1、2022中考數學專題復習：開放探究題1類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整原題：如圖1，在平行四邊形中，點是的中點，點是線段上一點，的延長線交射線于點若，求的值（1）嘗試探究在圖1中，過點作交于點，則和的數量關系是_，和的數量關系是_，的值是_（2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_（用含有的代數式表示），試寫出解答過程（3）拓展遷移如圖3，梯形中，點是的延長線上的一點，和相交于點若，則的值是_（用含、的代數式表示）2已知ABC為等邊三角形（1）如圖1，點D為邊BC上一點，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE，求證：CEAB（

2、2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，以AD為邊作等邊三角形ADE，求證：無論點D的位置如何變化，ADE的內角平分線的交點P始終在B的角平分線上（3）如圖3，以AC為腰作等腰直角三角形ACD，取斜邊CD的中點E，連接AE，交BD于點F試判斷線段BF，AF，DF之間存在何種數量關系，并證明你的結論3綜合實踐數學課上，各小組進行了特殊四邊形的探究活動，如圖所示，在中，分別以，為邊在的同側作等邊三角形，等邊三角形，等邊三角形（1）奮進小組發現：四邊形是平行四邊形，請你完成證明；（2）當四邊形是矩形時，求的度數；（3）當四邊形是菱形時，若，請直接寫出與之間的數量關系4某學習小組在探究三角形全等時，發

3、現了下列兩種基本圖形，請給予證明（1）如圖1，AC與BD交于點O，ABCD ，AB=CD，求證：OA=OC（2）如圖2，已知：在ABC中，BAC90，ABAC，直線經過點A，BD直線，CE直線，垂足分別為點D、E求證：BDAE（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們用圖1或圖2的基本圖形來解決問題：如圖3，把一塊含45的直角三角板ABC（即是等腰直角三角形，）繞點逆時針旋轉后成為，已知點B、C的對應點分別是點D、E連結，并作射線交于點，試探究在旋轉過程中，DF與BF的大小關系如何，并證明5某學校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：操作發現：（1）如圖1，分別以AB

4、和AC為邊向ABC外側作等邊ABD和等邊ACE，連接BECD，請你完成作圖并證明BE=CD（要求：尺規作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）類比探究：（2）如圖2，分別以AB和AC為邊向ABC外側作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CEBG，則線段CEBG有什么關系？說明理由靈活運用：（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AB=BC，ABC=60，ADC=30，AD=3，BD=5，求CD的長6綜合與探究問題情境：如圖，已知平分，于點D，E為延長線上一點，于點F，平分交于點G，問題發現：（1）如圖1，當時，_；（2）如圖2，當為銳角時，與有什么數量關系，請說明理由；拓展探究（3）在（2

5、）的條件下，已知直角三角形中兩個銳角的和是90，試探究和的位置關系，并證明結論；（4）如圖3，當為銳角時，若點E為線段上一點，于點F，平分交于點H，請寫出一個你發現的正確結論7如圖1，在平面直角坐標系中有長方形OABC，點，將長方形OABC沿AC折疊，使得點B落在點D處，CD邊交x軸于點E，（1）求點D的坐標；（2）如圖2，在直線AC以及y軸上是否分別存在點M，N，使得EMN的周長最小？如果存在，求出EMN周長的最小值；如果不存在，請說明理由；（3）點P為y軸上一動點，作直線AP交直線CD于點Q，是否存在點P使得CPQ為等腰三角形？如果存在，請求出OAP的度數；如果不存在，請說明理由8【原題初

6、探】（1）小明在數學作業本中看到有這樣一道作業題：如圖1，是正方形內一點，連結，現將繞點順時針旋轉得到的，連接若，求的長和正方形的邊長 【變式猜想】（2）如圖2，若點是等邊內的一點，且，請猜想的度數，并說明理由【拓展應用】（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形中，請求出的長度9問題：如圖（1），點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，MAN45，試判斷 BM、MN、ND之間的數量關系（1）研究發現如圖1，小聰把ADN繞點A順時針旋轉90至ABG，從而發現BM、MN、DN之間的數量關系為 （直接寫出結果，不用證明）（2）類比引申如圖2，在（

7、1）的條件下，AM、AN分別交正方形ABCD的對角線BD于點E、F已知EF5，DF4求BE的長（3）拓展提升如圖3，在（2）的條件下，AM、AN分別交正方形ABCD的兩個外角平分線于Q、P，連接PQ請直接寫出以BQ、PQ、DP為邊構成的三角形的面積10如圖，四邊形是菱形，點在邊上，點在菱形外部，且滿足，連接，取的中點，連接，（1）探究與位置關系（2）若，探究線段、與的數量關系，并說明理由（3）若，在的延長線上時，其余條件不變，請求出的長度11【認識新知】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形【概念理解】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；【性質探究】（2

8、）如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，若OA=1，OB=5,，OC=7，OD=2，則_；_；求證：；【解決問題】（3）如圖3，中，且，且，連結CE、BG、則_12已知，在ABC中，ABC90，AB=BC=2，點O是邊AC的中點，連接OB，將AOB繞點A順時針旋轉至ANM，連接CM，點P是線段CM的中點，連接PB，PN （1）如圖1，當=180時，請直接寫出線段PN和PB之間滿足的位置和數量關系；（2）如圖2，當0180時請探索線段PN和PB之間滿足何位置和數量關系？并證明你的結論；（3）當AOB旋轉至C，M，N三點共線時，線段BP的長為 13已知A（m，n），且滿足，過A作ABy

9、軸，垂足為B（1）求A點坐標（2）如圖1，分別以，為邊作等邊和，試判定線段和的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）如圖2，過作軸，垂足為，點、分別為線段、上的兩個動點（不與端點重合），滿足，設，試探究的值是否為定值？如果是求此定值；如果不是，請說明理由14如圖1，已知直角三角形，點是邊上一點，過作于點，連接，點是中點，連接，（1）發現問題：線段，之間的數量關系為_；的度數為_；（2）拓展與探究：若將繞點按順時針方向旋轉角，如圖2所示，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；（3）拓展與運用：如圖3所示，若繞點旋轉的過程中，當點落到邊上時，邊上另有一點，連接，請直接寫出的長度 15在等邊的兩邊AB

10、、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，BD=DC探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是_； 此時_；（2）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（1）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）16問題探究：如圖1，在中，點是的中點，交于點交于，連接（1）與之間的關系為：_；（填“”、“”或“”)（2）若，探索線段之間的等量關系

11、，并加以證明（3）問題解決:如圖2在四邊形中， 以為頂點作的兩邊分別交于兩點，連接，探索線段之間的數量關系，并加以證明17如圖，在矩形中，點在的延長線上，點在上，且有（1）如圖1，當時，若，求證：；（2）如圖2，當時，請直接寫出與的數量關系：_；當點是中點時，求證：；在的條件下，請直接寫出的值18直線與相互垂直，垂足為點，點在射線上運動，點在射線上運動，點、點均不與點重合（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數；（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點若，則_度（直接寫出結果，不需說理）；點、在運動的過程中，是否發生變化，若不變，試求的度數：若變化，請說明變化規律（3）如圖3，已知點在的延長線上，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點、，在中，如果有一個角的度數是另一個角的4倍，請直接寫出的度數19如圖l，在正方形ABCD中，AB=8，點E在AC上，且，過點作于點，交于點，連接， 【問題發現】（1）線段與的數量關系是_，直線與所夾銳角的度數是_；【拓展探究】（2）當繞點順時針旋轉時，上述結論是否成立？若成立，請寫出結論并結合圖2給出證明；若不成立，請說明理由；【解決問題】（3）在（2）的條件下，當點到直線的距離為2時，請直接寫出的長20已知點O是ABC內任意一點，連接OA并延長到點E，使得AEOA，以OB，OC為鄰邊作平