1、一、基本概念及結論1.定義：2.可積(充分)條件：第五章: 定積分與廣義積分1陽山書屋(4)定積分的幾何意義:2陽山書屋曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值abxyooyabxb03陽山書屋3.定積分的性質:4陽山書屋反之不然5陽山書屋例1.估計積分值:解在1,4上的最小值、最大值分別為：所以6陽山書屋如果函數f(x)在區間a,b上連續，則在a,b上至少存在一點(8)積分中值定理：注7陽山書屋8陽山書屋4.定積分的計算方法（1）NewtonLeibniz公式：注1：9陽山書屋注2 NewtonLeibniz公式表明： (2)求定積分問題轉化為求原函數不定積分的問題.(2)定積分的換元積分10陽山

2、書屋注：變量不必回代；用湊微分法求定積分時若用同除法（同除一因子），此因子在積分范圍內不能為0.（3）定積分的分部積法注：u,dv 的選取與不定積分相同；若被積函數中含有變上限積分或被積函數的導數時一般用分部積分。125.廣義積分(1)無窮區間上的廣義積分11陽山書屋(2)無界函數的廣義積分(瑕積分)注：廣義積分的計算轉化為計算一個定積分的極限，極限存在時收斂，極限不存在時發散；（3）性質：12312陽山書屋分部積分公式45也有相應的換元法；678913陽山書屋記住以下幾個廣義積分的斂散性：14陽山書屋利用以上結論可直接判定一些廣義積分的斂散性:15陽山書屋6.微積分的常用公式奇函數偶函數(2

3、)若, 則16陽山書屋17陽山書屋二、基本問題及解法問題(一) 有關變上限積分的運算18陽山書屋19陽山書屋20陽山書屋問題(二)： 定積分的計算21陽山書屋例1. 22陽山書屋例3.求解：由于被積函數例2.23陽山書屋24陽山書屋25陽山書屋26陽山書屋例1 計算解: 設當時,;當時,于是,27陽山書屋例2 計算解 設28陽山書屋定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式的適用范圍及使用方法與不定積分類同 29陽山書屋例1 計算30陽山書屋例2 計算解31陽山書屋解 令 例3. 計算32陽山書屋33陽山書屋注:僅當右端兩個極限都存在時,左端的積分才收斂.34陽山書屋例1.計算解xyo1A另解3

4、5陽山書屋例2.計算另解36陽山書屋注1;右端的極限存在時,左端的廣義積分收斂,否則發散.注2：當且僅當上述兩個極限同時存在時,廣義積分收斂37陽山書屋例3:計算廣義積分解: 因所以另解38陽山書屋問題(三) 定積分的應用1.面積的基本公式o39陽山書屋oo40陽山書屋oo41陽山書屋2.求面積的步驟:42陽山書屋畫草圖.例所圍成圖形的面積.計算由解得交點 (0, 0) 和 (1, 1)解方程組另解.43陽山書屋畫草圖.得交點計算拋物線與直線所圍成圖形的面積.例解.由所求面積為:-24或44陽山書屋 旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸圓柱圓錐圓臺2.旋轉體體積的基本公式45陽山書屋o(底在坐標軸的曲邊梯形)(化為底在坐標軸的曲邊梯形旋轉)46陽山書屋oo47陽山書屋例1. 求圓形繞 y 軸旋轉而成的旋轉體的體積.yxo312-2解. 所求體積為:48陽山書屋201面積49陽山書屋50陽山書屋51陽山書屋問題(四) 與定積分有關的證明題52陽山書屋53陽山書屋54陽山書屋55陽山書屋又例4.設 在 上連續，求證：證明：因為 在 上連續，所以在 上