1、 第三節(jié) 電磁場邊值關(guān)系 麥克斯韋方程組可以應(yīng)用于任何連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部。在兩介質(zhì)分界面上，由于一般出現(xiàn)面電荷電流分布，使物理量發(fā)生躍變，微分形式的麥氏方程組不再適用。1 在場作用下，介質(zhì)界面上一般出現(xiàn)面束縛電荷和電流分布，這些電荷電流的存在又使得界面兩側(cè)場量發(fā)生躍變。 因此，我們要用另一種形式描述界面兩側(cè)的場強以及界面上電荷電流的關(guān)系。2圖(b): 束縛電荷激發(fā)的場子與外場E0疊加后得到總電場。兩邊的電場E1和E2在界面上發(fā)生躍變。圖(a): 介質(zhì)與真空分界的情形，在外場E0的作用下，介質(zhì)界面上產(chǎn)生面束縛電荷，這些束縛電荷本身激發(fā)的電場在介質(zhì)內(nèi)與E0反向，在真空中與E0同向。3 邊值關(guān)系就是描述兩

2、側(cè)場量與界面上電荷電流的關(guān)系。由于場量躍變的原因是面電荷電流激發(fā)附加的電磁場，而積分形式的麥氏方程可以應(yīng)用于任意不連續(xù)分布的電荷電流所激發(fā)的場，因此研究邊值關(guān)系的基礎(chǔ)是積分形式的麥氏方程組。4一、法向分量的躍變麥氏方程組的積分形式為If 為通過曲面S 的總自由電流，Qf為閉合曲面內(nèi)的總自由電荷。把這組方程應(yīng)用到界面上可以得到兩側(cè)場量的關(guān)系。5把總電場的麥氏方程應(yīng)用到兩介質(zhì)邊界上的一個扁平狀柱體。上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面，Qf和Qp分別為柱體內(nèi)的總自由電荷和總束縛電荷，它們等于相應(yīng)的電荷面密度f 和p乘以底面積S。當(dāng)柱體的厚度趨于零時，對側(cè)面的積分趨于零，對上下底面積分得(E2nE

3、1n) 。6通過薄層右側(cè)面進入介質(zhì)2的正電荷為P2dS ，由介質(zhì)1通過薄層左側(cè)進入薄層的正電荷為P2dS ，因此，薄層內(nèi)出現(xiàn)的凈余電荷為(P2 P1)dS ，以P表示束縛電荷面密度，有7由此n為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線兩式相加極化矢量的躍變與束縛電荷面密度相關(guān)，Dn的躍變與自由電荷面密度相關(guān)，En的躍變與總電荷面密度相關(guān)。利用實際上主要應(yīng)用關(guān)于Dn的邊值關(guān)系式8Dn的躍變式可以較簡單的由麥氏方程組的積分形式直接得出由于側(cè)面的積分趨于零，得在扁平狀區(qū)域上應(yīng)用9對于磁場B，在邊界上的扁平狀區(qū)域上應(yīng)用積分形式的麥氏方程10二、切向分量的躍變 面電荷分布使界面兩側(cè)電場法向分量發(fā)生躍變，我們可以

4、證明面電流分布使界面兩側(cè)磁場切向分量生躍變。我們先說明表面電流分布的概念。1 面電流分布面電流實際上是在靠近表面的相當(dāng)多分子層內(nèi)電流的平均宏觀效應(yīng)11定義電流線密度，其大小等于垂直通過單位橫截線的電流。如圖界面的一部分，其上有面電流，其線密度為，l為橫截線，垂直流過l段的電流為12由于存在面電流，在界面兩側(cè)的磁場強度發(fā)生躍變。如圖，在界面兩旁取一狹長形回路，回路的一長邊在介質(zhì)1中，另一長邊在介質(zhì)2中。長邊l與面電流正交。2 切向分量的躍變在狹長形回路上應(yīng)用麥氏方程13取回路上下邊深入到足夠多分子層內(nèi)部，使面電流完全通過回路內(nèi)部。從宏觀來說回路短邊的長度仍可看作趨于零,因而有其中t表示沿l的切向

5、分量。通過回路內(nèi)的總自由電流為14由于回路所圍面積趨于零，而D/t為有限量，因而代入得15上式可以用矢量形式表示。設(shè)l為界面上任一線元，t為l方向上的單位矢量。 流過了l的自由電流為對于狹長形回路用得16由于l為界面上任一矢量，因此上式再用n矢乘, 注意到磁場切向分量的邊值關(guān)系/表示投射到界面上的矢量17此式表示界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)。可得電場切向分量的邊值關(guān)系：同理，應(yīng)用18以后在公式中出現(xiàn)的和, 除特別聲明者外，都代表自由電荷面密度和自由電荷線密度，不再寫出角標f。總括我們得到的邊值關(guān)系為這組方程和麥氏方程積分式一一對應(yīng)。邊值關(guān)系表示界面兩側(cè)的場以及界面上電荷電流的制約關(guān)系，它們實質(zhì)上是

6、邊界上的場方程。19例 無窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)(如圖)，極板上面電荷密度f，求電場和束縛電荷分布。由對稱性可知電場沿垂直于平板的方向，把邊值關(guān)系應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場強為零，故得同樣，把邊值關(guān)系應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得解20由這兩式得束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處， f=0由得21在介質(zhì)1與下板分界處在介質(zhì)2與上板分界處容易驗證由得介質(zhì)整體是電中性的22第四節(jié) 電磁場的能量和能流1. 場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的一般形式 能量是按一定的形式分布于場內(nèi)的，而由于場在運動，場能量不是固定地分布于空間中，而是隨著場 在空間中傳播 因此，我們需要引入兩個物理量來描述。

7、23場的能量密度w(x,t), 它是場內(nèi)單位體積的能量。場的能流密度S, S在數(shù)值上等于單位時間垂直流過單位橫截面的能量其方向代表能量傳輸方向.24能量守恒的積分形式:通過界面 流入V內(nèi)的能量場對電荷系統(tǒng)所作的功率V內(nèi)場的能量增加率 場和電荷之間,場的一區(qū)域與另一區(qū)域之間，都有可能發(fā)生能量轉(zhuǎn)移。在轉(zhuǎn)移過程中總能量是守恒的。25相應(yīng)的微分形式:當(dāng)V 時結(jié)論: 場對電荷所做的總功率等于場的總能量減小率, 因此場和電荷的總能量守恒.262. 電磁場能量密度和能流密度表達式由洛倫茲力公式得:27得比較28分兩種情況討論(1) 真空中電荷分布情況 因此這時相互作用的物質(zhì)是電磁場和自由電荷, 能量在兩者之

8、間傳播. 在真空中29場對自由電荷所作的功率密度為JE，它或者變?yōu)殡姾傻?動能，或者變?yōu)榻苟鸁帷鰧橘|(zhì)中束縛電荷所作的功轉(zhuǎn)化為極化能和磁化能而儲備在介質(zhì)中，也可能有一部分轉(zhuǎn)化為分子熱運動（介質(zhì)損耗）。當(dāng)外場變化時，極化能和磁化能亦發(fā)生變化，如果不計及介質(zhì)損耗，則這種變化是可逆的。 (2) 介質(zhì)內(nèi)的電磁能量和能流 這時相互作用的系統(tǒng)包括三個方面： 電磁場、自由電荷、介質(zhì)。30一般介質(zhì)中場能量的改變量線性介質(zhì)積分得:介質(zhì)的極化和磁化狀態(tài)由介質(zhì)電磁性質(zhì)方程確定，一定的宏觀電磁場對應(yīng)于一定的介質(zhì)極化和磁化狀態(tài)，因此我們把極化能和磁化能歸入場能中一起考慮，成為介質(zhì)中的總電磁能量。31 3. 電磁能量的

9、傳輸在恒定電流或低頻交流電情況下，電磁能量在場中傳播。在電路中，物理系統(tǒng)的能量包括導(dǎo)線內(nèi)部電子運動的動能和導(dǎo)線周圍空間中的電磁場能量。導(dǎo)線內(nèi)的電流密度為:32導(dǎo)體內(nèi)自由電子的平均漂移速度是很小的，相應(yīng)的動能也很小，而在恒定的情況下，整個回路上，電流都有相同的值，因此，電子運動的能量并不是供給負載上消耗的能量。在傳輸過程中，一部分能量進入導(dǎo)線內(nèi)部變?yōu)榻苟鸁釗p耗；在負載電阻上,電磁能量從場中流人電阻內(nèi)，供給負載所消耗的能量。334.例 同軸傳輸線內(nèi)導(dǎo)線半徑為a，外導(dǎo)線半徑為b，兩導(dǎo)線間為均勻絕緣介質(zhì)(如圖)。導(dǎo)線載有電流I，兩導(dǎo)線間的電壓為U。(1) 忽略導(dǎo)線的電阻，計算介質(zhì)中的能流S和傳輸功率;(2)計及內(nèi)導(dǎo)線的有限電導(dǎo)率,計算通過內(nèi)導(dǎo)線表面進入導(dǎo)線內(nèi)的能流,證明它對于導(dǎo)線的損耗功率.34(1) 以距對稱軸為r的半徑作一圓周(arb),應(yīng)用安培環(huán)路定律,由對稱性得導(dǎo)線表面上一般帶有電荷，設(shè)內(nèi)導(dǎo)線單位長度的電荷(電荷線密度)為高斯定理對稱性 解： 35式中ez為沿導(dǎo)線軸向單位矢量兩導(dǎo)線間的電壓因而能流密度36把S對兩導(dǎo)線間圓環(huán)狀截面積積分得傳輸功率 UI即為通常在電路問題中的傳輸功率表達式