四次獨立測量中至少有一次誤差的絕對值不超過20m的概率。2022/7/10“四次獨立測量中至少有一次誤差的絕對值 不超過20m” 解1令Y表示四次獨立測量中, 誤差的絕對值不超過20m的次數B(4,

9、p),A=“每次測量中誤差的絕對值不超過20m” 2022/7/10設Xi表示第i次測量產生的誤差, 解2:A=“四次獨立測量中, 至少有一次誤差的絕對值不超過20m”Bi=“第i次測量中誤差的絕對值不超過20m”2022/7/10 伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士數學家概率論的奠基人2022/7/10伯努利 (Jacob Bernoulli )簡介 伯努利家屬祖孫三代出過十多位數學家. 這在世界數學史上絕無僅有. 伯努利幼年遵從父親意見學神學,當讀了 R 笛卡爾的書后,頓受啟發,興趣轉向數學. 1694年,首次給出直角坐標和極坐標下的曲率半徑公式,同年關于雙紐線性質的論文,使伯努利雙紐線應此得名.2022/7/10 此外對對數螺線深有研究, 發現對數螺線經過各種變換后, 結果還是對數螺線,在驚嘆此曲