1、內部資料，不得翻印！高中數學專題教學研習講稿第 PAGE 4 頁 共 NUMPAGES 5 頁第 PAGE 5 頁 共 NUMPAGES 5 頁高中數學專題教學研習本資源由專人彭劍平整理，未經允許不得復制影印，資源僅供教師研習，歡迎批評指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（常考規律總結），Level C為競賽（拓展的課外知識）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題： 平面向量基本定理與數量積 基本知識點（Level A）【1

2、】平面向量基本定理如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內任一向量，有且只有一對實數、，使不共線的向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底推論1：三點、共線的充要條件： (為任意點)推論2：向量中三終點共線存在實數使得且有用的結論：若、是同一平面內的兩個不共線向量，若一對實數、，使得，則 經典案例 有疑問隨時mail例：（1）若，用與表示，則 答案：（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 ； ； 答案：（3）已知分別是的邊上的中線，且，則可用向量，表示為 答案：（4）已知中，點在邊上，且，則的值是 答案：（5）平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,若點滿足,其中且,則

3、點的軌跡是 答案：直線【2】向量的數量積的定義1向量的夾角已知兩個非零向量與，作, ，則叫做向量與的夾角（兩個向量必須有相同的起點）當時，同向；當時，垂直；當時，反向2平面向量的數量積（1）平面向量的數量積已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即零向量與任一向量的數量積為注意數量積是一個實數，不再是一個向量（2）在上的投影稱為向量在方向上的投影，它是一個實數，但不一定大于（3）的幾何意義數量積等于的模與在上的投影的積 經典案例 有疑問隨時mail例：（1）中，則 答案：（2）已知，與的夾角為，則等于 答案：（3）已知，則等于 答案：（4）已知是兩個

4、非零向量，且，則與的夾角為 答案：（5）已知，且，則向量在向量上的投影為 答案：【3】向量的數量積的性質設和都是非零向量，其夾角為，則： = 1 * GB3 = 2 * GB3 當與同向時，；特別地，或當與反向時， = 3 * GB3 非零向量，夾角的計算公式：； 當為銳角時，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件； 【4】向量的數量積的運算律（1）；（2）；（3）提醒： 向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量

5、，切記兩向量不能相除(相約)； 向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？ 經典案例 有疑問隨時mail例：下列命題中： ； ； ； 若，則或； 若則； ； ； ； 其中正確的是 答案：【5】向量的平行與垂直設，且，則：（1）；（2） ()特別地： 經典案例 有疑問隨時mail例：（1）若向量，當 時與共線且方向相同答案：（2）已知，且，則 答案：（3）設，則 時，、共線答案：或（4）已知，若，則 答案：（5）以原點和為兩個頂點作等腰直角三角形，則點的坐標是 答案：或（6）已知，向量，且，則的坐標是 答案：或 拓展知識點（Level B）【1】向量的數量積的運算性質若，（1）（2） (為單位向量

6、)；（3）（，為非零向量）；（4），（向量的模，針對向量坐標求模）；（5）（是與的夾角，可用于判定角是銳角還是鈍角）；（6）設，則： 經典案例 有疑問隨時mail例：（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是 答案：或且（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是 答案：（3）已知，與之間有關系式，其中 用表示； 求的最小值，并求此時與的夾角的大小答案：；最小值為，（4）已知均為單位向量，它們的夾角為，那么 答案：【2】向量基本定理與數量積注意點（1）不一定成立；（2）向量無大小（“大于”、“小于”對向量無意義），向量的模有大小（3）長度為的向量叫零向量，記（或），與任意向量平行，的方向

7、是任意的，零向量與零向量相等，且（4）若有一個三角形，則；此結論可推廣到邊形（5）若，則有（錯誤） 當時，而、不一定相等（6），（針對向量非坐標求模），（7）當時，由不能推出，這是因為任一與垂直的非零向量，都有（8）若，則（錯誤）當時，不成立（9）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用（10）向量所在直線過的內心，即該直線為的角平分線所在直線（11）向量中的不等式， 特別地，當同向或有：；當反向或有；當不共線(這些和實數比較類似).【3】主要思想與方法本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點 深化知識點（Level C）交流、素材提供 博客： HYPERLINK /ansontop /ansonto