1、3.3函數的應用(一)3.4數學建?；顒?決定蘋果的最佳出售時間點1.能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題.2.了解如何從現實生活中發現問題,并通過數學建模解決實際問題.常見的函數模型(1)直線 型:即一次函數模型;(2)拋物線 型:即二次函數模型,二次函數的最值問題是高考中的永恒話題,現實生活中的最優、最省等問題也離不開二次函數;(3)分段函數型:由于實際問題在不同的范圍內有不同的理解和意義,因此這種模型的應用也比較廣泛.函數應用問題的解法流程數學建模活動流程判斷正誤,正確的畫“”,錯誤的畫“”.1.若一輛汽車勻速行駛2 h,路程為140 km,則該汽車0.5 h行駛了35

2、 km.()2.甲、乙兩人在一次賽跑中,路程s與時間t的函數關系如圖所示,則: (1)甲比乙先出發.()(2)乙比甲跑的路程多.()(3)甲、乙兩人的速度相同.()(4)甲先到達終點.()商場銷售某種商品的經驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關系式y=+10(6-x),其中3x0,能否判斷函數y=+10(6-x)的單調性?提示:能.當a0時,y=與y=10(6-x)在(3,6)上均為減函數,從而y=+10(6-x)在(3,6)上為減函數.2.當銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.如何確定函數的解析式?提示:依題意得x=5時,y=11,即+

3、10=11,解得a=2,所以函數的解析式為y=+10(6-x)(3-x6).如何解決已知函數模型的實際應用問題在實際問題中,涉及的兩個變量之間的關系大多符合已知函數模型,如一次函數、二次函數、反比例函數等,解決這種函數應用問題的常見步驟如下:1.利用待定系數法求出函數解析式;2.根據函數解析式,結合題中需要研究的函數的性質解決實際問題.在函數模型中,二次函數模型占有重要的地位.在根據實際問題得到二次函數的解析式后,可以利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等來求函數的最值,從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題.例如某商場以每件30元的價格購進一種商品,試銷中發現,這種商品每天的銷量

4、m(件)與每件商品的售價x(元)滿足一次函數m=162-3x.若要每天獲得最大的銷售利潤,則每件商品的售價應定為()A.30元B.42元C.54元D.越高越好解析設日銷售利潤為y元,則y=(x-30)(162-3x),30 x54,將上式配方得y=-3(x-42)2+432,所以當x=42時,利潤最大.答案B破疑典例()某個體經營者把開始六個月試銷A,B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表:投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51該經營者準備下月

5、投入12萬元經營這兩種商品,請你幫助制訂一個資金投入方案,使該經營者獲得最大純利潤,并按你的方案求出該經營者下月可獲得的最大純利潤(結果保留兩位有效數字).思路點撥:先利用已知數據畫出散點圖,然后根據散點圖的形狀選擇函數模型,結合條件求出函數的解析式及定義域,最后由函數的解析式解決相關問題.解析以投資金額為橫坐標,純利潤為縱坐標,在平面直角坐標系中畫出散點圖,如圖所示.由散點圖可以看出A種商品所獲純利潤y1(萬元)與投資金額x(萬元)之間的變化規律可以用二次函數模型擬合.取最高點(4,2),設y1=a(x-4)2+2(a0),把點(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-

6、0.15,所以y1=-0.15(x-4)2+2(0 x12).B種商品所獲純利潤y2(萬元)與投資金額x(萬元)之間的變化規律可以用一次函數模型擬合.設y2=kx+b(k0),將點(1,0.25)和(4,1)代入,得解得所以y2=0.25x(0 x12).設下個月投入A、B兩種商品的資金分別為xA、xB(萬元),獲得的純利潤分別為yA、yB(萬元),總利潤為W(萬元),則xA+xB=12,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,所以W=-+(0 xA0,還要使得自變量表示的其他量也有意義,如0等,防止出現定義域求錯導致解題錯誤.2.()商場銷售某一品牌的羊毛衫,購買人數是羊

7、毛衫標價的一次函數,標價越高,購買人數越少.把購買人數為零時的標價稱為無效價格,已知無效價格為每件300元.現在這種羊毛衫的成本價是100元/件,商場以高于成本價的價格(標價)出售.(1)若商場要獲得最大利潤,則羊毛衫的標價應定為每件多少元?(2)通常情況下,獲取最大利潤只是一種“理想結果”,如果商場要獲得最大利潤的75%,那么羊毛衫的標價應為每件多少元?思路點撥:選擇自變量與函數值求出解析式與定義域利用函數知識解決實際問題.解析(1)設購買人數為n,羊毛衫的標價為每件x元,利潤為y元,則x(100,300,可設n=kx+b,易知k0,由題意知0=300k+b,即b=-300k,n=k(x-3

8、00),y=k(x-300)(x-100)=k(x-200)2-10 000k(x(100,300).k0,當x=200時,y最大,ymax=-10 000k,即若商場要獲得最大利潤,則羊毛衫的標價應定為每件200元.(2)由題意及(1),知k(x-100)(x-300)=-10 000k75%,化簡得x2-400 x+37 500=0,解得x=250或x=150,所以商場要獲得最大利潤的75%,羊毛衫每件的標價應為250元或150元.如何利用分段函數模型解決實際應用問題學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中發現,在40 min的一節課中,注意力指數y與聽課時間x(單位:m

9、in)之間的關系滿足如圖所示的圖像.當x(0,12時,圖像是二次函數圖像的一部分,其中頂點A的坐標為(10,80),圖像過點B(12,78);當x12,40時,圖像是線段BC,其中點C的坐標為(40,50).問題1.由圖像確定注意力指數y與聽課時間x之間的變化情況.提示:由題中圖像知,當x(0,10時,y隨x的增加而增大;當x(10,40時,y隨x的增加而減小.2.如何確定當x(0,12時,函數f(x)的解析式?提示:當x(0,12時,依題意可設f(x)=a(x-10)2+80(a0).因為該部分圖像過點B(12,78),將點B的坐標代入上式,解得a=-,所以f(x)=-(x-10)2+80(

10、0 x12).3.如何確定當x(12,40時,函數f(x)的解析式?提示:當x(12,40時,設f(x)=kx+b(k0).因為線段BC過點B(12,78),C(40,50),將它們的坐標分別代入上式,得方程組解得所以f(x)=-x+90(12x40).分段函數的解析式由幾個不同的函數解析式組成,根據自變量取值范圍的不同,由題設條件確定出不同的函數解析式.分段函數模型應用的關鍵是確定分段的邊界點,即明確自變量的取值區間,對每一區間進行分類討論,從而寫出函數解析式.需注意分段函數的最值是各區間上所有最值中的最值.要注意結合實際問題的實際意義,有時還可結合圖像求解.應用分段函數時的三個注意點:1.

11、分段函數的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集.3.分段函數值域的求法:逐段求函數值的范圍,經過比較后再下結論.拔高問題4.如何確定函數f(x)的解析式?提示:將函數用分段形式表示為f(x)=5.根據專家研究,當注意力指數大于62時,學習效果最佳.教師在什么時間段安排核心內容教學,能使得學生學習效果最佳?提示:由題意,得或解得4x12或12x28,即4x4時,4時,x,y=241.8+(3x-4)3+(5x-4)3=24x-9.6.所以y=(2)設y=f(x),由(1)知y=f(x)在各段區間上均單調遞增,因此,當x時,yf26.4;當x時,yf

12、26.4;當x時,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲戶該月的用水量為51.5=7.5(立方米),水費為41.8+3.53=17.7(元);乙戶該月的用水量為31.5=4.5(立方米),水費為41.8+0.53=8.7(元).2.()提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/時;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/時.研究表明:當20 x200時,車流速度v是車流密度x的一次函數.(1)當0 x200時,求函數v(x)的表達式;(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數,單位:輛/時, f(x)=xv(x)可以達到最大?并求出最大值.(精確到1輛/時)思路點撥:自變量取不同值時,函數值有不同的求法選分段函數模型利用分段函數解決問題.解析(1)由題意,當0 x20時,v(x)=60;當20 x200時,設v(x)=ax+b(a0),由已知得解得故函數v(x)的表達式為v(x)=(2)由題意及(1)可得f(x)=當0 x20時, f(x)為增函數