1、 PAGE12 / NUMPAGES12 數學文化與數學史復習Lecture0為什么要開設數學史介紹文藝復興時期意大利藝術大師達芬奇（L. DaVinci, 14521519）和19 世紀英國業余數學家伯里加爾（H.Perigal, 18011898）證明勾股定理的方法。達芬奇H. Perigal的水車翼輪法談談你對數學史教育價值的認識。一門學科一座橋梁一條進路一種資源一組專題對學生來講，通過對數學史的學習，有利于學生對數學知識的掌握和數學能力的提高,它不僅使學生獲得了一種歷史感，而且，通過從新的角度看數學學科，他們將對數學產生更敏銳的理解力和鑒賞力，有利于學生對數學的思考, 促進學生的數學理

2、解，啟發學生的人格成長，有利于激發學生的情感、興趣和良好的學習態度,有利于辯證唯物主義世界觀的形成, 有利于學生了解數學的應用價值和文化價值。對于教師來講，要使個體知識的發生遵循人類知識的發生過程，那么數學史就成為了數學教學的有效工具。將數學史作為一種資源運用到教學中，給教學提供一種新的視角，發揮其啟發和借鑒的作用，并豐富課堂教學，使教學活動變得自然而有趣。這對數學教育改革也具有極其重要的意義。Lecture2古代數學（I）：埃及Rhind紙草書問題79 是一個等比數列求和問題，介紹其中蘊涵的等比數數列求和方法。 “埃及幾何學中的珍寶”是什么？正四棱臺體積公式：Lecture3古代數學（II）

3、：美索不達米亞3. 研究古巴比倫時期的泥版BM15285。設想你是一位祭司，你會提出什么數學問題？5古代巴比倫人是如何求平方根近似值的？7. 美國哥倫比亞大學收藏的Plimpton 322 號巴比倫泥版的內容是什么？泥版上有15行、4列數字，原來人們還以為是一份帳目。但是，奧地利著名數學史家諾伊格鮑爾（O. Neugebauer, 18991990）經過研究驚奇地發現：第3列數與第2列數的平方差竟都是平方數（少數行不滿足這一規律，但顯然是抄寫錯誤所致）！例如（見下表，表中數字均為60進制）：，等等這就表明，它是一X勾股數表。英國著名數學家齊曼（C. Zeeman, 1925）指出，如果巴比倫人

4、使用了勾股數一般公式，那么，滿足，且（是勾所對的角）為有限小數的勾股數只有16組。而Plimpton 322號泥版給出了其中的15組！其水平之高，令人驚嘆不已。6古巴比倫時期的泥版 Str.362 上記載了如下問題：“十兄弟分銀邁納，每個兄弟均比相鄰的弟弟多得若干，已知老八分得 6 斤（1 邁納60 斤）。問：各兄弟比相鄰的弟弟多得幾何？”泥版上給出的解法是：“取十兄弟所得平均數 10 斤，倍之，得 20 斤；減去老八所得的兩倍即 12 斤，得 8 斤。于是，公差為8/5斤。”用我們今天的代數符號來表達這一解法，并寫出一般公式。Lecture4古代數學（III）：中國14用出入相補原理證明勾股

5、定理。16介紹西漢時期的“日高公式”。南宋數學家楊輝是如何推導這個公式的？日高公式：楊輝推導日高公式：如圖所示，圖中兩個黃色的面積是相等的。as2s1dH根據上面的原理我們可得：（其中d為兩個桿子的距離）19試述X徽和祖暅的球體積工作。為了證明公式不正確，X徽在立方體內作兩個相互垂直的內切圓柱，并把公共部分立體稱作“牟合方蓋”。如下圖 兩個圓柱面的公共部分（牟合方蓋）正好把半徑為R的球體包含在內。X徽想若用一個與底面平行的平面去截它們，那么球的截面肯定是圓，而牟合方蓋的截面剛好是一個正方形 。如右圖正方形與其內切圓的面積之比都是：由“截面原理”可得：于是我們只要求出牟合方蓋的體積即可求出球的體

6、積。X徽：提出從立方體割出牟合方蓋之后所余的“外棋”著手。但是外棋的復雜難倒了X徽。祖暅：對邊長為D的正方體及其內牟合方蓋的八分之一進行考察如右圖并將其分解為一個內棋和三個外棋內棋外棋外棋外棋祖暅公理：用平行于底面的平面去截兩個等高的立體，如果所得的兩個截面面積處處相等，則這兩個立體的體積就相等。13. 在直角三角形中，勾、股、弦分別為a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b），試用中國古代的方法來證明下面一組公式：，則有：此圖是將邊長分別為a，b，c的三個正方形合在一起的14. 簡要介紹X徽的割圓術。（要求寫出相關公式）圓內接正多邊形邊長遞推公式：Lecture 5 古希臘數學21描

7、述希皮亞斯（Hippias, 公元前5世紀）的割圓曲線，并用利用它來三等分角。17. 用歐幾里得的方法證明勾股定理。得證23. 用歐幾里得的方法證明命題：“素數無限多”。答：假設素數個數有限，則必有一個最大的設最大的素數是P令n=2*3*5*7*P+1，即把所有的素數相乘并加上1，顯然nP若因為P是最大素數，所以n是合數，則n能被2，3，P中至少一個素數整除，但用這些數去除n，都有余數1，即都不能整除這就有兩種可能(1)n是素數(2)n是合數，但他只能被大于P的素數整除這兩種情況都和P是最大素數矛盾。所以假設錯誤，所以素數是無限27. 如圖所示，ADBC是球O被紙面所截得的大圓，AB和CD是其

8、相互垂直的兩條直徑。XVWY是球O的外切圓柱（以AB為軸）的相應截面。阿基米德通過力學方法發現：球O的體積等于直徑為CD且垂直于紙面的大圓為底、以B為頂點的圓錐BCD的體積的4 倍。試介紹阿基米德的方法。20. 利用托勒密定理推導和角正弦公式。22. 證明海倫三角形面積公式。Lecture6 中世紀數學23. 敘述中國剩余定理。37阿拉伯數學家阿爾卡克希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推導自然數三次冪和公式的？如下圖所示：39斐波納契計算之書中有如下問題：“棋盤（64格）上的數列滿足：任意一項等于它前面所有各項和的兩倍。已知首項為1，求棋盤上數列各項之和。”試用今天的方法求解。41. 在約瑟夫問題中，若設排成一圈的人數為n，